Дифференциал (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Стоит заметить, что понятие дифференциала из математического анализа содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать в разные стороны, в зависимости от направления получая важные, но совершенно различные объекты. Элементарное отображение касательных пространств зашито в дифференциале отображения, возможность интегрирования — в дифференциальных формах, дифференциалы более высокого порядка — в тензорных расслоениях и струях, общее понятие интегрирования — в теории меры, понятие бесконечной малости лучше всего описывает нестандартный анализ, формальные алгебраические свойства рассматриваются в алгебраической геометрии, функциональный анализ обобщает дифференциал в форме, не вполне очевидно связанной с конструкциями из дифференциальной геометрии, а дифференциал Ито показывает его применение к случайным процессам.

Обозначения[править | править вики-текст]

Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Использование знака дифференциала[править | править вики-текст]

  • Знак дифференциала используется в выражении для интеграла . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал вводится как часть определения интеграла.
  • Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции и тождественной функции верно соотношение

Определения[править | править вики-текст]

Для функций[править | править вики-текст]

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где обозначает производную в точке , а  — приращение аргумента при переходе от к .

Таким образом есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция , линейно зависящая от , и для которой верно следующее соотношение

Для отображений[править | править вики-текст]

Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Отображение называется дифференцируемым в точке если определён дифференциал .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные .
    • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
  • Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением

История[править | править вики-текст]

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»