Рамочный магический квадрат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Рамочный магический квадрат — это такой магический квадрат, что если в нём отбросить окаймляющие «полосы» шириной в одну или несколько клеток, то оставшийся квадрат не утратит своего магического свойства. Такие квадраты ещё называют ассоциативными или симметричными. Рамочных магических квадратов 4-го порядка нет (так как не существует магических квадратов второго порядка)

Методы построения рамочных магических квадратов[править | править код]

Квадраты нечётного порядка[править | править код]

Метод ал-Караджи[править | править код]

Один из простейших методов, касающихся заполнения квадратов порядка n=2k+1, принадлежит ал-Караджи (Х в.).[1]

Рассмотрим метод в общем случае.

Построение рамки начинается слева от правого верхнего угла, в который записывают число 1. Число 2 помещают в клетку, расположенную под правой верхней;
3 — слева от 1; 4 — под 2 и т. д. до числа 2(k-1). Число 2k-1 записывают под предыдущим; 2k — в левом верхнем углу;
2k+1 — в середине нижней части рамки; число 2(k+1) помещают в левый нижний угол, а следующий — справа от него. Число 3k располагают над 2(k+1).
Дальнейшее заполнение осуществляется аналогично размещению чисел в правом верхнем углу. Последним записывают число ((2k+1)∙4-4)/2=4k . При заполнении оставшихся клеток рамки из (2k+1)2+1 вычитают числа, стоящие в соответствующих клетках углах рамки.
Следующая рамка (2k-3)×(2k-3) строится аналогичным образом, начиная с числа 4k+1 и т. д. Наконец, внутри рамки составляется магический квадрат порядка 3.

Квадрат, иллюстрирующий данный метод, представлен ниже:

4 19 21 1 20
24 16 9 14 2
23 11 13 15 3
8 12 17 10 18
6 7 5 25 22

Метод «Чистых братьев и Верных друзей»[править | править код]

Следующий метод принадлежит «Чистым братьям и Верным друзьям».[1] Поскольку в рукописи описания метода не было, то ниже представлена его реконструированная версия, рассмотренная в общем случае и показанная на примере магического квадрата порядка 7 (n=7, k=3).
Независимо от порядка заполнение начинают с наименьшего квадрата. Первое число помещают во вторую сверху ячейку, крайнего правого столбца, в котором заполняется n−2 ячейки, до предпоследней;
Следующее число помещают в последнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют строку полностью, до предпоследней ячейки;
Оставшиеся рамки заполняют аналогично, рисунок ниже;
16 17 18 19 20 21
7 8 9 10 11
2 3 4 12
1 5 13
6 14
15
Далее переходят к заполнению «пустой» главной диагонали, записывая числа в их естественном порядке .
16 17 18 19 20 21 28
7 8 9 10 27 11
2 3 26 4 12
25 1 5 13
24 6 14
23 15
22
Пустые ячейки рамки заполняют, дополняя их в сумме с противоположными до числа (n²+1)/2;
Следующим шагом k−1 число в правом столбце, через одну ячейку, считая от предпоследней снизу, меняют местами с соответствующими числами левого столбца; и k чисел в верхней строке, через одно, считая от первой ячейки, с соответствующими числами нижней строки.

В результате получаем рамочный магический квадрат, представленный ниже:

16 33 18 31 20 29 28
39 7 42 9 40 27 11
12 46 2 47 26 4 38
37 5 49 25 1 45 13
14 44 24 3 48 6 36
35 23 8 41 10 43 15
22 17 32 19 30 21 34

Квадраты нечётно-чётного порядка[править | править код]

Метод Секи Ковы[править | править код]

Алгоритм построения квадрата порядка 2(2k+1)×2(2k+1) рассмотрим в общем виде:

В ячейку правого нижнего угла помещают 1, число 2 располагают в ячейке первой строки так, как если бы она была под последней строкой. Аналогичным образом продолжают заполнять правый крайний столбец до тех пор, пока не достигнут числа 2(2k+1) −1;
Число 2(2k+1) помещают в предпоследнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют (2k+1) клетку в направлении к 2;
Следующее число помещают в ячейку правого крайнего столбца, под числом 2(2k+1) −1 и в направлении к 1 полностью заполняют правый столбец;
Следующее число помещают в пустую ячейку первой строки и заполняют её полностью в направлении к 1;
Пустые ячейки нижней строки и крайнего левого столбца, кроме угловых ячеек, заполняются дополнительными числами к (2k+1)2+1, к соответственно противоположным. Угловые ячейки заполняются дополнительными числами до n2+1 к противоположным угловым;
(2k+1) число правого столбца после верхней угловой ячейки меняют местами с соответствующими числами левого столбца. Аналогично поступают с 2k числами первой строки, стоящих на втором и предпоследнем местах, с соответствующими числами нижней строки. Таким образом, получаем внешнюю рамку квадрата;
Остальные рамки заполняют аналогично;

Ниже изображён квадрат порядка 6, построенный по данному методу:

36 31 7 8 27 2
3 26 13 12 23 34
4 19 16 17 22 33
5 15 20 21 18 32
28 14 25 24 11 9
35 6 30 29 10 1

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 А. Е. Малых, А. А. Галиаскарова. Развитие методов построения рамочных магических квадратов // Вестник Пермского университета. — 2014. — Вып. 1 (24).

Литература[править | править код]

  • Холл М. Комбинаторика, пер. с англ. М. 1970.
  • Dénes J. H., Keedwell A. D. Latin Squares and their Applications. Budapest. 1974.
  • Laywine C.F., Mullen G.L. Discrete mathematics using Latin squares. New York. 1998.
  • Малых А. Е., Данилова В. И. Об историческом процессе развития теории латинских квадратов и некоторых их приложениях (недоступная ссылка) // Вестник Пермского Университета. 2010. Вып. 4(4). С. 95-104.
  • Тужилин М. Э. Об истории исследований латинских квадратов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. Том 19, выпуск 2. С. 226—227.
  • Чебраков Ю. В. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. СПб: СПбГТУ, 1995, 388 с. ISBN 5-7422-0015-3.

Ссылки[править | править код]

Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Рамочный_магический_квадрат&oldid=103904931