Журнал фильтра правок

'{{История науки}} ''Данная статья представляет собой обзор основных событий и тенденций в '''истории математики''' с древнейших времён до наших дней.'' В истории [[Математика|математики]] традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний: # Формирование понятия [[Фигура (геометрия)|геометрической фигуры]] и [[Число|числа]] как [[Идеализация|идеализации]] реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы. # Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и [[объём]]ов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись [[Вавилонская математика|шумеро-вавилонские]], [[Математика в древнем Китае|китайские]] и [[История математики в Индии|индийские]] математики древности. # Появление в [[Математика в Древней Греции|древней Греции]] дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали [[Начала Евклида|«Начала» Евклида]], игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий. # [[Математика исламского средневековья|Математики стран ислама]] не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков. # В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной{{sfn |Клайн М. Математика. Утрата определённости|1984|с=44—47. }}, и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин ([[Функция (математика)|функция]]) и общая теория движения ([[математический анализ|анализ бесконечно малых]]). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их [[прогресс]]у. # В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»<ref>{{книга|автор=Клайн М.|часть=Глава XII|заглавие=Математика. Поиск истины. Указ. соч}}</ref>: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»<ref>{{статья|автор=Wigner E. P.|ссылка=http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html|заглавие=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences|издание=Communications on Pure and Applied Mathematics|год=1960|номер=13|страницы=1—14}} См. русский перевод в книге {{книга|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vigner1971ru.djvu|заглавие=Этюды о симметрии|место=М.|издательство=Мир|год=1971}} или в [http://ufn.ru/ru/articles/1968/3/f/ УФН за март 1968].</ref>. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций{{sfn |Клайн М. Математика. Утрата определённости|1984|с=323—407. }}: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде. Помимо большого исторического интереса, анализ эволюции математики представляет огромную важность для развития [[Философия математики|философии]] и [[методология|методологии]] математики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретных математических дисциплин; например, древняя [[Китайская теорема об остатках|китайская задача (теорема) об остатках]] сформировала целый раздел [[Теория чисел|теории чисел]]. == Возникновение арифметики и геометрии == Математика в системе человеческих знаний есть раздел, занимающийся такими понятиями, как [[количество]], [[структура]], соотношение и т. п. Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения [[кривая|линий]], [[поверхность|поверхностей]] и [[объём]]ов. Понятие о натуральных [[Число|числах]] формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. Археолог Б. А. Фролов обосновывает существование счёта уже в [[Палеолит#Верхний палеолит|верхнем палеолите]]<ref>{{книга|автор=Фролов Б. А.|заглавие=Числа в графике палеолита|место=Новосибирск|издательство=Наука|год=1974|страниц=240}}</ref>. С распространением счёта на больши́е количества появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности. Принцип именования или изображения числа (нумерация) может быть{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, с. 11-12. |name=YUSH1112 }}: * ''аддитивным'' (один+на+дцать, XXX = 30) * ''субтрактивным'' (IX, девя-но-сто) * ''мультипликативным'' (пять*десят, три*ста) [[Файл:Quipu.png|thumb|<center>Счётное устройство инков</center>]] Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. п. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке. Названия чисел от двух (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до десяти, а также десятков и числа 100 в [[Индоевропейские языки|индоевропейских языках]] сходны. Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная [[система счисления]]. Хотя есть и исключения: 80 по-французски quatre-vingt (то есть 4 двадцатки), а 90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); это употребление восходит к счёту по пальцам рук и ног. Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, первоначально считали пятёрками. Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётах использовали [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричную систему]]. А туземцы островов Торресова пролива — [[Двоичная система счисления|двоичную]]<ref name=YUSH1112/>: {{начало цитаты}} Урапун (1); Окоза (2); Окоза-Урапун (3); Окоза-Окоза (4); Окоза-Окоза-Урапун (5); Окоза-Окоза-Окоза(6) {{конец цитаты}} Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. [[Натуральное число]] — это идеализация конечного [[Множество|множества]] однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции [[Сложение|сложения]] и [[Вычитание|вычитания]]. [[Умножение]] для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно. Другое важное практическое действие — разделение на части — со временем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — [[Деление (математика)|деление]]. Делить на 10 частей сложно, поэтому [[Десятичная дробь|десятичные дроби]], удобные в сложных вычислениях, появились сравнительно поздно. Первые дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 или 12. Например, у римлян стандартной дробью была [[унция]] (1/12). Средневековые денежные и мерные системы несут на себе явный отпечаток древних недесятичных систем: 1 английский [[Пенни|пенс]] = 1/12 [[Шиллинг (английская монета)|шиллинга]], 1 [[дюйм]] = 1/12 [[фут]]а, 1 фут = 1/3 [[ярд]]а и т. д. Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они обычно получали названия схожих с ними реальных предметов: например, у греков «[[ромб]]ос» означает волчок, «трапедсион» — столик ([[трапеция]]), «[[сфера]]» — мяч{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, с. 14. }}. Теория измерений появилась значительно позже, и нередко содержала ошибки: характерным примером является ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их [[периметр]]ов, и обратно. Это неудивительно: измерительным инструментом служила мерная верёвка с узлами или пометками, так что измерить периметр можно было без труда, а для определения [[Площадь|площади]] в общем случае ни инструментов, ни математических методов не было. Измерения служили важнейшим применением дробных чисел и источником развития их теории. == Древний Восток == === Египет === {{main|Математика в Древнем Египте}} [[Файл:Egypt equation.gif|thumb|240px|<center>Иероглифическая запись уравнения <math>~x\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+1\right)=37</math></center>]] Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н.&nbsp;э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие математики учились у египтян<ref group="C">«Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // {{книга |автор=Proclus Diadochus. |заглавие=In primum Euclidis Elementorum commentarii |место=Leipzig |год=1873 |страницы=64 }}</ref>. Основные сохранившиеся источники: [[папирус Ахмеса]], он же папирус Ринда (84 математические задачи), и [[Московский математический папирус|московский папирус Голенищева]] (25 задач), оба из [[Среднее царство|Среднего царства]], времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны. Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н.&nbsp;э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и [[Египетские дроби|аликвотными дробями]], пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение [[Среднее степенное|среднего арифметического]], [[Арифметическая прогрессия|арифметические прогрессии]], решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, с. 21-33. }}. Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий [[алгоритм]] его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём [[Индуктивное умозаключение|индуктивных обобщений]] и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и [[Геометрическая прогрессия|геометрической прогрессией]] и даже владели зачатками [[алгебра|алгебры]]: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное. В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади [[прямоугольник]]а, [[треугольник]]а и [[трапеция|трапеции]]. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как <math>\frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}</math>; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположения <math>\pi = 4\cdot\left( \frac {8} {9} \right)^2</math> = 3,1605 (погрешность менее 1 %){{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, с. 30-32. }}. Египтяне знали точные формулы для объёма [[параллелепипед]]а и различных цилиндрических тел, а также [[пирамида|пирамиды]] и усечённой пирамиды. Пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания ''a'', верхнего ''b'' и высотой ''h''; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле: <math>(a^2+ab+b^2)\cdot\frac {h} {3}</math>. О более раннем ходе развития математики в Египте сведений нет никаких. О более позднем, вплоть до эпохи [[эллинизм]]а — тоже. После воцарения [[Птолемеи|Птолемеев]] начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур. === Вавилон === {{main|Вавилонская математика}} [[Файл:Babylonian numerals.jpg|thumb|<center>Вавилонские цифры</center>]] Вавилоняне писали [[клинопись|клинописными]] значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500 тыс., из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных [[Вавилон|Вавилонского государства]]. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от [[шумер]]ов — клинописное письмо, счётная методика и т. п. Вавилонская расчётная техника была намного совершеннее [[Математика в Древнем Египте|египетской]], а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, [[Геометрическая прогрессия|геометрические прогрессии]]. При решении применялись [[Пропорция (математика)|пропорции]], средние арифметические, проценты. Методы работы с [[прогрессия]]ми были глубже, чем у [[Математика в Древнем Египте|египтян]]. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху [[Хаммурапи]]; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ''ab'' называлось площадью, ''abc'' — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих [[алгоритм]]ов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также [[Кубическое уравнение|кубические уравнения]] и [[Система линейных алгебраических уравнений|системы линейных уравнений]]. Венцом [[планиметрия|планиметрии]] была [[теорема Пифагора]], известная ещё в эпоху Хаммурапи. Шумеры и вавилоняне использовали [[Шестидесятеричная система счисления|60-ричную позиционную систему счисления]], увековеченную в нашем делении [[круг]]а на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Для умножения применялся громоздкий комплект таблиц. Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс: новое приближение получалось из предыдущего по формуле [[Метод Ньютона|метода Ньютона]]: :: <math>a_{n+1} = (a_n + N/a_n)/2</math> В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]], плюс сегмент круга и усечённый [[конус]]. В ранних документах полагают <math>\pi=3</math>; позже встречается приближение 25/8 = 3,125. Вавилоняне умели вычислять [[площадь|площади]] [[Правильный многоугольник|правильных многоугольников]]; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]]: <math>S=\frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}</math>. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у [[Математика в Древней Греции|греков]]. === Китай === {{main|Математика в древнем Китае}} [[Файл:Suanpan and soroban.jpg|thumb|Китайские (вверху) и японские счёты]] Цифры в древнем Китае обозначались [[Китайские цифры|специальными иероглифами]], которые появились во II тысячелетии до н.&nbsp;э., и начертание их окончательно установилось к III веку до н.&nbsp;э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, с. 158. }}. Вычисления производились на специальной счётной доске [[суаньпань]] (см. на фотографии), по принципу использования аналогичной [[Счёты|русским счётам]]. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н.&nbsp;э. Для запоминания таблицы умножения существовала специальная песня, которую ученики заучивали наизусть. Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — «[[Математика в девяти книгах]]». Китайцам было известно многое, в том числе: вся базовая арифметика (включая нахождение [[Наибольший общий делитель|наибольшего общего делителя]] и [[Наименьшее общее кратное|наименьшего общего кратного]]), действия с дробями, пропорции, отрицательные числа, площади и объёмы основных фигур и тел, [[теорема Пифагора]] и алгоритм подбора [[Пифагорова тройка|пифагоровых троек]], решение [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]]. Был даже разработан метод ''фан-чэн'' для решения систем произвольного числа линейных уравнений — аналог классического европейского [[Метод Гаусса|метода Гаусса]]. Численно решались уравнения любой степени — способом ''тянь-юань'', напоминающим метод Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена. == Древняя Греция == {{main|Математика в Древней Греции}} [[Файл:Raphael school-athens.jpg|thumb|<center>Рафаэль Санти. Афинская школа.</center>]] Математика в современном понимании этого слова родилась в Греции. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов ([[астрология]], [[нумерология]] и т. п.). Математической теории в полном смысле этого слова не было, дело ограничивалось сводом эмпирических правил, часто неточных или даже ошибочных. Греки подошли к делу с другой стороны. Во-первых, [[Пифагорейцы|пифагорейская школа]] выдвинула тезис «''Числа правят миром''»<ref group="C">«…так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили её и, овладев ею, стали считать её начала началами всего существующего… им казалось, что всё остальное по своей природе явно уподобляемо числам, и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что всё небо есть гармония и число» // {{книга |автор=Аристотель. |заглавие=Метафизика, глава пятая |ссылка=http://lib.gornet.ru/win/POEEAST/ARISTOTEL/metaphiz.txt |место=М.—Л. |год=1934 |страницы=26—27 }}</ref>. Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: «''Природа разговаривает с нами на языке математики''» ([[Галилей, Галилео|Галилей]]). Это означало, что истины математики есть в известном смысле истины реального бытия. [[Файл:Geometry Genoa Louvre MRSUP67.jpg|left|thumb|Муза геометрии ([[Лувр]])]] Во-вторых, для открытия таких истин пифагорейцы разработали законченную методологию. Сначала они составили список первичных, интуитивно очевидных математических истин ([[Аксиома|аксиомы]], [[постулат]]ы). Затем с помощью логических рассуждений (правила которых также постепенно унифицировались) из этих истин выводились новые утверждения, которые также обязаны быть истинными. Так появилась [[Дедукция|дедуктивная]] математика. Греки проверили справедливость этого тезиса во многих областях: [[астрономия]], [[оптика]], [[Гармоника (наука)|музыка]], [[геометрия]], позже — [[механика]]. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: [[математическая модель]] обладала неоспоримой предсказательной силой. Попытка пифагорейцев положить в основу мировой гармонии целые числа (и их отношения) была поставлена под сомнение после того, как были обнаружены [[иррациональное число|иррациональные числа]]. [[Платон]]овская школа (IV век до н.&nbsp;э.) выбрала иной, геометрический фундамент математики ([[Евдокс Книдский]]). На этом пути были достигнуты величайшие успехи античной математики ([[Евклид]], [[Архимед]], [[Аполлоний Пергский]] и другие). Греческая математика впечатляет прежде всего богатством содержания. Многие учёные [[Новое время|Нового времени]] отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у [[Диофант Александрийский|Диофанта]], аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но главное не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов. Первое — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики (гарантирующих истинность выводов при условии, что истинны предпосылки). Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию. В этих двух отношениях древнегреческая математика вполне родственна современной. == Индия == {{main|История математики в Индии}} [[Файл:Indian numerals 100AD.svg|thumb|От этих индийских значков произошли современные цифры (начертание I века н. э.)]] Индийская [[нумерация]] (способ записи чисел) изначально была изысканной. В [[санскрит]]е были средства для именования чисел до <math>10^{50}</math>. Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н.&nbsp;э. — написание «''брахми''», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем ''арабскими'', а сами арабы — ''индийскими''. [[Файл:2064 aryabhata-crp.jpg|thumb|<center>Ариабхата</center>]] Около 500 года н.&nbsp;э. неизвестный нам великий индийский математик изобрёл новую систему записи чисел — [[Десятичная система|десятичную позиционную систему]]. В ней выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у [[Математика в Древней Греции|греков]], или [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричных]], как у [[Вавилонская математика|вавилонян]]. В дальнейшем индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. К V—VI векам относятся труды [[Ариабхата|Ариабхаты]], выдающегося индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. В [[VII век]]е работал другой известный индийский математик и астроном, [[Брахмагупта]]. Начиная с Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг. Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области [[Теория чисел|теории чисел]] и [[численные методы|численных методов]]. Индийцы далеко продвинулись в алгебре; их символика богаче, чем у [[Диофант Александрийский|Диофанта]], хотя несколько громоздка (засорена словами). Геометрия вызывала у индийцев меньший интерес. Доказательства теорем состояли из чертежа и слова «смотри». Формулы для площадей и объёмов, а также [[тригонометрия|тригонометрию]] они, скорее всего, унаследовали от греков. == Страны ислама == {{main|Математика исламского средневековья}} [[Файл:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|<center>Страница из книги аль-Хорезми</center>]] Математика Востока, в отличие от [[Математика в Древней Греции|греческой]], всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были [[торговля]], [[строительство]], [[география]], [[астрономия]] и [[астрология]], [[механика]], [[оптика]]. В [[IX век]]е жил [[ал-Хорезми]] — сын [[зороастризм|зороастрийского]] жреца, прозванный за это аль-Маджуси (маг). Изучив индийские и греческие знания, он написал книгу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «[[алгоритм]]» (впервые в близком смысле использовано [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницем]]). Другое сочинение ал-Хорезми, [[Китаб аль-Джебр ва-ль-Мукабаля|«Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы»]], оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин «[[алгебра]]». Исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но также геометрии и [[тригонометрия|тригонометрии]] (в основном для астрономических приложений). [[Ат-Туси, Насир ад-Дин|Насир ад-Дин ат-Туси]] ([[XIII век]]) и [[Ал-Каши]] ([[XV век]]) опубликовали выдающиеся работы в этих областях. В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезом дело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозно владели классическими методами, однако новых результатов получено немного. == Западная Европа == === Средневековье, IV—XV века === [[Файл:CatedralAzul.svg|thumb|160px|left]] В [[V век]]е наступил конец [[Римская империя#Упадок Римской империи (395—476 гг.)|Западной Римской империи]], и территория Западной Европы надолго превратилась в поле непрестанных сражений с завоевателями и разбойниками ([[гунны]], [[готы]], [[венгры]], [[арабы]], [[норманны]] и т. п.). Развитие науки прекратилось. Потребность в математике ограничивается арифметикой и расчётом календаря церковных праздников, причём арифметика изучается по древнему учебнику [[Никомах Геразский|Никомаха Геразского]] в сокращённом переводе [[Аниций Манлий Торкват Северин Боэций|Боэция]] на латинский. Среди немногих высокообразованных людей можно отметить ирландца [[Беда Достопочтенный|Бе́ду Достопочтенного]] (он занимался календарём, [[пасхалия]]ми, хронологией, теорией счёта на пальцах) и монаха Герберта, с [[999 год]]а — римского папы под именем [[Сильвестр II (папа римский)|Сильвестр II]], покровителя наук; ему приписывают авторство нескольких трудов по астрономии и математике. Популярный сборник занимательных математических задач издал англосаксонский поэт и учёный [[Алкуин]] (VIII век). Стабилизация и восстановление европейской культуры начинаются с [[XI век]]а. Появляются первые [[университет]]ы ([[Салерно]], [[Болонья]]). Расширяется преподавание математики: в традиционный [[Семь свободных искусств#Средние века|квадривиум]] входили арифметика, геометрия, астрономия и музыка. [[Файл:Woman teaching geometry.jpg|thumb|<center>Латинский перевод «Начал» Евклида (XIV век)</center>]] Первое знакомство европейских учёных с античными открытиями происходило в Испании. В [[XII век]]е там переводятся (с греческого и арабского на латинский) основные труды [[Математика в Древней Греции|великих греков]] и их исламских учеников. С [[XIV век]]а главным местом научного обмена становится [[Византия]]. Особенно охотно переводились и издавались [[Начала Евклида|«Начала» Евклида]]; постепенно они обрастали комментариями местных геометров. Единственным относительно крупным математиком за всю послеантичную историю Византии был [[Максим Плануд]], комментатор [[Диофант Александрийский|Диофанта]] и популяризатор [[Десятичная система счисления|десятичной системы]]. В конце XII века на базе нескольких монастырских школ был создан [[Парижский университет]], где обучались тысячи студентов со всех концов Европы; почти одновременно возникают [[Оксфордский университет|Оксфорд]] и [[Кембриджский университет|Кембридж]] в Британии. Интерес к науке растёт, и одно из проявлений этого — смена числовой системы. Долгое время в Европе применялись [[римские цифры]]. В XII—XIII веках публикуются первые в Европе изложения [[Десятичная система счисления|десятичной позиционной системы записи]] (сначала переводы [[ал-Хорезми]], потом собственные руководства), и начинается её применение. С XIV века [[арабские цифры|индо-арабские цифры]] начинают вытеснять римские даже на могильных плитах. Только в астрономии ещё долго применялась [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричная]] [[Вавилонская математика|вавилонская]] арифметика. [[Файл:Liber abbaci magliab f124r.jpg|thumb|<center>Страница из «Книги абака»</center>]] Первым крупным математиком средневековой Европы стал в [[XIII век]]е Леонардо Пизанский, известный под прозвищем [[Фибоначчи]]. Основной его труд: «[[Книга абака]]» ([[1202 год]], второе переработанное издание — [[1228 год]]). Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. Фибоначчи был хорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних и систематизировал значительную их часть в своей книге. Его изложение по полноте и глубине сразу стало выше всех античных и исламских прототипов, и долгое время было непревзойдённым. Эта книга оказала огромное влияние на распространение математических знаний, популярность индийских цифр и десятичной системы в Европе. В книгах «Арифметика» и «О данных числах» [[Иордан Неморарий|Иордана Неморария]] усматриваются зачатки символической алгебры, до поры до времени не отделившейся от геометрии<ref>{{статья|автор=Неморарий.|заглавие=О данных числах<!--|ответственный=--> / Пер. и прим. С. Н. Шрейдера. Под ред. И. Н. Веселовского|издание=Историко-математические исследования|год=1959|том=XII|страницы=559—678}}</ref>. В это же время [[Роберт Гроссетест]] и [[Бэкон, Роджер|Роджер Бэкон]] призывают к созданию экспериментальной науки, которая на математическом языке сможет описать природные явления<ref>{{статья|автор=[[Зубов, Василий Павлович|Зубов В. П.]]|заглавие=Из истории средневековой атомистики|издание=Труды Института истории естествознания|год=1947|том=I|страницы=293}}</ref>. В XIV веке университеты появляются почти во всех крупных странах ([[Прага]], [[Краков]], [[Вена]], [[Гейдельберг]], [[Лейпциг]], [[Базель]] и др.). Философы из Оксфордского Мертон-Колледжа, жившие в XIV веке и входившие в группу так называемых [[Оксфордские калькуляторы|оксфордских калькуляторов]], развивали логико-математическое учение об усилении и ослаблении качеств. Другой вариант этого же учения развивал в Сорбонне [[Орем, Николай|Николай Орем]]. Он ввёл изображение зависимости с помощью графика, исследовал сходимость [[Сумма ряда|рядов]].<ref>{{статья|автор=Орем Н.|заглавие=Трактат о конфигурации качеств|ответственный=Пер. [[Зубов, Василий Павлович|В. П. Зубова]]|издание=Историко-математические исследования|выпуск=11|место=М.|год=1958|страницы=601—732}}</ref> В алгебраических трудах он рассматривал дробные показатели [[Возведение в степень|степени]]. Видный немецкий математик и астроном [[XV век]]а Иоганн Мюллер стал широко известен под именем [[Региомонтан]] — латинизированным названием его родного города Кёнигсберг<ref group="C">Имеется в виду не нынешний Калининград, а [[Кёнигсберг (Бавария)|Кёнигсберг]] в [[Бавария|Баварии]].</ref>. Он напечатал первый в Европе труд, специально посвящённый [[тригонометрия|тригонометрии]]. По сравнению с арабскими источниками нового немного, но надо особо отметить систематичность и полноту изложения. [[Пачоли, Лука|Лука Пачоли]], крупнейший алгебраист XV века, друг [[Леонардо да Винчи]], дал ясный (хотя не слишком удобный) набросок алгебраической символики. === XVI век === [[Файл:Mathematicians XVI century.jpg|thumb|<center>Математики XVI века, средневековая миниатюра</center>]] [[XVI век]] стал переломным для европейской математики. Полностью усвоив достижения предшественников, она несколькими мощными рывками вырвалась далеко вперёд. Первым крупным достижением стало открытие общего метода решения уравнений [[Кубическое уравнение|третьей]] и [[Уравнение четвёртой степени|четвёртой]] степени. Итальянские математики [[Дель Ферро, Сципион|дель Ферро]], [[Тарталья, Никколо|Тарталья]] и [[Феррари, Лодовико|Феррари]] решили проблему, с которой несколько веков не могли справиться лучшие математики мира<ref>{{книга|автор=Гиндикин С. Г.|заглавие=Рассказы о физиках и математиках|ссылка=http://www.math.ru/lib/i/233/index.djvu?djvuopts&page=8|серия=Библ. «Квант», вып. 14|место=М.|издательство=Наука|год=1982}}</ref>. При этом обнаружилось, что в [[Формула Кардано|решении]] иногда появлялись «невозможные» корни из отрицательных чисел. После анализа ситуации европейские математики назвали эти корни «''мнимыми числами''» и выработали правила обращения с ними, приводящие к правильному результату. Так в математику впервые вошли [[комплексные числа]]. Важнейший шаг к новой математике сделал француз [[Виет, Франсуа|Франсуа Виет]]. Он окончательно сформулировал символический [[метаязык]] арифметики — буквенную [[алгебра|алгебру]]<ref>''Fr. Viete''. Introduction a l’art analytique. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. I, 1868.</ref>. С её появлением открылась возможность проведения исследований невиданной ранее глубины и общности. В своей книге «''Введение в аналитическое искусство''» Виет показал примеры мощи нового метода, найдя знаменитые [[формулы Виета]]. Символика Виета ещё не была похожа на принятую ныне, современный её вариант позднее предложил [[Декарт, Рене|Декарт]]<ref>''Декарт Р.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dekart1953ru.djvu Геометрия] // Рассуждение о методе, с приложениями / Пер., статьи и комментарии Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича. М.— Л.: Изд. Академии наук СССР, 1953.</ref>. [[Файл:John Napier.JPG|thumb|<center>Джон Непер</center>]] Третье великое открытие XVI века — изобретение [[логарифм]]ов ([[Непер, Джон|Джон Непер]])<ref>{{книга |автор=Кэджори Ф. |заглавие=История элементарной математики. Прибавление 12 |ссылка= http://www.mathesis.ru/book/cajori |издание=2-е изд., испр |ответственный=Пер. И. Ю. Тимченко |место= Одесса |издательство = Mathesis |год=1917 }}</ref>. Сложные расчёты упростились во много раз, а математика получила новую неклассическую функцию с широкой областью применения. В [[1585 год]]у фламандец [[Стевин, Симон|Симон Стевин]] издаёт книгу «''Десятая''» о правилах действий с [[Десятичная дробь|десятичными дробями]], после чего десятичная система одерживает окончательную победу и в области дробных чисел. Стевин также провозгласил полное равноправие [[Рациональное число|рациональных]] и [[Иррациональное число|иррациональных чисел]], а также (с некоторыми оговорками) и отрицательных чисел{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, с. 304-305. }}. Одновременно растёт престиж математики, в изобилии появляется множество практических задач, требующих решения — в артиллерии, мореплавании, строительстве, промышленности, гидравлике, астрономии, картографии, оптике и др. И, в отличие от античности, учёные Возрождения не чурались таких задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было. Появляются первые Академии наук. В XVI—XVII веках роль университетской науки падает, появляется множество учёных-непрофессионалов: Стевин — военный инженер, Виет и [[Ферма, Пьер|Ферма]] — юристы, [[Дезарг, Жерар|Дезарг]] и [[Рен, Кристофер|Рен]] — архитекторы, [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] — чиновник, Непер, Декарт, [[Паскаль, Блез|Паскаль]] — частные лица{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том II, с. 21. }}. === XVII век === [[Файл:Geometry XVII century.gif|thumb|<center>Геометрические измерения (XVII век)</center>]] В [[XVII век]]е быстрое развитие математики продолжается, и к концу века облик науки коренным образом меняется. [[Декарт, Рене|Рене Декарт]] исправляет стратегическую ошибку античных математиков и восстанавливает алгебраическое понимание числа (вместо геометрического)<ref>''Юшкевич А. П.'' Декарт и математика. // Р. Декарт. Геометрия. М.— Л.: 1938. С. 255—294.</ref>. Более того, он указывает способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык (с помощью [[Система координат|системы координат]]), после чего исследование становится намного эффективнее. Так родилась [[аналитическая геометрия]]. Декарт рассмотрел множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немало результатов, неизвестных древним. Особо следует отметить разработанную им [[История математических обозначений|математическую символику]], близкую к современной. Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение [[Валлис, Джон|Валлис]], [[Ферма, Пьер|Ферма]] и многие другие видные математики<ref>''Декарт Р.'' Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Пер., примечания и статья А. П. Юшкевича. М.— Л.: 1938.</ref>. Пьер Ферма, [[Гюйгенс, Христиан|Гюйгенс]] и [[Якоб Бернулли]] открывают новый раздел математики, которому суждено большое будущее — [[теория вероятностей|теорию вероятностей]]. Якоб Бернулли формулирует первую версию [[Закон больших чисел|закона больших чисел]]<ref>''Я. Бернулли'' [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/50d7a4ec5fe8c68d9c00a57498825697.djvu О законе больших чисел] / Пер. Я. В. Успенского. Предисловие А. А. Маркова. М.: Наука, 1986.</ref>. [[Файл:Bolton-newton.jpg|thumb|<center>Сэр Исаак Ньютон</center>]] И, наконец, появляется не очень чёткая, но глубокая идея — анализ произвольных гладких кривых с помощью разложения их на бесконечно малые отрезки прямых. Первой реализацией этой идеи был во многом несовершенный [[метод неделимых]] ([[Кеплер, Иоганн|Кеплер]]<ref>''И. Кеплер.'' [http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/bochki.htm Новая стереометрия винных бочек] / Пер. и предисловие Г. Н. Свешникова. Вступительная статья М. Я. Выгодского. М.— Л.: ГТТИ, 1935. С. 109.</ref>, [[Кавальери, Бонавентура|Кавальери]]<ref>''Кавальери Б.'' Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, с приложением «Опыта IV» о применении неделимых к алгебраическим степеням / Пер., вступительная статья и комментарии С. Я. Лурье. М.— Л.: 1940.</ref>, Ферма<ref>Ферма П. Введение в изучение плоских и пространственных мест. О максимуме и минимуме. Выдержки из переписки с Декартом // Р. Декарт. Геометрия. М.—Л.: 1938. С. 137—196.</ref>), и уже с его помощью было сделано множество новых открытий. В конце XVII века идея неделимых была существенно расширена [[Ньютон, Исаак|Ньютоном]]<ref>''И. Ньютон.'' Математические работы / Пер., статьи и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.—Л.: 1937.</ref> и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницем]]<ref>''Лейбниц Г. В.'' Избранные отрывки из математических сочинений / Составил и перевёл А. П. Юшкевич. — Успехи матем. наук, 1948. Т. III. В. I (23). С. 165—204.</ref>, и появился исключительно могучий инструмент исследования — [[математический анализ]]. Это математическое направление стало основным в следующем, [[XVIII век]]е. Теория [[Отрицательное число|отрицательных чисел]] всё ещё находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс [[Арно, Антуан (сын)|Арно]]»)<ref>''[[Арно, Антуан (сын)|Антуан Арно]].'' Новые начала геометрии ({{lang-fr|Nouveaux elements de geometrie}}), Париж, 1667.</ref>. [[Комплексные числа]] считались фиктивными, правила действий с ними не были окончательно отработаны. Более того, было неясно, все ли «[[мнимые числа]]» можно записать в виде ''a+bi'' или, скажем, при извлечении некоторого корня могут появиться мнимости, не сводящиеся к этой форме (так полагал даже Лейбниц). Только в XVIII веке [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Даламбер]] и [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] установили, что комплексные числа замкнуты относительно всех операций, включая извлечение корня любой степени. Во второй половине XVII века появляется научная периодика, ещё не специализированная по видам наук. Начало положили [[Лондон]] и [[Париж]], но особо важную роль сыграл журнал ''Acta Eruditorum'' ([[1682]], [[Лейпциг]], на латинском языке). [[Французская Академия наук]] издаёт свои записки (''Memoires'') с [[1699 год]]а. Выходили эти журналы редко, и переписка продолжала оставаться незаменимым средством распространения информации. === XVIII век === XVIII век в математике можно кратко охарактеризовать как век [[Математический анализ|анализа]], который стал главным объектом приложения усилий математиков. Способствуя бурному развитию естественных наук, анализ, в свою очередь, прогрессировал сам, получая от них всё более и более сложные задачи. На стыке этого обмена идеями родилась [[математическая физика]]. Критика [[Бесконечно малая величина#Исторический очерк|метода бесконечно малых]] за плохую обоснованность быстро смолкла под давлением триумфальных успехов нового подхода. В науке, благодаря [[Ньютон, Исаак|Ньютону]], царила [[механика]] — все прочие взаимодействия считались вторичными, следствиями механических процессов. Развитие анализа и механики происходили в тесном переплетении; первым это объединение осуществил [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], который убрал из [[Математические начала натуральной философии|ньютоновской механики]] архаичные конструкции и подвёл под [[Динамика (физика)|динамику]] аналитический фундамент ([[1736]]). С этого момента механика стала прикладным разделом анализа. Процесс завершил [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]], чья «Аналитическая механика»<ref>''Ж. Лагранж.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mechanics/theoretical.htm Аналитическая механика, т. I, II] / Пер. В. С. Гохмана, под ред. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье. М.—Л.: 1950.</ref> демонстративно не содержит ни одного чертежа. Одновременно анализ алгебраизировался и окончательно (начиная с Эйлера) отделился от геометрии и механики. Главным методом познания природы становится составление и решение [[дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]]. После динамики точки настал черёд динамики твёрдого тела, затем — жидкости и газа. Прогрессу в этой области немало способствовал [[спор о струне]], в котором участвовали ведущие математики Европы. [[Гравитация|Теория тяготения]] Ньютона поначалу встречала трудности в описании движения [[Луна|Луны]], однако работы [[Клеро, Алекси Клод|Клеро]], Эйлера и [[Лаплас, Пьер-Симон|Лапласа]]<ref>''Лаплас П. С.'' Изложение системы мира. — Л.: Наука, 1982. 376 с.</ref> ясно показали, что никаких дополнительных сил, кроме ньютоновских, в [[небесная механика|небесной механике]] нет. Анализ распространяется на комплексную область. [[Аналитическое продолжение]] большинства функций проблем не вызвало, и были обнаружены неожиданные связи между стандартными функциями ([[формула Эйлера]])<ref>''Л. Эйлер.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ejler_t1_1961ru.djvu Введение в анализ бесконечных. Т. I] / Пер. Е. Л. Пацановского, статья А. Шпайзера, ред. И. Б. Погребысского. С. 109.</ref>. Затруднения встретились для комплексного [[логарифм]]а, но Эйлер их успешно преодолел. Были введены [[конформные отображения]], высказана гипотеза о единственности аналитического продолжения. Комплексные функции нашли даже применение в прикладных науках — гидродинамике, теории колебаний (Даламбер, Эйлер). [[Файл:Joseph-Louis Lagrange.jpeg|thumb|<center>Жозеф Луи Лагранж</center>]] Далеко продвинулись теория и техника [[интегрирование|интегрирования]]. Входят в широкое употребление кратные интегралы (Эйлер, Лагранж), причём не только в декартовых координатах. Появляются и [[Поверхностный интеграл|поверхностные интегралы]] (Лагранж, [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]]). Усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных. Математики проявляют исключительную изобретательность при решении дифференциальных уравнений в частных производных, для каждой задачи изобретая свои методы решения. Сформировалось понятие [[Краевая задача|краевой задачи]], возникли первые методы её решения. В конце XVIII века было положено начало общей теории [[Скалярный потенциал|потенциала]] (Лагранж, Лаплас, Лежандр). Для тяготения потенциал ввёл Лагранж ([[1773]], термин предложил Грин в [[1828 год]]у). Вскоре Лаплас обнаружил связь потенциала с [[Уравнение Лапласа|уравнением Лапласа]] и ввёл важный класс ортогональных [[Сферические функции|сферических функций]]. Возникают многообещающее [[вариационное исчисление]] и вариационные принципы физики (Эйлер, Лагранж). [[Файл:Euler-USSR-1957-stamp.jpg|thumb|left|<center>Леонард Эйлер на советской почтовой марке (1957)</center>]] Лидером математиков XVIII века был Эйлер, чей исключительный талант наложил отпечаток на все основные математические достижения столетия<ref>''Котек В. В.'' Леонард Эйлер. М.: Учпедгиз, 1961</ref>. Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Эйлер существенно обогатил ассортимент [[Функция (математика)#Исторический очерк|функций]], разработал технику интегрирования, далеко продвинул практически все области математики. Наряду с [[Мопертюи, Пьер Луи де|Мопертюи]] он сформулировал [[принцип наименьшего действия]] как высший и универсальный закон природы. В [[теория чисел|теории чисел]] окончательно легализуются мнимые числа, хотя полная теория их ещё не создана. Доказана (ещё не вполне строго) [[основная теорема алгебры]]. Эйлер разработал теорию [[делимость|делимости]] целых чисел и теорию [[Сравнение по модулю натурального числа|сравнений]] (вычетов), завершённую Гауссом. Эйлер ввёл понятие [[Первообразный корень (теория чисел)|первообразного корня]], доказал его существование для любого [[Простое число|простого числа]] и нашёл количество первообразных корней, открыл [[квадратичный закон взаимности]]. Он и Лагранж опубликовали общую теорию [[Непрерывная дробь|цепных дробей]], и с их помощью решили немало задач диофантова анализа. Эйлер также обнаружил, что в ряде задач теории чисел можно применить [[Дзета-функция Римана|аналитические методы]]. [[Файл:Determinant-columns.GIF|thumb|<center>Подсчёт определителя по Крамеру</center>]] Стремительно развивается [[линейная алгебра]]. Первое подробное описание общего решения линейных систем дал в [[1750 год]]у [[Крамер, Габриэль|Габриэль Крамер]]. Близкую к современной символику и глубокий анализ [[Определитель|определителей]] дал [[Вандермонд, Александр Теофил|Александр Теофил Вандермонд]] (1735—1796). Лаплас в [[1772 год]]у дал разложение определителя по [[Минор (линейная алгебра)|минорам]]. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т. д. В алгебре назревают новые идеи, завершившиеся уже в XIX веке теорией [[Галуа, Эварист|Галуа]] и абстрактными структурами. Лагранж при исследовании уравнений пятой степени и выше вплотную подходит к теории Галуа ([[1770]]), выяснив, что «истинная метафизика уравнений — теория [[Перестановка|подстановок]]». В геометрии появляются новые разделы: [[дифференциальная геометрия]] кривых и поверхностей, [[начертательная геометрия]] ([[Монж, Гаспар|Монж]]), [[проективная геометрия]] ([[Карно, Лазар|Лазар Карно]]). [[Файл:Normal approximation to binomial.png|thumb|<center>Нормальное и биномиальное распределения</center>]] [[Теория вероятностей]] перестаёт быть экзотикой и доказывает свою полезность в самых неожиданных областях человеческой деятельности. [[Муавр, Абрахам де|Де Муавр]] и [[Бернулли, Даниил|Даниил Бернулли]] открывают [[нормальное распределение]]. Возникают вероятностная теория ошибок и научная статистика. Классический этап развития теории вероятностей завершили работы Лапласа<ref>''Лаплас П.'' Опыт философии теории вероятностей / Пер. A. I. B.; ред. А. К. Власова. М.: 1908.</ref>. Однако приложения её к физике тогда ещё почти отсутствовали (не считая теории ошибок). Центрами математических исследований становятся Академии наук, по большей части государственные. Значение университетов невелико (исключая страны, где академий ещё нет), физико-математические факультеты всё ещё отсутствуют. Ведущую роль играет [[Французская Академия наук|Парижская академия]]. Английская школа после Ньютона обособляется и на целый век снижает научный уровень; число видных математиков в Англии XVIII века невелико — де Муавр (французский эмигрант-гугенот), [[Котс, Роджер|Котс]], [[Тейлор, Брук|Тейлор]], [[Маклорен, Колин|Маклорен]], [[Стирлинг, Джеймс|Стирлинг]]. Математики становятся профессионалами, любители почти исчезают со сцены. В конце XVIII века появляются специализированные математические журналы, увеличивается интерес к истории науки. Выходит двухтомная «История математики» [[Монтукля, Жан Этьен|Монтюкла]] (посмертно переизданная и дополненная до 4 томов). Расширяется издание научно-популярной литературы. === XIX век === Неоспоримая эффективность применения математики в естествознании подталкивала учёных к мысли, что математика, так сказать, встроена в мироздание, является его идеальной основой. Другими словами, познание в математике есть часть познания реального мира. Многие учёные XVII—XVIII веков в этом и не сомневались. Но в XIX веке эволюционное развитие математики было нарушено, и этот, казавшийся непоколебимым, тезис был поставлен под сомнение. [[Файл:End of universe.jpg|thumb|<center>Неевклидовы геометрии</center>]] * В геометрии, алгебре, анализе появляются многочисленные нестандартные структуры с необычными свойствами: [[неевклидова геометрия|неевклидовы]] и многомерные геометрии, [[кватернион]]ы, [[Конечное поле|конечные поля]], [[Коммутативная операция|некоммутативные]] [[Группа (математика)|группы]] и т. п. * Объектами математического исследования всё больше становятся нечисловые объекты: [[Случайное событие|события]], [[предикат]]ы, [[Множество|множества]], абстрактные структуры, [[Вектор (математика)|векторы]], [[тензор]]ы, [[Матрица (математика)|матрицы]], [[Функция (математика)|функции]], многолинейные формы и т. д. * Возникает и получает широкое развитие [[математическая логика]], в связи с чем появилось искушение связать именно с ней коренные основания математики. * [[Георг Кантор]] вводит в математику предельно абстрактную [[теория множеств|теорию множеств]], а заодно понятие [[актуальная бесконечность|актуальной бесконечности]] произвольного масштаба. В конце века при попытке обосновать фундамент математики на основе теории множеств были обнаружены противоречия, которые заставили задуматься над непростыми вопросами: что означает «существование» и «истинность» в математике? В целом в XIX веке роль и престиж математики в науке и экономике заметно растут. Соответственно растёт и её государственная поддержка. Математика вновь становится по преимуществу университетской наукой. Появляются первые математические общества: [[Лондонское математическое общество|Лондонское]], [[Американское математическое общество|Американское]], [[Французское математическое общество|Французское]], [[Московское математическое общество|Московское]], а также общества в [[Палермо]] и [[Эдинбург]]е. Рассмотрим вкратце развитие основных областей математики в XIX веке. ==== Геометрия ==== Если XVIII век был веком анализа, то XIX век по преимуществу стал веком геометрии. Быстро развиваются созданные в конце XVIII века [[начертательная геометрия]] ([[Монж, Гаспар|Монж]]<ref>''Г. Монж.'' [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/75612926e296177a683af2054787512a.djvu Начертательная геометрия] / Пер. В. Ф. Газе, под редакцией Д. И. Каргипа. М.: 1947.</ref>, [[Ламберт, Иоганн Генрих|Ламберт]]) и возрождённая [[проективная геометрия]] (Монж, [[Понселе, Жан-Виктор|Понселе]], [[Карно, Лазар|Лазар Карно]]). Появляются новые разделы: [[векторный анализ|векторное исчисление и векторный анализ]], [[геометрия Лобачевского]], многомерная [[риманова геометрия]], теория [[Группа преобразований|групп преобразований]]. Происходит интенсивная алгебраизация геометрии — в неё проникают методы [[Теория групп|теории групп]], в конце века — [[топология|топологии]], возникает [[алгебраическая геометрия]]. [[Файл:Frenet.png|thumb|<center>Соприкасающаяся плоскость для кривой и три вектора Френе</center>]] [[Дифференциальная геометрия]] получила мощный толчок после выхода чрезвычайно содержательного труда [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]] «Общие исследования о кривых поверхностях» ([[1822]])<ref>''Гаусс К. Ф.'' [http://osnovanija.narod.ru/geometr/123.djvu Общие исследования о кривых поверхностях] // Основания геометрии. М.: ГИТТЛ, 1956.</ref>, где впервые были явно определены [[Метрический тензор|метрика]] ([[первая квадратичная форма]]) и связанная с ней [[внутренняя геометрия]] поверхности. Исследования продолжила парижская школа. В [[1847 год]]у [[Френе, Жан Фредерик|Френе]] и [[Серре, Жозеф Альфред|Серре]] опубликовали известные [[формулы Френе]] для дифференциальных атрибутов кривой<ref>''Стройк Д.'' Очерк истории дифференциальной геометрии. М.; Л.: Гостехиздат, 1941.</ref>. Крупнейшим достижением стало введение понятия [[Вектор (математика)|вектора]] и [[Векторное поле|векторного поля]]. Первоначально векторы ввёл [[Гамильтон, Уильям Роуэн|У. Гамильтон]] в связи со своими [[кватернион]]ами (как их трёхмерную мнимую часть). У Гамильтона уже появилось [[скалярное произведение|скалярное]] и [[векторное произведение]]. Сверх того, Гамильтон ввёл дифференциальный оператор <math>\nabla</math> («[[Оператор набла|набла]]») и многие другие понятия векторного анализа, в том числе определение [[Вектор-функция|вектор-функции]] и [[тензорное произведение|тензорного произведения]]. Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелла]], заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» [[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббса]] (1880-е годы), а затем [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]] ([[1903]]) придал векторному исчислению современный вид. [[Файл:Jean-Victor Poncelet.jpg|thumb|<center>Жан-Виктор Понселе</center>]] Проективная геометрия после полутора веков забвения вновь привлекла внимание — сначала Монжа, затем его учеников — Понселе и Лазара Карно. Карно сформулировал «принцип непрерывности», который позволяет сразу распространить некоторые свойства исходной фигуры на фигуры, полученные из неё непрерывным преобразованием (1801—1806). Несколько позднее Понселе ясно определил проективную геометрию как науку о проективных свойствах фигур и дал систематическое изложение её содержания ([[1815]]). У Понселе уже полностью легализованы бесконечно удалённые точки (даже мнимые). Он сформулировал [[Проективная геометрия#Терминология|принцип двойственности]] (прямых и точек на плоскости). С конца 1820-х годов формируется школа проективных геометров в Германии ([[Мёбиус, Август Фердинанд|Мёбиус]], [[Плюккер, Юлиус|Плюккер]], [[Гессе, Людвиг Отто|Гессе]], [[Штейнер, Якоб|Штейнер]] и другие). В Англии ряд работ опубликовал [[Кэли, Артур|Кэли]]. При этом стали использоваться и аналитические методы, особенно после открытия Мёбиусом [[Проективные координаты|однородных проективных координат]], включающих и бесконечно удалённую точку. Во Франции работы Понселе продолжил [[Мишель Шаль]]. Большое влияние на развитие математики имела знаменитая речь [[Риман, Бернхард|Римана]] ([[1854]]) «О гипотезах, лежащих в основании геометрии»<ref>''Риман Б.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Riman1948ru.djvu Сочинения] М.—Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1948.</ref>. Риман определил общее понятие n-мерного [[многообразие|многообразия]] и его метрику в виде произвольной положительно определённой [[Квадратичная форма|квадратичной формы]]. Далее Риман обобщил теорию поверхностей Гаусса на многомерный случай; при этом появляются знаменитый риманов [[тензор кривизны]] и другие понятия римановой геометрии. Существование неевклидовой метрики, по Риману, может объясняться либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи. В конце века [[Риччи-Курбастро, Грегорио|Г. Риччи]] завершает классический [[тензорный анализ]]. [[Файл:Lobachevsky1.jpg|thumb|<center>Николай Иванович Лобачевский</center>|left]] Во второй половине XIX века наконец привлекает общее внимание геометрия Лобачевского. Тот факт, что даже у классической геометрии существует альтернатива, произвёл огромное впечатление на весь научный мир. Он также стимулировал переоценку многих устоявшихся стереотипов в математике и физике. Ещё один переломный момент развития геометрии наступил в [[1872 год]]у, когда [[Феликс Клейн]] выступил со своей «[[Эрлангенская программа|Эрлангенской программой]]». Он классифицировал геометрические науки по используемой группе преобразований — вращения, аффинные, проективные, общие непрерывные и т. п. Каждый раздел геометрии изучает [[Инвариант (математика)|инварианты]] соответствующей группы преобразований. Клейн рассмотрел также важнейшее понятие [[Изоморфизм (математика)|изоморфизма]] (структурного тождества), который называл «перенесением». Тем самым был намечен новый этап алгебраизации геометрии, второй после [[Декарт, Рене|Декарта]]. В 1872—1875 годах [[Жордан, Мари Энмон Камиль|Камилл Жордан]] опубликовал ряд работ по аналитической геометрии n-мерного пространства (кривых и поверхностей), а в конце века он предложил [[Мера Жордана|общую теорию меры]]. [[Файл:Mug and Torus morph.gif|thumb|<center>Гомеоморфизм топологии кружки и тора (анимация)</center>]] В самом конце века рождается [[топология]], сначала под названием ''analysis situs''. Топологические методы фактически в ряде работ использовали Эйлер, Гаусс, Риман, Жордан и др. Вполне ясно предмет новой науки описывает Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе». Окончательно [[комбинаторная топология]] оформилась в работах [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] (1895—1902). ==== Математический анализ ==== Анализ в XIX веке развивался путём быстрой, но мирной эволюции. [[Файл:WeierstrassFunction.svg|thumb|300px|<center>Пример Вейерштрасса: всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция</center>]] Наиболее существенной переменой стало создание фундамента анализа ([[Коши, Огюстен Луи|Коши]], затем [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]]). Благодаря Коши<ref>''О. Л. Коши.'' Алгебраический анализ / Пер. Ф. Эвальда, В. Григорьева, А. Ильина. Лейпциг: 1864. С. VI.</ref> мистическое понятие актуального бесконечно малого исчезло из математики (хотя в физике оно используется до сих пор). Были поставлены вне науки и сомнительные действия с расходящимися рядами. Коши построил фундамент анализа на основе теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию, и его подход стал общепринятым; анализ стал менее алгебраичным, но более надёжным. Тем не менее до уточнений Вейерштрасса многие предрассудки ещё сохранялись: например, Коши верил, что непрерывная функция всегда дифференцируема, а сумма ряда из непрерывных функций непрерывна. Широчайшее развитие получила теория [[аналитическая функция|аналитических функций]] комплексного переменного, над которой работали [[Лаплас, Пьер-Симон|Лаплас]], Коши, [[Абель, Нильс Хенрик|Абель]], [[Лиувилль, Жозеф|Лиувилль]], [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]], Вейерштрасс и другие. Значительно расширился сам класс специальных функций, особенно комплексных. Главные усилия были направлены на теорию абелевых функций, которые не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, но тем не менее способствовали обогащению аналитического инструментария и созданию в XX веке более общих теорий. Многочисленные прикладные задачи деятельно стимулировали теорию [[дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]], выросшую в обширную и плодотворную математическую дисциплину. Детально исследованы основные уравнения [[Математическая физика|математической физики]], доказаны теоремы существования решения, создана качественная теория дифференциальных уравнений ([[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]]). К концу века происходит некоторая геометризация анализа — появляются [[векторный анализ]], [[тензорный анализ]], исследуется бесконечномерное функциональное пространства (см. [[Банахово пространство]], [[Гильбертово пространство]]). Компактная инвариантная запись дифференциальных уравнений гораздо удобнее и нагляднее, чем громоздкая координатная запись. ==== Алгебра и теория чисел ==== Намеченные у Эйлера аналитические методы помогли решить немало трудных проблем теории чисел ([[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]]<ref>''Гаусс К. Ф.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Gauss1959ru.djvu Труды по теории чисел] / Пер. Б. Б. Демьянова, общая ред. И. М. Виноградова, комментарии Б. Н. Делоне. М.: Изд-во АН СССР, 1959.</ref>, [[Дирихле]] и другие). Гаусс дал первое безупречное доказательство [[Основная теорема алгебры|основной теоремы алгебры]]. [[Лиувилль, Жозеф|Жозеф Лиувилль]] доказал существование бесконечного количества [[Трансцендентное число|трансцендентных чисел]] ([[1844]], подробнее в [[1851]]), дал достаточный признак трансцендентности и построил примеры таких чисел в виде суммы ряда. В [[1873 год]]у Шарль Эрмит публикует доказательство трансцендентности ''[[Число Эйлера|числа Эйлера e]]'', а в [[1882 год]]у [[Линдеман, Фердинанд фон|Линдеман]] применил аналогичный метод и к числу <math>\pi</math>. [[Файл:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|thumb|<center>Памятная табличка на мосту Брум Бридж в [[Дублин]]е: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильям Роуэн Гамильтон]] открыл [[кватернион]]ы»</center>]] [[Гамильтон, Уильям Роуэн|У. Гамильтон]] открыл удивительный некоммутативный мир [[кватернион]]ов. Возникла [[геометрическая теория чисел]] ([[Минковский, Герман|Минковский]])<ref>''Касселс Дж.'' [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/e7f24978f7ed7e7044568cee13a4ac01.djvu Введение в геометрию чисел] М.: Мир, 1965</ref>. [[Галуа, Эварист|Эварист Галуа]], опередивший своё время, представляет глубокий анализ решения уравнений произвольных степеней<ref>''Галуа Э.'' [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/8857ea6a44017a9ac867062259b89f07.djvu Сочинения] М.—Л.: ОНТИ, 1936.</ref>. Ключевыми понятиями исследования оказываются алгебраические свойства связанных с уравнением [[Симметрическая группа|группы подстановок]] и [[Алгебраическое расширение|полей расширения]]. Галуа завершил работы [[Абель, Нильс Хенрик|Абеля]], доказавшего, что уравнения степени выше 4-й [[Теория Галуа|неразрешимы в радикалах]]. [[Файл:Arthur Cayley.jpg|thumb|<center>Артур Кэли</center>|left]] По мере усвоения идей Галуа, со второй половины века, быстро развивается [[общая алгебра]]. Жозеф Лиувилль публикует и комментирует работы Галуа. В 1850-е годы [[Кэли, Артур|Кэли]] вводит понятие абстрактной [[Группа (математика)|группы]]. Термин «группа» становится общепринятым и проникает практически во все области математики, а в XX веке — в физику и кристаллографию. Формируется понятие [[линейное пространство|линейного пространства]] ([[Грассман, Герман Гюнтер|Грассман]] и Кэли, [[1843]]—[[1844]]). В [[1858 год]]у Кэли публикует общую теорию [[Матрица (математика)|матриц]], определяет операции над ними, вводит понятие [[Характеристический многочлен матрицы|характеристического многочлена]]. К [[1870 год]]у доказаны все базовые теоремы [[Линейная алгебра|линейной алгебры]], включая приведение к [[Жорданова матрица|жордановой нормальной форме]]. В [[1871 год]]у [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] вводит понятия [[Кольцо (математика)|кольца]], [[Модуль над кольцом|модуля]] и [[Идеал (алгебра)|идеала]]. Он и [[Кронекер, Леопольд|Кронекер]] создают общую [[Делимость|теорию делимости]]. В конце XIX века в математику входят [[группы Ли]]. ==== Теория вероятностей ==== [[Файл:Karl Pearson.jpg|thumb|left|<center>Карл Пирсон</center>]] На первое место выходят теория ошибок, статистика и физические приложения. Этим занимались [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассон]], [[Коши, Огюстен Луи|Коши]]. Была выявлена важность [[Нормальное распределение|нормального распределения]] как предельного во многих реальных ситуациях. Во всех развитых странах возникают статистические департаменты/общества. Благодаря работам [[Пирсон, Карл|Карла Пирсона]] возникает [[математическая статистика]] с [[Проверка статистических гипотез|проверкой гипотез]] и оценкой параметров. Всё же математические основы теории вероятностей в XIX веке ещё не были созданы, и [[Гильберт, Давид|Гильберт]] в начале XX века отнёс эту дисциплину к прикладной физике<ref>[http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/gilprob.djvu Проблемы Гильберта] / Под ред. П. С. Александрова. М.: «Наука», 1969. С. 34.</ref>. ==== Математическая логика ==== После неудачи проекта «Универсальной характеристики» Лейбница прошло полтора века, прежде чем попытка создать [[алгебра логики|алгебру логики]] повторилась. Но повторилась она на новой основе: концепция ''множества истинности'' позволила построить математическую логику как теорию классов, с теоретико-множественными операциями. Пионерами стали британские математики [[Морган, Огастес де|Август (Огастес) де Морган]] и [[Джордж Буль]]. [[Файл:LL deMorgan.png|thumb|<center>[[Законы де Моргана]] в символике их автора</center>]] В работе «Формальная логика» ([[1847]]) де Морган описал понятие ''универсума'' и символы для логических операторов, записал известные «[[законы де Моргана]]». Позже он ввёл общее понятие [[Отношение (математика)|математического отношения]] и операций над отношениями. Джордж Буль независимо разработал свой, более удачный, вариант теории. В своих работах 1847—[[1854 год]]ов он заложил основы современной [[Математическая логика|математической логики]] и описал алгебру логики ([[Булева алгебра|булеву алгебру]]). Появились первые логические уравнения, введено понятие конституэнты (разложения логической формулы). [[Джевонс, Уильям Стенли|Уильям Стенли Джевонс]] продолжил систему Буля и даже построил «логическую машину», способную решать логические задачи<ref>''Джевонс С.'' Основы науки. СПб.: 1881.</ref>. В [[1877 год]]у Эрнест Шрёдер сформулировал логический принцип двойственности. Далее [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Готлоб Фреге]] построил [[исчисление высказываний]]. [[Пирс, Чарльз Сандерс|Чарльз Пирс]] в конце XIX века изложил общую теорию отношений и [[пропозициональная функция|пропозициональных функций]], а также ввёл [[квантор]]ы. Современный вариант символики предложил [[Пеано, Джузеппе|Пеано]]. После этого всё было готово для разработки в школе [[Гильберт, Давид|Гильберта]] [[Математическое доказательство|теории доказательств]]. ==== Обоснование математики ==== К началу XIX века относительно строгое логическое (дедуктивное) обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда справедливо считалась недостаточной. Свойства новых объектов (например, [[Комплексное число|комплексных чисел]], [[Бесконечно малая величина|бесконечно малых]] и т. д.) попросту считались в целом такими же, как у объектов уже известных; если же такая экстраполяция была невозможна, свойства подбирались опытным путём. [[Файл:Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a.jpg|thumb|left|Огюстен Луи Коши]] Построение фундамента математики началось с анализа. В [[1821 год]]у [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] опубликовал «Алгебраический анализ», где чётко определил основные понятия на основе концепции предела. Всё же он сделал ряд ошибок, например, почленно интегрировал и дифференцировал ряды, не доказывая допустимость таких операций. Завершил фундамент анализа [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]], который выяснил роль важного понятия [[равномерная непрерывность|равномерной непрерывности]]. Одновременно Вейерштрасс (1860-е годы) и [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] (1870-е) дали обоснование теории [[вещественное число|вещественных чисел]]. [[1837 год]]: [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильям Гамильтон]] строит модель комплексных чисел как пар вещественных. В 1870-е годы были легализованы [[неевклидова геометрия|неевклидовы геометрии]]. Их [[Модель Клейна|модели]] на базе евклидового пространства доказали, что они так же непротиворечивы, как и геометрия Евклида. [[1879 год]]: [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Фреге]] публикует систему аксиом [[математическая логика|математической логики]]. [[1888 год]]: Дедекинд предлагает набросок системы аксиом для натуральных чисел. Годом позже законченную систему аксиом предложил [[Пеано, Джузеппе|Пеано]]. [[1899 год]]: выходят в свет «Основания геометрии» [[Гильберт, Давид|Гильберта]]. В итоге к концу века почти вся математика была построена на базе строгой аксиоматики. [[Непротиворечивость]] основных разделов математики (кроме арифметики) была строго доказана (точнее говоря, сведена к непротиворечивости арифметики). Аксиоматический фундамент для [[теория вероятностей|теории вероятностей]] и [[Теория множеств|теории множеств]] появился позже, в XX веке. ==== Теория множеств и антиномии ==== [[Файл:Matematiker georg cantor.jpg|thumb|<center>Георг Кантор</center>|left]] В [[1873 год]]у [[Георг Кантор]] ввёл понятие произвольного числового множества, а затем и общее понятие [[Множество|множества]] — самого абстрактного понятия в математике. С помощью [[Биекция|взаимно-однозначных отображений]] он ввёл понятие [[равномощность|равномощности]] множеств, потом определил сравнение [[Мощность множества|мощностей]] на больше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине их мощности: конечные, [[счётное множество|счётные]], [[Континуум (теория множеств)|континуальные]] и т. д. Иерархию мощностей Кантор рассматривал как продолжение иерархии (порядка) целых чисел ([[Порядковое число|трансфинитные числа]]). Тем самым в математику была введена [[актуальная бесконечность]] — понятие, которого прежние математики старательно избегали. На первых порах теория множеств встретила у многих математиков доброжелательный приём. Она помогла обобщить [[Мера Жордана|жордановскую теорию меры]], успешно использовалась в теории [[интеграл Лебега|интеграла Лебега]] и многими рассматривалась как основа будущей аксиоматики всей математики. Однако последующие события показали, что привычная логика не годится при исследовании бесконечности, а интуиция не всегда помогает сделать правильный выбор. Первое противоречие обнаружилось при рассмотрении самого большого множества — множества всех множеств ([[1895]]). Его пришлось исключить из математики как недопустимое. Однако появились и другие противоречия (антиномии). [[Файл:Henri Poincare.jpg|thumb|<center>Анри Пуанкаре</center>]] [[Анри Пуанкаре]], который вначале принял теорию множеств и даже использовал в своих исследованиях, позже решительно отверг её и назвал «тяжёлой болезнью математики». Однако другая группа математиков, включая [[Бертран Рассел|Бертрана Рассела]], [[Гильберт, Давид|Гильберта]] и [[Адамар, Жак|Адамара]], выступили в защиту «канторизма»{{sfn |Клайн М. Математика. Утрата определённости|1984|с=228—250. }}. Положение усугубило открытие «[[аксиома выбора|аксиомы выбора]]» ([[1904]], [[Цермело]]), которая, оказывается, неосознанно применялась во многих математических доказательствах (например, в теории вещественных чисел). Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно, и это обстоятельство ряд математиков посчитал совершенно неприемлемым, тем более что некоторые следствия аксиомы выбора противоречили интуиции ([[парадокс Банаха — Тарского]] и др.). В начале XX века удалось согласовать вариант теории множеств, свободный от обнаруженных ранее противоречий ([[Класс (математика)|теория классов]]), так что большинство математиков приняли теорию множеств. Однако былого единства математики больше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды на обоснование математики{{sfn |Клайн М. Математика. Утрата определённости|1984|с=251—299. }}. == Россия == {{main|История математики в России}} [[Файл:Magnitzki.gif|thumb|<center>Титульный и первый листы «Арифметики» Магницкого</center>]] В [[1701 год]]у императорским указом была учреждена в [[Сухарева башня|Сухаревой башне]] ''математически-навигацкая школа'', где преподавал [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Л. Ф. Магницкий]]. По поручению Петра I он написал (на церковно-славянском) известный учебник арифметики ([[1703]]), а позже издавал навигационные и логарифмические таблицы. Учебник Магницкого для того времени был исключительно добротным и содержательным. Автор тщательно отобрал всё лучшее, что было в существовавших тогда учебниках, и изложил материал ясно, с многочисленными примерами и пояснениями. Мощным толчком к развитию российской науки послужили реформы [[Сперанский, Михаил Михайлович|М. М. Сперанского]]. В начале XIX века было создано [[Министерство народного просвещения]], возникли учебные округа, и гимназии стали открываться во всех крупных городах России. При этом содержание курса математики было довольно обширным — алгебра, тригонометрия, приложения к физике и др. В [[XIX век]]е молодая российская математика уже выдвинула учёных мирового уровня. Первым из них стал [[Остроградский, Михаил Васильевич|Михаил Васильевич Остроградский]]. Как и большинство российских математиков до него, он разрабатывал преимущественно прикладные задачи [[математический анализ|анализа]]. В его работах исследуется распространение тепла, [[волновое уравнение]], [[теория упругости]], [[электромагнетизм]]. Занимался также [[Теория чисел|теорией чисел]]. Академик пяти мировых академий. Важные прикладные работы выполнил [[Буняковский, Виктор Яковлевич|Виктор Яковлевич Буняковский]] — чрезвычайно разносторонний математик, изобретатель, признанный авторитет по теории чисел и [[теория вероятностей|теории вероятностей]], автор фундаментального труда «Основания математической теории вероятностей». [[Файл:Chebyshev.jpg|thumb|Пафнутий Львович Чебышев]] Фундаментальными вопросами математики в России первой половины XIX века занялся только [[Лобачевский, Николай Иванович|Николай Иванович Лобачевский]], который выступил против догмата [[Пятый постулат|евклидовости]] пространства. Он построил [[геометрия Лобачевского|геометрию Лобачевского]] и глубоко исследовал её необычные свойства. Лобачевский настолько опередил своё время, что был оценён по заслугам только спустя много лет после смерти. Несколько важных открытий общего характера сделала [[Софья Ковалевская]]. Во второй половине XIX века российская математика, при общем прикладном уклоне, публикует и немало фундаментальных результатов. [[Чебышев, Пафнутий Львович|Пафнутий Львович Чебышев]], математик-универсал, сделал множество открытий в самых разных, далёких друг от друга, областях математики — теории чисел, теории вероятностей, теории приближения функций. [[Марков, Андрей Андреевич (старший)|Андрей Андреевич Марков]] известен первоклассными работами по теории вероятностей, однако получил выдающиеся результаты и в других областях — теории чисел и математическом анализе. К концу XIX века формируются две активные отечественные математические школы — московская и петербургская. == XX век: основные достижения == Престиж профессии математика стал в XX столетии заметно выше. Математика развивалась экспоненциально, и невозможно сколько-нибудь полно перечислить сделанные открытия, но некоторые наиболее серьёзные достижения упомянуты ниже. === Новые направления === [[Файл:Hilbert.jpg|thumb|Давид Гильберт]] В [[1900 год]]у [[Гильберт, Давид|Давид Гильберт]] на [[Международный конгресс математиков|Международном конгрессе математиков]] представил список из 23 [[Проблемы Гильберта|нерешённых математических проблем]]. Эти проблемы охватили множество областей математики и сформировали центр приложения усилий математиков XX столетия. Сегодня десять проблем из списка решены, семь частично решены, и две проблемы всё ещё открыты. Оставшиеся четыре сформулированы слишком обобщённо, чтобы имело смысл говорить об их решении. Особенное развитие в XX веке получили новые области математики; кроме [[компьютер]]ных потребностей, это во многом связано с запросами [[Теория управления|теории управления]], [[Квантовая физика|квантовой физики]] и других прикладных дисциплин. * Различные разделы [[Дискретная математика|дискретной математики]]. * [[Информатика]] и [[кибернетика]]. * Методы [[Математическая статистика|математической статистики]]. * [[Теория алгоритмов]]. * [[Теория графов]]. * Теория [[Группы Ли|групп Ли]] и других абстрактных структур. * [[Теория игр]]. * [[Теория информации]]. * Теория [[Компьютерное моделирование|компьютерного моделирования]]. * [[Теория оптимизации]], в том числе глобальной. * Теория [[Случайный процесс|случайных процессов]]. * [[Топология]]. * [[Функциональный анализ]]. Бурно развивались и многие «старые» области математики. * [[Общая алгебра]] * [[Алгебраическая геометрия]] * [[Комплексный анализ]], особенно для функций многих переменных * [[Математическая физика]] * [[Риманова геометрия]] * [[Теория вероятностей]] Среди наиболее выдающихся математиков XX века можно назвать (помимо отдельно упомянутых в данном разделе) такие имена: * [[Адамар, Жак|Жак Адамар]] — [[теория чисел]]. * [[Александров, Павел Сергеевич|Павел Сергеевич Александров]] — [[топология]]. * [[Стефан Банах]] — [[функциональный анализ]], [[теория множеств]]. * [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр]] — [[Математический анализ|анализ]], топология, теория множеств, [[философия математики]]. * [[Герман Вейль]] — алгебра, анализ, теория чисел, [[математическая логика]], математическая физика и др. * [[Норберт Винер]] — создатель [[Кибернетика|кибернетики]]. * [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Израиль Моисеевич Гельфанд]] — функциональный анализ, топология, [[алгебра]], [[группы Ли]], [[математическая физика]] и др. * [[Гротендик, Александр|Александр Гротендик]] — [[алгебраическая геометрия]]. * [[Жан Дьёдонне]] — функциональный анализ, группы Ли, топология, алгебраическая геометрия. * [[Картан, Анри|Анри Картан]] — анализ, топология. * [[Джон фон Нейман]] — математическая логика и теория компьютеров, математическая физика, теория множеств, [[информатика]], [[экономика]], [[теория игр]] и др. * [[Тарский, Альфред|Альфред Тарский]] — математическая логика. * [[Уайтхед, Альфред Норт|Альфред Норт Уайтхед]] — математическая логика. * [[Хаусдорф, Феликс|Феликс Хаусдорф]] — топология, теория множеств, функциональный анализ, теория чисел. * [[Хинчин, Александр Яковлевич|Александр Яковлевич Хинчин]] — [[теория вероятностей]]. * [[Чёрч, Алонзо|Алонзо Чёрч]] — информатика, математическая логика. * [[Шеннон, Клод Элвуд|Клод Элвуд Шеннон]] — информатика, кибернетика. * [[Эрнст Цермело]] — математическая логика, теория множеств. === Математическая логика и основания математики === В [[1931 год]]у [[Гёдель, Курт|Курт Гёдель]] опубликовал две свои [[Теоремы Гёделя о неполноте|теоремы о неполноте]], которые установили ограниченность [[математическая логика|математической логики]]. Это положило конец замыслу [[Гильберт, Давид|Давида Гильберта]] создать полную и непротиворечивую систему оснований математики. Несколько ранее в исследованиях [[Лёвенгейм, Леопольд|Лёвенгейма]] и [[Скулем, Туральф|Скулема]] 1915—1920 годов ([[теорема Лёвенгейма — Скулема]]) обнаружен ещё один обескураживающий факт: никакая аксиоматическая система не может быть [[Теория моделей#Категоричность|категорична]]. Другими словами, как бы тщательно ни формулировалась система аксиом, всегда найдётся интерпретация, совершенно не похожая на ту, ради которой эта система проектировалась. Это обстоятельство также подрывает веру в универсальность аксиоматического подхода. Тем не менее формальная аксиоматика признана необходимой для того, чтобы прояснить фундаментальные принципы, на которые опираются разделы математики. Кроме того, аксиоматизация помогает выявлению неочевидных связей между разными частями математики и тем самым способствует их унификации{{sfn |Вейль Г. Полвека математики|1969|с=7-8. }}. Капитальные результаты получены в [[теория алгоритмов|теории алгоритмов]]. Было доказано, что теорема может быть правильной, но алгоритмически неподдающейся (точнее, нет разрешающей процедуры, [[Чёрч, Алонзо|Чёрч]], [[1936]]). В [[1933 год]]у [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Андрей Колмогоров]] завершил (общепризнанную теперь) [[Аксиоматика Колмогорова|аксиоматику теории вероятностей]]. В [[1963 год]]у [[Коэн, Пол Джозеф|Пол Коэн]] доказал, что [[континуум-гипотеза]] Кантора недоказуема (в обычной [[аксиоматика теории множеств|аксиоматике теории множеств]]). === Алгебра и теория чисел === В начале века [[Эмми Нётер]] и [[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден]] завершили построение основ [[Общая алгебра|общей алгебры]], структуры которой ([[Группа (математика)|группы]], [[Поле (алгебра)|поля]], [[Кольцо (математика)|кольца]], [[Векторное пространство|линейные пространства]] и др.) пронизывают теперь всю математику. Вскоре [[теория групп]] с большим успехом проникла в физику и [[Кристаллография|кристаллографию]]. Другим важным открытием начала века стало создание и развитие плодотворной теории [[P-адическое число|p-адических чисел]]. [[Файл:Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg|thumb|left|Сриниваса Айенгор Рамануджан]] В 1910-х годах [[Рамануджан, Сриниваса Айенгор|Рамануджан]] сформулировал более чем 3000 теорем, включая свойства [[Разбиение числа|функции разбиения числа]] и её [[Асимптотическая оценка|асимптотических оценок]]. Он также получил важные результаты в области исследования [[Гамма-функция|гамма-функции]], [[Модулярная функция|модулярных форм]], [[расходящийся ряд|расходящихся рядов]], [[Гипергеометрическая функция|гипергеометрических рядов]] и теории [[Простое число|простых чисел]]. [[Уайлс, Эндрю Джон|Эндрю Уайлс]] доказал [[Великая теорема Ферма|последнюю теорему Ферма]] в [[1995 год]]у, закрыв многовековую проблему. === Математический анализ и математическая физика === В начале XX века [[Лебег, Анри Леон|Лебег]] и [[Борель, Эмиль|Борель]] обобщили жорданову теорию меры; на её основе был построен [[интеграл Лебега]]. В школе Гильберта появился [[функциональный анализ]], вскоре нашедший непосредственное применение в [[Квантовая физика|квантовой физике]]. [[Файл:Robinson abraham 1970.jpg|thumb|right|Абрахам Робинсон]] В 1960-х годах [[Робинсон, Абрахам|Абрахам Робинсон]] опубликовал изложение [[Нестандартный анализ|нестандартного анализа]] — альтернативного подхода к обоснованию [[Математический анализ|математического анализа]] на основе актуальных [[Бесконечно малая величина|бесконечно малых]]. Интенсивно развивается теория многомерных [[Многообразие|многообразий]], стимулируемая потребностями физики ([[Общая теория относительности|ОТО]], [[теория струн]] и др.). === Геометрия и топология === Общая [[топология]] стремительно развивается и находит применение в самых различных областях математики. Массовый интерес вызвали [[фрактал]]ы, открытые [[Мандельброт, Бенуа|Бенуа Мандельбротом]] ([[1975]]). [[Минковский, Герман|Герман Минковский]] в [[1907 год]]у разработал геометрическую модель кинематики [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]], позднее послужившую основой для [[Общая теория относительности|Общей теории относительности]] (ОТО). Обе эти теории послужили стимулом для быстрого развития многомерной дифференциальной геометрии произвольных гладких [[Многообразие|многообразий]] — в частности, [[Риманово многообразие|римановых]] и [[Псевдориманово многообразие|псевдоримановых]]. === Дискретная и компьютерная математика === Во второй половине XX века, в связи с появлением компьютеров, произошла существенная переориентация математических усилий. Значительно выросла роль таких разделов, как [[численные методы]], теория [[Оптимизация (математика)|оптимизации]], общение с очень большими [[База данных|базами данных]], имитация [[Искусственный интеллект|искусственного интеллекта]], кодирование звуковых и видеоданных и т. п. Возникли новые науки — [[кибернетика]], [[информатика]], [[распознавание образов]], теоретическое программирование, теория автоматического перевода, компьютерное моделирование, компактное кодирование аудио- и видеоинформации и др. Ряд старых проблем получили решение при использовании современных методов. Вольфганг Хакен и Кеннет Апель с помощью компьютера решили [[Проблема четырёх красок|проблему четырёх красок]] ([[1976]]). == См. также == * [[История арифметики]] * [[История информационных технологий]] * [[История криптографии]] * [[История комбинаторики]] * [[История математических обозначений]] * [[История тригонометрии]] * [[:Категория:Историки математики]] == Примечания == {{примечания|group="C"}} ; Источники {{примечания|2}} == Литература == {{refbegin}} ;Весь исторический период * {{книга |автор=Бурбаки Н. |заглавие=Очерки по истории математики |ответственный=Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова |ссылка = http://lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/MPop_Popular-level/Burbaki%20N.%20(_Bourbaki_)%20Ocherki%20po%20istorii%20matematiki%20(IL,%201963)(ru)(600dpi)(K)(T)(O)(292s)_MPop_.djvu |место=М. |издательство=КомКнига |год=2007 |isbn=978-5-484-00525-3 }} * {{книга |автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]] |заглавие=История математики в школе |ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm |издательство=Просвещение |место=М. |год=1964 |страниц=376}} * {{книга|автор=Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.|заглавие=Пути и лабиринты. Очерки по истории математики|ответственный=Пер. с фр.|место=М.|издательство-Мир|год=1986|страниц=432}} * {{книга |автор=Депман И. Я. |заглавие=История арифметики. Пособие для учителей |издание=Изд. второе |ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm |издательство=Просвещение |место=М. |год=1965 |страниц=416}} * {{книга|заглавие=История математики. В 3-х томах |ответственный=Под ред. [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место={{М.}}|издательство=Наука |год=1970—1972 |ref=История математики }} :* Том I. [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm С древнейших времён до начала Нового времени] (1970) :* Том II. [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm Математика XVII столетия] (1970) :* Том III. [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm Математика XVIII столетия] (1972) * {{книга |заглавие=История отечественной математики (в 4 томах) |ответственный=Под ред. И. З. Штокало |место=Киев |издательство=Наукова думка |год=1966—1970 }} * {{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]] |заглавие=Математика. Утрата определённости |издательство=Мир |место=М. |год=1984 |страниц=446 |ref=Клайн М. Математика. Утрата определённости |ссылка=http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu }} * {{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]] |заглавие=Математика. Поиск истины |ссылка=http://www.117.mhost.ru/books/science/matem_poisk_istini.zip |издательство=Мир |место=М. |год=1988 |страниц=295 |ref=Клайн М. Математика. Поиск истины }} * {{книга |автор=Малаховский В. С. |заглавие=Избранные главы истории математики |место=Калининград |издательство=Янтарный сказ |год=2002 |страниц=304 |isbn=5-7406-0544-X }} * {{книга |заглавие=Очерки по истории математики |место=М. |издательство=Изд-во МГУ |год=1997 }} * {{книга|автор=Рыбников К. А.|заглавие=История математики в двух томах |место=М.|издательство=Изд. МГУ}} :* [http://depositfiles.com/ru/files/3382709 Том I] (1960) :* [http://depositfiles.com/ru/files/3393457 Том II] (1963) * {{книга |автор=Стиллвелл Д. |заглавие=Математика и ее история |ссылка=http://lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/MSch_School-level/Stillvell%20Dzh.%20Matematika%20i%20ee%20istorija%20(RXD,%202004)(ru)(L)(T)(266s).djvu |место=Москва-Ижевск |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530 }} * {{книга |автор=Стройк Д. Я. |заглавие=Краткий очерк истории математики |ссылка=http://www.reshebnik.ru/history/ |издание=Изд. 3-е |место=М. |издательство=Наука |год=1984 |страниц=285 }} * {{книга |заглавие=Хрестоматия по истории математики |ответственный=Под ред. А. П. Юшкевича |место=М. |издательство=Просвещение }} :* Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. 1976, 318 с. :* Математический анализ. Теории вероятностей. 1977, 224 с. * Чечулин В. Л., История математики, науки и культуры (структура, периоды, новообразования): монография / В. Л. Чечулин; Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Пермь, 2013. — 166 с. ISBN 978-5-7944-2116-3 http://www.psu.ru/files/docs/science/books/mono/Chechulin_V_L_2013_Istoriya_nauki.pdf ;Древняя история * {{книга |автор=Березкина Э. И. |заглавие=Древнекитайская математика |место=М. |издательство=Физматгиз |год=1987 }} * {{книга |автор=Ван дер Варден. |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm |заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции |место=М. |издательство=Наука |год=1959 |страниц=456 }} * {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |заглавие=Арифметика и алгебра в древнем мире |место = М. |издательство=Наука |год=1967 }} * {{книга | автор=Нейгебауер О. |заглавие=Лекции по истории античных математических наук |место=М.—Л. |год=1937 |ссылка=http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Neigebauer/N_Lek_Ogl.htm }} * {{книга |автор=[[Матвиевская, Галина Павловна|Матвиевская Г. П.]] |заглавие=Очерки истории тригонометрии |место=Ташкент |издательство=Фан |год=1990 }} * {{книга |автор=Чистяков В. Д. |заглавие=Материалы по истории математики в Китае и Индии |место=М. |издательство=Учпедгиз |год=1960 }} * {{книга |автор=[[Цейтен, Иероним Георг|Цейтен Г. Г.]] |заглавие=История математики в древности и в средние века |место=М.-Л. |издательство=ГТТИ |год=1932 |страниц=230 |ref=Цейтен Г. Г. }} ;Новое время, XVI—XVIII века * {{книга |автор=Белл Э. Т. |заглавие=Творцы математики |место=М. |издательство=Просвещение |год=1979 |страниц=256 |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/bell.djvu }} * {{книга |автор=Вилейтнер Г. |заглавие=История математики от Декарта до середины XIX столетия |издательство=ГИФМЛ |место=М. |год=1960 |страниц=468 |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/vileitner.djvu}} * {{книга |автор=Гиндикин С. Г. |заглавие=Рассказы о физиках и математиках |издательство=[[МЦНМО]] |место=М.|год=2001|издание=3-е изд., расш |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/gindikin/index.html|isbn=5-900916-83-9}} * {{книга |автор=Лишевский В. П. |заглавие=Рассказы об учёных |место=М. |издательство=Наука |год=1986 }} * {{книга |автор=Майстров Л. Е. |заглавие=Теория вероятностей. Исторический очерк |место=М. |издательство=Наука |год=1967 }} * {{книга |автор=Маркушевич А. И. |издательство=ГИNТЛ |место=М. |год=1951 |заглавие=Очерки по истории теории аналитических функций |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/mark_ocherki.htm }} * {{книга |автор=[[Матвиевская, Галина Павловна|Матвиевская Г. П.]] |заглавие=Рене Декарт |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/matv_decart.htm |место=М. |издательство=Наука |год=1987 }} * {{книга |автор=Никифоровский В. А. |заглавие=Из истории алгебры |место=М. |издательство=Наука |год=1979 }} * {{книга |автор=Никифоровский В. А. |заглавие=Путь к интегралу |место=М. |издательство=Наука |год=1985 }} * {{книга |автор=Симонов Р. А. |заглавие=Математическая мысль допетровской Руси |место=М. |издательство=Наука |год=1977 }} * {{книга |автор=Цейтен Г. Г. |заглавие=История математики в XVI и XVII веках |место=М.-Л. |издательство=ОНТИ |год=1938 |страниц=456 |ref=Цейтен Г. Г. }} ;XIX—XX века * {{книга |автор=[[Вейль, Герман|Вейль Г.]] |заглавие=Полвека математики (1900-1950) |издательство=Знание |место=М. |год=1969 |ref=Вейль Г. Полвека математики }} * {{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии |ссылка=http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/razvitie.htm |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 }} :* [http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/klassik/razvitie.htm Том I] М.-Л.: ГОНТИ, 1937. 432 с. :* Том II. М.-Ижевск: 2003, 239 с. * {{книга |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). |заглавие=Математика XIX века |место=М. |издательство=Наука |страницы= |год=1978-1987 }} :* Том 1. [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/a5d285a3a1b9867d419ac34eeab8834c.djvu Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей] 1978 :* Том 2. [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/2195fea01b9bd0b893a20ae895a6dc93.djvu Геометрия. Теория аналитических функций] 1981 :* Том 3. Чебышёвское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. 1987. * {{книга |автор= |заглавие=Математика в СССР за сорок лет, 1917—1957 |место=М. |издательство=Физматгиз |год=1959 }} :* [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/4d0c96962658ac8ade119287300611b3.djvu Том 1. Обзорные статьи] :* [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/24721fe70b25b2d223388d1db14fe218.djvu Том 2. Биобиблиография] * {{книга |автор= |заглавие=Математические события XX века. Сборник |издательство=ФАЗИС |место=М. |год=2003 |страниц=560 |isbn=5-7036-0074-X }} * {{книга |автор=Медведев Ф. А. |заглавие=Развитие теории множеств в XIX веке |место=М. |издательство=Наука |год=1965 }} * {{книга |автор= |заглавие=Проблемы Гильберта |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/gilprob.djvu |место=М. |издательство=Наука |год=1969 }} * {{статья|автор=Тихомиров В. |заглавие=Математика в первой половине XX века |ссылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/kv0199tikhomirov.pdf |издание=[[Квант (журнал)|Квант]]|номер=1|год=1999}} * {{статья|автор=Тихомиров В.|заглавие=Математика во второй половине XX века |ссылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/02.pdf |издание=[[Квант (журнал)|Квант]]|номер=1|год=2001}} {{refend}} == Ссылки == * {{ВТ-ЭСБЕ|Математика}} {{История математики}} {{Хорошая статья|Математика}} [[Категория:История математики| ]] {{Link FA|eo}} {{Link FA|nl}} {{Link FA|no}} {{Link GA|de}} {{Link GA|ja}} [[as:গণিত#গণিতৰ ইতিহাস]]'