Вики-текст старой страницы до правки (old_wikitext ) | '{{к объединению|2017-08-31|Числитель дроби|Знаменатель дроби}}
{{значения|Дробь}}
{| cellpadding=6 align=right style="margin-left: 20px"
| colspan=2 align=center|<math>8~/~13</math>
| rowspan=2 | <math>\frac{8}{13}</math>
|<small>числитель</small>
|-
|<small>числитель</small>
|<small>знаменатель</small>
|<small>знаменатель</small>
|-
| colspan=4 align=center bgcolor=#FFFF99 |Две записи одной дроби
|}
'''Дробь''' в [[математика|математике]] — [[число]], состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы<ref>{{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. Дроби являются частью [[Поле (алгебра)|поля]] [[Рациональное число|рациональных чисел]]. По способу записи дроби делятся на два формата: ''[[Обыкновенная дробь|обыкновенные]]'' вида <math>\pm \frac{m}{n}</math> и ''[[Десятичная дробь|десятичные]]''.
== Виды дробей ==
=== Обыкновенные дроби ===
[[Файл:Cake quarters.svg|thumb|<center>Наглядное представление дроби <math>3 \over 4</math></center>]]
''Обыкновенная'' (или ''простая'') дробь — запись [[Рациональное число|рационального числа]] в виде <math>\pm \frac{m}{n}</math> или <math>\pm m/n,</math> где <math>n \ne 0.</math> Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. [[Делимое]] называется ''числителем'' дроби, а [[делитель]] — ''знаменателем''.
==== Обозначения обыкновенных дробей ====
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
* ½
* 1/2 или <math>{}^1/{}_2</math> ([[наклонная черта]] называется «солидус»<ref>[http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460 Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>)
* выключная формула: <math>\frac{1}{2}</math> (горизонтальная черта называется {{нп3|Винкулум|Винкулум|en|Vinculum (symbol)}})
* строчная формула: <math>\tfrac{1}{2}</math>
==== Правильные и неправильные дроби ====
''Правильной'' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется ''неправильной'', и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>\frac{7}{8}</math> и <math>\frac{1}{2}</math> — правильные дроби, в то время как <math>\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math>, <math>\frac{2}{1}</math> и <math>\frac{1}{1}</math> — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
==== Смешанные дроби ====
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется ''смешанной дробью'' и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется ''простой''.
Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.
==== Составные дроби ====
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
: <math>\frac{1}{2}/\frac{1}{3}</math> или <math>\frac{1/2}{1/3}</math> или <math>\frac{12\frac{3}{4}}{26}</math>
=== Десятичные дроби ===
{{main|Десятичная дробь}}
Десятичной дробью называют [[Позиционная система счисления|позиционную]] запись дроби. Она выглядит следующим образом:
: <math>\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots</math>
Пример: <math>3{,}1415926</math>.
Часть записи, которая стоит до позиционной [[Десятичный разделитель|запятой]], является [[Целая часть|целой частью]] числа (дроби), а стоящая после запятой — [[Дробная часть|дробной частью]]. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является [[Десятичная дробь|периодической дробью]].
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как [[Фибоначчиева система счисления|фибоначчиева]]).
== Значение дроби и основное свойство дроби ==
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если [[умножение|умножить]] числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
: <math>\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}</math>
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.
Например:
: <math>\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}</math>
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют [[общий делитель]], то обе части можно разделить на него; такая операция называется ''сокращением'' дроби. Пример:
: <math>\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}</math> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
''Несократимой'' называется дробь, числитель и знаменатель которой [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то есть не имеют общих делителей, кроме <math>\pm 1.</math>
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. [[0,999…|Пример]]:
: <math>0,999...=1</math> — две разные дроби соответствуют одному числу.
== Действия с дробями ==
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. [[Десятичная дробь]].
=== Приведение к общему знаменателю ===
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (''привести'') к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>. Порядок действий:
* Находим [[наименьшее общее кратное]] знаменателей: <math>M=[b,d]</math>.
* Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>M/b</math>.
* Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>M/d</math>.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ''M''). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ''M'' любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
=== Сравнение ===
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{4}{5}</math>. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.
: <math>\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}</math>
Следовательно, <math>\frac{3}{4} < \frac{4}{5}</math>
=== Сложение и вычитание ===
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:<br>
: <math>\frac{1}{2}</math> + <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> + <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{5}{6}</math>
[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6.
Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. <br> Получилось <math>\frac{3}{6}</math>.
Приводим дробь <math>\frac{1}{3}</math> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось <math>\frac{2}{6}</math>.<br>
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:<br>
: <math>\frac{1}{2}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{2}{4}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}</math>
[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем <math>\frac{2}{4}</math>.
=== Умножение и деление ===
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
: <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
: <math>\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2</math>
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
: <math>\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.</math>
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:
: <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad c \ne 0.</math>
Например,
: <math>\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.</math>
=== Преобразование между разными форматами записи ===
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной [[Периодическая дробь|периодической дробью]]. Примеры:
: <math>\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5</math>
: <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)</math> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
: <math>71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}</math>
== История и этимология термина ==
Русский термин ''дробь'', как и его аналоги в других языках, происходит от {{lang-lat|fractura}}, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ''ломать, раздроблять''. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили [[Математика в Древней Греции|греческие]] и [[История математики в Индии|индийские]] математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у [[Фибоначчи]] (1202 год). Слова ''числитель'' и ''знаменатель'' ввел в оборот греческий математик [[Максим Плануд]].
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричными]]. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из [[История Индии#Древняя Индия|Древней Индии]] — вначале его [[Арабская культура|позаимствовали арабы]], а затем, в [[XII век|XII]]-[[XVI век]]ах, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа <math>\tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5}</math> записывались таким способом: <math>\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}.</math> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — [[Фибоначчи]] (Леонардо Пизанский)<ref name="учебник" />.<!-- данные книги 1997 г. издания -->Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ([[Тарталья, Никколо|Тарталья]], [[Клавиус, Христофор|Клавиус]]).
На Руси дроби называли ''долями''. В первых российских учебниках математики — в [[XVII век]]е — дроби назывались ''ломаными числами''<ref name="учебник" />. Термин ''дробь'', как аналог латинского ''fractura'', используется в «Арифметике» [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Магницкого]] (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
[[Десятичная дробь|Десятичные дроби]] впервые встречаются в Китае примерно с [[III век]]а н. э. при вычислениях на счётной доске ([[суаньпань]]). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную<ref>''Jean-Claude Martzloff''. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.</ref>. Персидский математик и астроном [[Ал-Каши|Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши]] (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах [[Ал-Уклидиси]], жившего на пять веков раньше<ref>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=518 }}</ref>.
В Европе первые десятичные дроби ввёл [[Иммануил Бонфис]] около [[1350 год]]а, но широкое распространение они получили только после появления сочинения [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как <sup><big><math>\overset{\underset{{0}}{}}{4}2~\overset{\underset{{1}}{}}{5}~\overset{\underset{{2}}{}}{3}</math></big></sup> или <big style="font-size: 150%;">42 </big><big style="font-size: 140%;">⓪ </big><big style="font-size: 150%;">5 ① 3 ②</big>, где ''0'' в круге или над строкой означал целую часть, ''1'' — десятые, ''2'' — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с [[XVII век]]а<ref name="учебник">Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары : Чув. кн. изд-во, 1997. — 320 с.: ил. — С. 202—203, 230.</ref>.
== Обобщения ==
* [[Кольцо частных]]
* [[Рациональная функция]] — дробь, составленная из [[многочлен]]ов.
== См. также ==
{{wiktionary|дробь}}
* [[Дроби в Юникоде]]
* [[Цепная дробь]]
== Литература ==
* {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
== Примечания ==
{{примечания}}
{{Доли}}
[[Категория:Алгебра]]
[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Дроби]]' |
Унифицированная разница изменений правки (edit_diff ) | '@@ -1,151 +1,1 @@
-{{к объединению|2017-08-31|Числитель дроби|Знаменатель дроби}}
-{{значения|Дробь}}
-{| cellpadding=6 align=right style="margin-left: 20px"
- | colspan=2 align=center|<math>8~/~13</math>
- | rowspan=2 | <math>\frac{8}{13}</math>
- |<small>числитель</small>
- |-
- |<small>числитель</small>
- |<small>знаменатель</small>
- |<small>знаменатель</small>
- |-
- | colspan=4 align=center bgcolor=#FFFF99 |Две записи одной дроби
- |}
-'''Дробь''' в [[математика|математике]] — [[число]], состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы<ref>{{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. Дроби являются частью [[Поле (алгебра)|поля]] [[Рациональное число|рациональных чисел]]. По способу записи дроби делятся на два формата: ''[[Обыкновенная дробь|обыкновенные]]'' вида <math>\pm \frac{m}{n}</math> и ''[[Десятичная дробь|десятичные]]''.
-
-== Виды дробей ==
-
-=== Обыкновенные дроби ===
-[[Файл:Cake quarters.svg|thumb|<center>Наглядное представление дроби <math>3 \over 4</math></center>]]
-''Обыкновенная'' (или ''простая'') дробь — запись [[Рациональное число|рационального числа]] в виде <math>\pm \frac{m}{n}</math> или <math>\pm m/n,</math> где <math>n \ne 0.</math> Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. [[Делимое]] называется ''числителем'' дроби, а [[делитель]] — ''знаменателем''.
-
-==== Обозначения обыкновенных дробей ====
-Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
-* ½
-* 1/2 или <math>{}^1/{}_2</math> ([[наклонная черта]] называется «солидус»<ref>[http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460 Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>)
-* выключная формула: <math>\frac{1}{2}</math> (горизонтальная черта называется {{нп3|Винкулум|Винкулум|en|Vinculum (symbol)}})
-* строчная формула: <math>\tfrac{1}{2}</math>
-
-==== Правильные и неправильные дроби ====
-''Правильной'' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется ''неправильной'', и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
-
-Например, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>\frac{7}{8}</math> и <math>\frac{1}{2}</math> — правильные дроби, в то время как <math>\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math>, <math>\frac{2}{1}</math> и <math>\frac{1}{1}</math> — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
-
-==== Смешанные дроби ====
-Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется ''смешанной дробью'' и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется ''простой''.
-
-Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.
-
-==== Составные дроби ====
-Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
-: <math>\frac{1}{2}/\frac{1}{3}</math> или <math>\frac{1/2}{1/3}</math> или <math>\frac{12\frac{3}{4}}{26}</math>
-
-=== Десятичные дроби ===
-{{main|Десятичная дробь}}
-Десятичной дробью называют [[Позиционная система счисления|позиционную]] запись дроби. Она выглядит следующим образом:
-: <math>\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots</math>
-Пример: <math>3{,}1415926</math>.
-
-Часть записи, которая стоит до позиционной [[Десятичный разделитель|запятой]], является [[Целая часть|целой частью]] числа (дроби), а стоящая после запятой — [[Дробная часть|дробной частью]]. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является [[Десятичная дробь|периодической дробью]].
-
-Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как [[Фибоначчиева система счисления|фибоначчиева]]).
-
-== Значение дроби и основное свойство дроби ==
-Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
-
-Если [[умножение|умножить]] числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
-: <math>\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}</math>
-то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.
-Например:
-: <math>\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}</math>
-
-И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют [[общий делитель]], то обе части можно разделить на него; такая операция называется ''сокращением'' дроби. Пример:
-: <math>\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}</math> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
-
-''Несократимой'' называется дробь, числитель и знаменатель которой [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то есть не имеют общих делителей, кроме <math>\pm 1.</math>
-
-Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. [[0,999…|Пример]]:
-: <math>0,999...=1</math> — две разные дроби соответствуют одному числу.
-
-== Действия с дробями ==
-В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. [[Десятичная дробь]].
-
-=== Приведение к общему знаменателю ===
-Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (''привести'') к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>. Порядок действий:
-* Находим [[наименьшее общее кратное]] знаменателей: <math>M=[b,d]</math>.
-* Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>M/b</math>.
-* Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>M/d</math>.
-После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ''M''). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ''M'' любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
-
-=== Сравнение ===
-Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
-
-Пример. Сравниваем <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{4}{5}</math>. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.
-: <math>\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}</math>
-Следовательно, <math>\frac{3}{4} < \frac{4}{5}</math>
-
-=== Сложение и вычитание ===
-Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:<br>
-: <math>\frac{1}{2}</math> + <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> + <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{5}{6}</math>
-[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6.
-Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. <br> Получилось <math>\frac{3}{6}</math>.
-Приводим дробь <math>\frac{1}{3}</math> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось <math>\frac{2}{6}</math>.<br>
-Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:<br>
-: <math>\frac{1}{2}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{2}{4}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}</math>
-[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем <math>\frac{2}{4}</math>.
-
-=== Умножение и деление ===
-Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
-: <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>
-
-В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
-: <math>\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2</math>
-
-В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
-: <math>\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.</math>
-
-Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:
-: <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad c \ne 0.</math>
-
-Например,
-: <math>\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.</math>
-
-=== Преобразование между разными форматами записи ===
-Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной [[Периодическая дробь|периодической дробью]]. Примеры:
-: <math>\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5</math>
-: <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)</math> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
-
-Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
-: <math>71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}</math>
-
-== История и этимология термина ==
-Русский термин ''дробь'', как и его аналоги в других языках, происходит от {{lang-lat|fractura}}, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ''ломать, раздроблять''. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили [[Математика в Древней Греции|греческие]] и [[История математики в Индии|индийские]] математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у [[Фибоначчи]] (1202 год). Слова ''числитель'' и ''знаменатель'' ввел в оборот греческий математик [[Максим Плануд]].
-
-Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричными]]. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из [[История Индии#Древняя Индия|Древней Индии]] — вначале его [[Арабская культура|позаимствовали арабы]], а затем, в [[XII век|XII]]-[[XVI век]]ах, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа <math>\tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5}</math> записывались таким способом: <math>\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}.</math> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — [[Фибоначчи]] (Леонардо Пизанский)<ref name="учебник" />.<!-- данные книги 1997 г. издания -->Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ([[Тарталья, Никколо|Тарталья]], [[Клавиус, Христофор|Клавиус]]).
-
-На Руси дроби называли ''долями''. В первых российских учебниках математики — в [[XVII век]]е — дроби назывались ''ломаными числами''<ref name="учебник" />. Термин ''дробь'', как аналог латинского ''fractura'', используется в «Арифметике» [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Магницкого]] (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
-
-[[Десятичная дробь|Десятичные дроби]] впервые встречаются в Китае примерно с [[III век]]а н. э. при вычислениях на счётной доске ([[суаньпань]]). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную<ref>''Jean-Claude Martzloff''. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.</ref>. Персидский математик и астроном [[Ал-Каши|Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши]] (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах [[Ал-Уклидиси]], жившего на пять веков раньше<ref>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=518 }}</ref>.
-
-В Европе первые десятичные дроби ввёл [[Иммануил Бонфис]] около [[1350 год]]а, но широкое распространение они получили только после появления сочинения [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как <sup><big><math>\overset{\underset{{0}}{}}{4}2~\overset{\underset{{1}}{}}{5}~\overset{\underset{{2}}{}}{3}</math></big></sup> или <big style="font-size: 150%;">42 </big><big style="font-size: 140%;">⓪ </big><big style="font-size: 150%;">5 ① 3 ②</big>, где ''0'' в круге или над строкой означал целую часть, ''1'' — десятые, ''2'' — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с [[XVII век]]а<ref name="учебник">Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары : Чув. кн. изд-во, 1997. — 320 с.: ил. — С. 202—203, 230.</ref>.
-
-== Обобщения ==
-* [[Кольцо частных]]
-* [[Рациональная функция]] — дробь, составленная из [[многочлен]]ов.
-
-== См. также ==
-{{wiktionary|дробь}}
-* [[Дроби в Юникоде]]
-* [[Цепная дробь]]
-
-== Литература ==
-* {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
-
-== Примечания ==
-{{примечания}}
-
-{{Доли}}
-
-[[Категория:Алгебра]]
-[[Категория:Арифметика]]
-[[Категория:Дроби]]
+дрооооообь етооооооо неееее дляяяяяя вааааааас тупыыыыых жывооооотныыыыых лооооооооооооооооооооооооооооооооол
' |
Удалённые в правке строки (removed_lines ) | [
0 => '{{к объединению|2017-08-31|Числитель дроби|Знаменатель дроби}}',
1 => '{{значения|Дробь}}',
2 => '{| cellpadding=6 align=right style="margin-left: 20px"',
3 => ' | colspan=2 align=center|<math>8~/~13</math>',
4 => ' | rowspan=2 | <math>\frac{8}{13}</math>',
5 => ' |<small>числитель</small>',
6 => ' |-',
7 => ' |<small>числитель</small>',
8 => ' |<small>знаменатель</small>',
9 => ' |<small>знаменатель</small>',
10 => ' |-',
11 => ' | colspan=4 align=center bgcolor=#FFFF99 |Две записи одной дроби',
12 => ' |}',
13 => ''''Дробь''' в [[математика|математике]] — [[число]], состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы<ref>{{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. Дроби являются частью [[Поле (алгебра)|поля]] [[Рациональное число|рациональных чисел]]. По способу записи дроби делятся на два формата: ''[[Обыкновенная дробь|обыкновенные]]'' вида <math>\pm \frac{m}{n}</math> и ''[[Десятичная дробь|десятичные]]''.',
14 => false,
15 => '== Виды дробей ==',
16 => false,
17 => '=== Обыкновенные дроби ===',
18 => '[[Файл:Cake quarters.svg|thumb|<center>Наглядное представление дроби <math>3 \over 4</math></center>]]',
19 => '''Обыкновенная'' (или ''простая'') дробь — запись [[Рациональное число|рационального числа]] в виде <math>\pm \frac{m}{n}</math> или <math>\pm m/n,</math> где <math>n \ne 0.</math> Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. [[Делимое]] называется ''числителем'' дроби, а [[делитель]] — ''знаменателем''.',
20 => false,
21 => '==== Обозначения обыкновенных дробей ====',
22 => 'Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:',
23 => '* ½',
24 => '* 1/2 или <math>{}^1/{}_2</math> ([[наклонная черта]] называется «солидус»<ref>[http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460 Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>)',
25 => '* выключная формула: <math>\frac{1}{2}</math> (горизонтальная черта называется {{нп3|Винкулум|Винкулум|en|Vinculum (symbol)}})',
26 => '* строчная формула: <math>\tfrac{1}{2}</math>',
27 => false,
28 => '==== Правильные и неправильные дроби ====',
29 => '''Правильной'' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется ''неправильной'', и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.',
30 => false,
31 => 'Например, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>\frac{7}{8}</math> и <math>\frac{1}{2}</math> — правильные дроби, в то время как <math>\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math>, <math>\frac{2}{1}</math> и <math>\frac{1}{1}</math> — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.',
32 => false,
33 => '==== Смешанные дроби ====',
34 => 'Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется ''смешанной дробью'' и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется ''простой''.',
35 => false,
36 => 'Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.',
37 => false,
38 => '==== Составные дроби ====',
39 => 'Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:',
40 => ': <math>\frac{1}{2}/\frac{1}{3}</math> или <math>\frac{1/2}{1/3}</math> или <math>\frac{12\frac{3}{4}}{26}</math>',
41 => false,
42 => '=== Десятичные дроби ===',
43 => '{{main|Десятичная дробь}}',
44 => 'Десятичной дробью называют [[Позиционная система счисления|позиционную]] запись дроби. Она выглядит следующим образом:',
45 => ': <math>\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots</math>',
46 => 'Пример: <math>3{,}1415926</math>.',
47 => false,
48 => 'Часть записи, которая стоит до позиционной [[Десятичный разделитель|запятой]], является [[Целая часть|целой частью]] числа (дроби), а стоящая после запятой — [[Дробная часть|дробной частью]]. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является [[Десятичная дробь|периодической дробью]].',
49 => false,
50 => 'Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как [[Фибоначчиева система счисления|фибоначчиева]]).',
51 => false,
52 => '== Значение дроби и основное свойство дроби ==',
53 => 'Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.',
54 => false,
55 => 'Если [[умножение|умножить]] числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:',
56 => ': <math>\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}</math>',
57 => 'то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.',
58 => 'Например:',
59 => ': <math>\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}</math>',
60 => false,
61 => 'И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют [[общий делитель]], то обе части можно разделить на него; такая операция называется ''сокращением'' дроби. Пример:',
62 => ': <math>\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}</math> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.',
63 => false,
64 => '''Несократимой'' называется дробь, числитель и знаменатель которой [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то есть не имеют общих делителей, кроме <math>\pm 1.</math>',
65 => false,
66 => 'Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. [[0,999…|Пример]]:',
67 => ': <math>0,999...=1</math> — две разные дроби соответствуют одному числу.',
68 => false,
69 => '== Действия с дробями ==',
70 => 'В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. [[Десятичная дробь]].',
71 => false,
72 => '=== Приведение к общему знаменателю ===',
73 => 'Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (''привести'') к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>. Порядок действий:',
74 => '* Находим [[наименьшее общее кратное]] знаменателей: <math>M=[b,d]</math>.',
75 => '* Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>M/b</math>.',
76 => '* Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>M/d</math>.',
77 => 'После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ''M''). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ''M'' любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.',
78 => false,
79 => '=== Сравнение ===',
80 => 'Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.',
81 => false,
82 => 'Пример. Сравниваем <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{4}{5}</math>. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.',
83 => ': <math>\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}</math>',
84 => 'Следовательно, <math>\frac{3}{4} < \frac{4}{5}</math>',
85 => false,
86 => '=== Сложение и вычитание ===',
87 => 'Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:<br>',
88 => ': <math>\frac{1}{2}</math> + <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> + <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{5}{6}</math>',
89 => '[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6.',
90 => 'Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. <br> Получилось <math>\frac{3}{6}</math>.',
91 => 'Приводим дробь <math>\frac{1}{3}</math> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось <math>\frac{2}{6}</math>.<br>',
92 => 'Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:<br>',
93 => ': <math>\frac{1}{2}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{2}{4}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}</math>',
94 => '[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем <math>\frac{2}{4}</math>.',
95 => false,
96 => '=== Умножение и деление ===',
97 => 'Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:',
98 => ': <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>',
99 => false,
100 => 'В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:',
101 => ': <math>\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2</math>',
102 => false,
103 => 'В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:',
104 => ': <math>\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.</math>',
105 => false,
106 => 'Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:',
107 => ': <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad c \ne 0.</math>',
108 => false,
109 => 'Например,',
110 => ': <math>\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.</math>',
111 => false,
112 => '=== Преобразование между разными форматами записи ===',
113 => 'Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной [[Периодическая дробь|периодической дробью]]. Примеры:',
114 => ': <math>\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5</math>',
115 => ': <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)</math> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.',
116 => false,
117 => 'Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:',
118 => ': <math>71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}</math>',
119 => false,
120 => '== История и этимология термина ==',
121 => 'Русский термин ''дробь'', как и его аналоги в других языках, происходит от {{lang-lat|fractura}}, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ''ломать, раздроблять''. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили [[Математика в Древней Греции|греческие]] и [[История математики в Индии|индийские]] математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у [[Фибоначчи]] (1202 год). Слова ''числитель'' и ''знаменатель'' ввел в оборот греческий математик [[Максим Плануд]].',
122 => false,
123 => 'Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричными]]. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из [[История Индии#Древняя Индия|Древней Индии]] — вначале его [[Арабская культура|позаимствовали арабы]], а затем, в [[XII век|XII]]-[[XVI век]]ах, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа <math>\tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5}</math> записывались таким способом: <math>\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}.</math> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — [[Фибоначчи]] (Леонардо Пизанский)<ref name="учебник" />.<!-- данные книги 1997 г. издания -->Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ([[Тарталья, Никколо|Тарталья]], [[Клавиус, Христофор|Клавиус]]).',
124 => false,
125 => 'На Руси дроби называли ''долями''. В первых российских учебниках математики — в [[XVII век]]е — дроби назывались ''ломаными числами''<ref name="учебник" />. Термин ''дробь'', как аналог латинского ''fractura'', используется в «Арифметике» [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Магницкого]] (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.',
126 => false,
127 => '[[Десятичная дробь|Десятичные дроби]] впервые встречаются в Китае примерно с [[III век]]а н. э. при вычислениях на счётной доске ([[суаньпань]]). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную<ref>''Jean-Claude Martzloff''. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.</ref>. Персидский математик и астроном [[Ал-Каши|Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши]] (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах [[Ал-Уклидиси]], жившего на пять веков раньше<ref>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=518 }}</ref>.',
128 => false,
129 => 'В Европе первые десятичные дроби ввёл [[Иммануил Бонфис]] около [[1350 год]]а, но широкое распространение они получили только после появления сочинения [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как <sup><big><math>\overset{\underset{{0}}{}}{4}2~\overset{\underset{{1}}{}}{5}~\overset{\underset{{2}}{}}{3}</math></big></sup> или <big style="font-size: 150%;">42 </big><big style="font-size: 140%;">⓪ </big><big style="font-size: 150%;">5 ① 3 ②</big>, где ''0'' в круге или над строкой означал целую часть, ''1'' — десятые, ''2'' — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с [[XVII век]]а<ref name="учебник">Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары : Чув. кн. изд-во, 1997. — 320 с.: ил. — С. 202—203, 230.</ref>.',
130 => false,
131 => '== Обобщения ==',
132 => '* [[Кольцо частных]]',
133 => '* [[Рациональная функция]] — дробь, составленная из [[многочлен]]ов.',
134 => false,
135 => '== См. также ==',
136 => '{{wiktionary|дробь}}',
137 => '* [[Дроби в Юникоде]]',
138 => '* [[Цепная дробь]]',
139 => false,
140 => '== Литература ==',
141 => '* {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}',
142 => false,
143 => '== Примечания ==',
144 => '{{примечания}}',
145 => false,
146 => '{{Доли}}',
147 => false,
148 => '[[Категория:Алгебра]]',
149 => '[[Категория:Арифметика]]',
150 => '[[Категория:Дроби]]'
] |