Журнал фильтра правок

'{| class="infobox" |colspan="2" align="center"| [[Иррациональное число|Иррациональные числа]] <br> {{Вещественные константы|inline=1}} |-style="background:#f0f0f0" |nowrap| '''Система счисления''' || '''Оценка числа <math>\pi</math>''' |- |align="right"| [[Десятичная система счисления|Десятичная]] || 3,1415926535897932384626433832795… |-style="background:#f0f0f0" |align="right"| [[Двоичная система счисления|Двоичная]] || 11,00100100001111110110… |- |align="right"| [[Шестнадцатеричная система счисления|Шестнадцатеричная]] || 3,243F6A8885A308D31319… |-style="background:#f0f0f0" |align="right"| [[Шестидесятеричная система счисления|Шестидесятеричная]] || 3; 08 29 44 00 47 25 53 07 … |- |align="right"| [[Рациональные приближения]]|| {{frac|22|7}}, {{frac|179|57}}, {{frac|223|71}}, {{frac|333|106}}, {{frac|355|113}}, {{frac|103993|33102}} <small>(перечислено в порядке увеличения точности)</small> |-style="background:#f0f0f0" |align="right"| [[Непрерывная дробь]] ||{{nowrap|[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, … ]}} <small>(Эта непрерывная дробь не [[Периодическая функция|периодическая]]. Записана в линейной нотации)</small> |- |align="right" nowrap| [[Тригонометрия]] ||<math>\pi</math> [[радиан]] = 180° |} {{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 22em | Содержание = <div style="text-align:right"> 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094111111111111111111111111111111111111111861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4[[Точка Фейнмана|999999]]837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 </div> | Подпись =<hr> Первая тысяча знаков после запятой числа π<ref>[http://www.math.com/tables/constants/pi.htm PI<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref> }} {{другие значения|Пи}} [[Файл:Pi-unrolled-720.gif|thumb|300px|Если диаметр окружности равен единице, то длина окружности — это число «пи»]] <math>\boldsymbol\pi</math> (произносится '''«пи»''') — [[математическая константа|математическая постоянная]], равная отношению длины [[окружность|окружности]] к её [[диаметр]]у<ref group=K>Это определение пригодно только для [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]]. В других геометриях отношение длины окружности к длине её диаметра может быть произвольным. Например, в [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] это отношение меньше, чем <math>\pi</math>.</ref>. Обозначается буквой [[греческий алфавит|греческого алфавита]] «[[пи (буква)|π]]». == Свойства == === Трансцендентность и иррациональность === Число <math>\pi</math> [[иррациональное число|иррационально]], то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби <math>\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> и <math>n</math> — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является [[Периодическая дробь|периодическим]]. Иррациональность числа <math>\pi</math> была впервые доказана [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганном Ламбертом]] в 1761 году<ref>{{Cite news | last = Lambert | first = Johann Heinrich | title = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques | publication-date = 1768 | year = 1761 | periodical = Histoire de l'Académie, | publication-place = Berlin | volume = XVII | pages = 265–322 | postscript = }}</ref> путём разложения [[тангенс]]а в [[непрерывная дробь|непрерывную дробь]]. В 1794 году [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] привёл более строгое доказательство иррациональности чисел <math>\pi</math> и <math>\pi^2</math>. <math>\pi</math> — [[трансцендентное число]], то есть оно не может быть [[Корень многочлена|корнем]] какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа <math>\pi</math> была доказана в [[1882 год]]у профессором [[Кёнигсбергский университет|Кёнигсбергского]], а позже [[Мюнхенский университет|Мюнхенского университета]] [[Линдеман, Фердинанд фон|Линдеманом]]. Доказательство упростил [[Клейн, Феликс|Феликс Клейн]] в 1894 году<ref>Доказательство Клейна приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в [[Гёттинген]]е в 1908 году.</ref>. Поскольку в [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]] [[площадь фигуры|площадь]] [[круг]]а и [[длина окружности]] являются функциями числа <math>\pi</math>, то доказательство трансцендентности <math>\pi</math> положило конец попыткам построить [[Квадратура круга|квадратуру круга]], длившимся более 2,5 тысяч лет. В 1934 году [[Гельфонд, Александр Осипович|Гельфонд]] доказал<ref>{{MathWorld|GelfondsConstant|Постоянная Гельфонда}}</ref> трансцендентность числа <math>e^\pi</math>. В 1996 году [[Нестеренко, Юрий Валентинович|Юрий Нестеренко]] доказал, что для любого натурального <math>n</math> числа <math>\pi</math> и <math>e^{\pi\sqrt n}</math> [[Алгебраическая независимость|алгебраически независимы]], откуда, в частности, следует<ref name="autogenerated1"/><ref>[http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=158&volume=187&year=1996&issue=9&fpage=65&what=fullt&option_lang=eng Модулярные функции и вопросы трансцендентности]</ref> трансцендентность чисел <math>\pi+e^\pi,\pi e^\pi</math> и <math>e^{\pi\sqrt n}</math>. <math>\pi</math> является элементом [[Кольцо периодов|кольца периодов]] (а значит, [[Вычислимое число|вычислимым]] и [[Арифметическое число|арифметическим числом]]). Но неизвестно, принадлежит ли <math>1/\pi</math> к кольцу периодов. === Соотношения === Известно много формул для вычисления числа <math>\pi</math>: {{anchor|Формула Виета}} * {{нп5|Формула Виета для приближения числа π|||Viète's formula}}: :: <math>\frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots</math> : Это первое известное явное представление <math>\pi</math> с бесконечным числом операций. Доказать его можно следующим образом. Применив тождество <math>\sin2 \varphi=2 \sin \varphi \cos \varphi</math> рекурсивно и перейдя к пределу, получим ::<math>\varphi \cos\dfrac\varphi2\cos \frac\varphi4\cdots = \sin \varphi .</math> : Остаётся подставить <math>\varphi=\frac\pi2</math> и воспользоваться [[Тригонометрические тождества#Формулы двойного угла и половинного угла|формулой косинуса двойного угла]]: <math>\cos 2 \varphi=\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi .</math> * [[Формула Валлиса]]: :: <math>\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}</math> * [[Ряд Лейбница]]: :: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math> * Другие ряды: :: <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}</math> ([[ряд обратных квадратов]]) ::<math>\begin{align} \pi &= \frac12\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac8{8k+2} + \frac4{8k+3} + \frac4{8k+4} - \frac1{8k+7}\right)= \\ &= \frac14\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac8{8k+1} + \frac8{8k+2} + \frac4{8k+3} - \frac2{8k+5} - \frac2{8k+6} - \frac1{8k+7}\right)= \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{4^k}\left(\frac2{4k+1} + \frac2{4k+2} + \frac1{4k+3}\right) \end{align}</math> :: <math> \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)}</math> * Кратные ряды: :: <math>\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}</math> * [[Предел (математика)|Пределы]]: ::<math>\pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}}</math> :: <math>\pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad \to </math> здесь <math> p_k </math> — простые числа ::<math>\pi=\lim_{n\to\infty} 2^n\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}},</math> где <math>n</math> равно числу корней в выражении.<ref>{{статья |автор= [[Ромер, Павел Эмилиевич|Ромер П.]]|заглавие= Новое выражение для π|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/9702/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 97|страницы= 2—4}}</ref> * [[Тождество Эйлера (комплексный анализ)|Тождество Эйлера]]: :: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math> * Другие связи между [[Математическая константа|константами]]: :: <math>\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math> :: <math>\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math> * Т. н. интеграл [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассона]] или интеграл [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]] :: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math> :: <math>\int\limits_{0}^{\infty} \frac{Br(x)}{\displaystyle e^{Br^4(x)}}dx=\sqrt{\pi},</math> где <math>Br(x)</math> — [[корень Бринга]]. * [[Интегральный синус]]: :: <math>\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi </math> * Выражение через [[дилогарифм]]:<ref>{{MathWorld|PiSquared|Pi Squared}}</ref> :: <math>\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}</math> * Через несобственный интеграл :: <math>\int\limits_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{(x+1)\sqrt x}}=\pi</math> == История == [[Файл:Pi-symbol.svg|thumb|130px|Символ константы]] Впервые обозначением этого числа греческой буквой <math>\pi</math> воспользовался британский математик [[Джонс, Уильям (математик)|Джонс]] в 1706 году<ref>{{книга |автор=''Гнездовский Ю. Ю.'' |часть=Введение |заглавие=Справочник по тригонометрии |издательство=Экоперспектива |год= 2006 |страницы=3 |isbn=985-469-141-1}}</ref>, а общепринятым оно стало после работ [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]] в 1737 году. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов {{lang-el2|περιφέρεια}} — окружность, периферия и {{lang-el2|περίμετρος}} — периметр{{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=10—11|name=ZZ10}}. Исследование числа <math>\pi</math> и уточнение его значения шли параллельно с развитием всей математики и занимает несколько тысячелетий. Сначала <math>\pi</math> изучалось с позиции [[геометрия|геометрии]], затем развитие [[математический анализ|математического анализа]] в XVII веке показало универсальность этого числа. === Геометрический период === То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё [[Математика в Древнем Египте|древнеегипетским]], [[Вавилонская математика|вавилонским]], [[История математики в Индии|древнеиндийским]] и [[Математика в Древней Греции|древнегреческим]] геометрам, древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э. В Древнем Вавилоне принимали <math>\pi</math> равным трём. При этом оно определялось{{sfn|Кымпан|1971}} через формулу: [[площадь круга]] равна квадрату [[Окружность|длины окружности]], делённому на 12. Самые ранние из известных более точных приближений датируются примерно 1900-ми годами до н. э.: это ²⁵/₈ = 3,125 (глиняная табличка из [[Сузы|Суз]] периода [[Старовавилонский период|Старовавилонского царства]])<ref>''E. M. Bruins''. ''[http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00018846.pdf Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse]'', 1950.</ref> и ²⁵⁶/₈₁ ≈ 3,16 (египетский [[папирус Ахмеса]] периода [[Среднее царство|Среднего царства]]); оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «[[Шатапатха-брахмана]]» даёт в качестве приближения <math>\pi</math> дробь ³³⁹/₁₀₈ ≈ 3,139. Китайский философ и ученый [[Чжан Хэн]], во II веке, предложил для числа <math>\pi</math> два эквивалента: 92/29 ≈ 3,1724 и <math>\sqrt{10}</math> ≈ 3,1622. В священных книгах [[джайнизм]]а, написанных в V—VI веках до н. э., обнаружено, что тогда и в Индии <math>\pi</math> принимали равным <math>\sqrt{10}</math><ref>''Стройк. Д. Я.'' Краткий очерк истории математики. М., Наука, 1984, с. 47-48.</ref> [[Файл:Archimedes pi.svg|350px|right]] [[Файл:Cutcircle2.svg|thumb|Алгоритм Лю Хуэя для вычисления <math>\pi</math>]] [[Архимед]], возможно, первым предложил математический способ вычисления <math>\pi</math>. Для этого он вписывал в [[окружность]] и описывал около неё правильные [[многоугольник]]и. Принимая [[диаметр]] окружности за единицу, Архимед рассматривал [[периметр]] вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку <math>3\frac{10}{71} < \pi <3\frac{1}{7}</math> и предложил для приближенного вычисления <math>\pi</math> верхнюю из найденных им границ: — 22/7 ≈ 3,142857142857143. Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом [[Клавдий Птолемей|Клавдием Птолемеем]] (ок. 100 — ок. 170), который создал таблицу хорд с шагом в полградуса, что позволило ему получить для <math>\pi</math> приближение ³⁷⁷/₁₂₀, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность{{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=29}}. Леонардо Пизанский ([[Фибоначчи]]) в книге «''Practica Geometriae''» (около 1220 г.), видимо, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для <math>\pi</math>, приводит свое приближение{{sfn|Кымпан|1971|с=81}} — ⁸⁶⁴/₂₇₅. Но оно оказывается хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение ³⁷⁷/₁₂₀ оказалось верхней границей для <math>\pi</math>. В Индии [[Ариабхата]] и [[Бхаскара I|Бхаскара]] использовали приближение 3,1416. [[Варахамихира]] в VI веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением <math>\sqrt{10}</math>. Около 265 года н. э. математик [[Лю Хуэй]] из царства [[Вэй (царство)|Вэй]] предоставил простой и точный {{translation2|Алгоритм Лю Хуэя|итеративный алгоритм||Liu Hui's π algorithm}} для вычисления <math>\pi</math> с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для <math>\pi</math> по следующему принципу: : <math>\pi\approx A_{3072} = {3 \cdot 2^8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}}} \approx 3,14159.</math> Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления <math>\pi</math> и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует [[Геометрическая прогрессия|геометрическую прогрессию]] со знаменателем 4. В 480-х годах китайский математик [[Чунчжи, Цзу|Цзу Чунчжи]] продемонстрировал, что <math>\pi</math> ≈ ³⁵⁵/₁₁₃, и показал, что 3,1415926 < <math>\pi</math> < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа <math>\pi</math> в течение последующих 900 лет. === Классический период === До II тысячелетия было известно не более 10 цифр <math>\pi</math>. Дальнейшие крупные достижения в изучении <math>\pi</math> связаны с развитием [[математический анализ|математического анализа]], в особенности с открытием [[Сумма ряда|рядов]], позволяющих вычислить <math>\pi</math> с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. ;Ряд Мадхавы — Лейбница В 1400-х годах [[Мадхава из Сангамаграмы]] нашёл первый из таких рядов: : <math>{\pi} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots</math> Этот результат известен как [[Ряд Лейбница|ряд Мадхавы — Лейбница]], или ряд Грегори — Лейбница (после того как он был заново обнаружен [[Грегори, Джеймс|Джеймсом Грегори]] и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Готфридом Лейбницем]] в XVII веке). Однако этот ряд сходится к <math>\pi</math> очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в : <math>\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)</math> Мадхава смог вычислить <math>\pi</math> как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году [[Математика исламского средневековья|персидским математиком]] [[ал-Каши|Джамшидом ал-Каши]], который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа <math>\pi</math>, из которых 16 верные. ;Лудольфово число Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика [[Цейлен, Людольф|Людольфа ван Цейлена]], затратившего десять лет на вычисление числа <math>\pi</math> с 20 десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до ''n''-угольника, где ''n'' = 60·2²⁹. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа <math>\pi</math>. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число <math>\pi</math> иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа». ''Лудольфово число'' — приближённое значение для числа <math>\pi</math> с 32 верными десятичными знаками. ;Формула Виета для приближения π Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была {{нп5|формула Виета для приближения числа π|||Viète's formula}}: : <math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots</math>, найденная [[Виет, Франсуа|Франсуа Виетом]] в 1593 году. ;Формула Валлиса Другим известным результатом стала [[формула Валлиса]]: : <math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots</math>, выведенная [[Валлис, Джон|Джоном Валлисом]] в 1655 году. Аналогичные произведения: {{кол|3}} <math>\pi=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{3}\right )^2}</math> <math>\pi=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{2}{3}\right )^2}</math> <math>\pi=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{4}\right )^2}</math> <math>\pi=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{3}{4}\right )^2}</math> <math>\pi=6\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{6}\right )^2}</math> <math>\pi=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{5}{6}\right )^2}</math> <math>\pi=4\cdot\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k}{k^2+k+\frac{1}{4}}</math> <math>\pi=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{2}{9}}</math> <math>\pi=\frac{16}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{3}{16}}</math> <math>\pi=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{5}{36}}</math> {{конец кол}} ;Произведение, доказывающее родственную связь с [[e (число)|числом Эйлера e]] <math>\pi= 2\sqrt{3}\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k-1 \right )^{\frac 12 -k} \left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}}{2k+1}\left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math> ==== Методы, основанные на тождествах ==== В Новое время для вычисления <math>\pi</math> используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня. ;Формулы Мэчина Первый эффективный и современный способ нахождения числа π (а также натуральных логарифмов и других функций), основанный на развитой им теории рядов и математического анализа, дал в 1676 году [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] во втором письме к Ольденбургу<ref>{{Книга|автор=Исаак Ньютон|заглавие=Математические работы (в переводе и переработке Мордухай-Болтовского)|оригинал=|ответственный=Мордухай-Болтовской (также перевод и комментарии)|издание=|место=Москва, Ленинград|издательство=Главное изд-во технико-теоретической литературы|год=1937|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>, разлагая в ряд <math>\mathrm{arctg}\frac{1}{2}</math>. На основе этого метода наиболее эффективную формулу нашёл в 1706 году {{translation2|Мэчин, Джон|Джон Мэчин||John Machin}} : <math>\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}</math> Разложив арктангенс в [[ряд Тейлора]] : <math>\mathrm{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots</math>, можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа <math>\pi</math> с большой точностью. Формулы такого типа, в настоящее время известные как {{translation2|формулы Мэчина||en|Machin-like formula}}, использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления <math>\pi</math> в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счётчиком {{translation2|Дазе, Иоганн|Иоганном Дазе|en|Johann Dase}}, который в 1844 году по распоряжению [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]] применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр <math>\pi</math>{{Нет АИ|3|4|2015}}. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином {{нп5|Шенкс, Уильям|Уильямом Шенксом|en|William Shanks}}, у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков <math>\pi</math>. ;Пи — трансцендентное число Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа <math>\pi</math>, чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганн Генрих Ламберт]] доказал иррациональность <math>\pi</math> в 1761 году, а [[Лежандр, Адриен Мари|Адриен Мари Лежандр]] в 1774 году доказал иррациональность <math>\pi^2</math>. В 1735 году была установлена связь между [[Простое число|простыми числами]] и <math>\pi</math>, когда Леонард Эйлер решил знаменитую [[Базельская проблема|Базельскую проблему]] — проблему нахождения точного значения : <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>, которое оказалось равно <math>\frac{\pi^2}{6}</math>. И Лежандр, и Эйлер предполагали, что <math>\pi</math> может быть [[трансцендентное число|трансцендентным]], что было в конечном итоге доказано в 1882 году [[Линдеман, Фердинанд фон|Фердинандом фон Линдеманом]]. ;Символ «<math>\pi</math>» {{main|История математических обозначений}} Считается, что книга [[Джонс, Уильям (математик)|Уильяма Джонса]] «Обозрение достижений математики» (''Synopsis Palmoriorum Mathesios'', 1706 год) первая ввела в использование греческую букву [[Пи (буква)|<math>\pi</math>]] для обозначения этой константы, но эта запись стала общепризанной после того, как [[Леонард Эйлер]] принял её (или пришёл к ней независимо) в 1737 году<ref name=ZZ10/>. Эйлер писал: «''Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к <math>\left(\frac{16}{5}-\frac{4}{239}\right)-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{16}{5^3}-\frac{4}{239^3}\right)+\cdots = 3{,}14159 \cdots = \pi</math>''». === Эра компьютерных вычислений === Эпоха цифровой техники в [[XX век]]е привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. [[Нейман, Джон фон|Джон фон Нейман]] и другие использовали в 1949 году [[ЭНИАК]] для вычисления 2037 цифр <math>\pi</math>, которое заняло 70 часов. `В 1961 году [[Дэниел Шенкс]] на [[IBM 7090]] рассчитал 100000 знаков, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году<ref group=K>В наши дни с помощью ЭВМ число <math>\pi</math> вычислено с точностью до триллионов знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность практической пользы не представляет.<br> Точность вычисления ограничивается обычно наличными ресурсами компьютера, — чаще всего временем, несколько реже — объёмом памяти.</ref>. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря новым алгоритмам. В начале XX века индийский математик [[Рамануджан, Сриниваса Айенгор|Сриниваса Рамануджан]] обнаружил множество новых формул для <math>\pi</math>, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд: : <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>. Братьями [[Братья Чудновские|Чудновскими]] в 1987 году найдена похожая на неё: : <math>\frac{1}{\pi} = \frac{1}{426880 \sqrt{10005}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}</math>, которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении <math>\pi</math> в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих <math>\pi</math> на персональных компьютерах, в отличие от [[суперкомпьютер]]ов, которые устанавливают современные рекорды. В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу ''умножают'' количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда [[Ричард Брент]] и {{translation2|Юджин Саламин (математик)|Юджин Саламин||Eugene Salamin (mathematician)}} независимо друг от друга открыли {{translation2|Алгоритм Гаусса — Лежандра|алгоритм Брента — Саламина||Gauss–Legendre algorithm}}, который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков<ref>{{Citation | last = Brent | first = Richard | year = 1975 | title = Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation | periodical = Analytic Computational Complexity | publication-place = New York | publisher = Academic Press | editor-last = Traub | editor-first = J F | pages = 151–176 | url = http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html}}{{ref-en}}</ref>. Алгоритм состоит из установки начальных значений : <math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1</math> и итераций: : <math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math> : <math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n</math>, пока ''a_n'' и ''b_n'' не станут достаточно близки. Тогда оценка <math>\pi</math> даётся формулой : <math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.</math> При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден {{translation2|Боруэйн, Джонатан|Джонатаном Боруэйном||Jonathan Borwein}} {{translation2|Боруэйн, Питер|Питером Боруэйном||Peter Borwein}}<ref>{{книга|автор=Jonathan M Borwein.|заглавие=Pi: A Source Book|издательство=Springer|год=2004|isbn=0387205713}}{{ref-en}}</ref>. При помощи этих методов [[Канада, Ясумаса|Ясумаса Канада]] и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления <math>\pi</math> вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере [[Hitachi]] из 64 узлов с 1 [[терабайт]]ом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду. <!-- В en: 1996, на сайте Plouffe 1995 в других статьях 1997--> Важным развитием недавнего времени стала [[формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа]], открытая в [[1997 год]]у {{translation2|Плафф, Саймон|Саймоном Плаффом||Simon Plouffe}} и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована<ref name="bbpf">{{статья|автор=David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe.|заглавие=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|ссылка=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|издание=Mathematics of Computation|год=1997|выпуск=218|том=66|страницы=903—913}}{{ref-en}}</ref>. Эта формула, : <math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),</math> примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа <math>\pi</math> без вычисления предыдущих<ref name="bbpf"/>. С 1998 до 2000 года [[распределённые вычисления|распределённый]] проект [[PiHex]] использовал видоизменённую [[Формула Беллара|формулу]] ББП [[Беллар, Фабрис|Фабриса Беллара]] для вычисления [[квадриллион]]ного бита числа <math>\pi</math>, который оказался нулём<ref>{{cite web|author=[[Фабрис Беллар|Fabrice Bellard]].|url=http://bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n^th binary digit of pi|accessdate=11 января 2010|lang=en|archiveurl=https://www.webcitation.org/617AsLjCD?url=http://bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html|archivedate=2011-08-21|deadlink=no}}</ref>. В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул<ref>{{cite web|author=Simon Plouffe.|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf|title=Indentities inspired by Ramanujan’s Notebooks (part 2)|accessdate=11 января 2010|lang=en|archiveurl=https://www.webcitation.org/617AtFW4Y?url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf|archivedate=2011-08-21|deadlink=no}}</ref>. Пусть ''q'' = [[Постоянная Гельфонда|e^π]], тогда : <math>\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math> : <math>\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math> и другие вида : <math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) </math>, где ''q'' = [[Постоянная Гельфонда|''e''^π]], ''k'' — [[нечётное число]], и ''a'', ''b'', ''c'' — [[рациональное число|рациональные числа]]. Если ''k'' — вида 4''m'' + 3, то эта формула имеет особенно простой вид: : <math>p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) </math> для рационального ''p'', у которого [[Дробь (математика)|знаменатель]] — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено. В августе [[2009 год]]а учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов<ref>[http://science.compulenta.ru/451031/ Установлен новый рекорд точности вычисления числа π]</ref>. [[31 декабря]] [[2009 год]]а французский программист [[Беллар, Фабрис|Фабрис Беллар]] на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов<ref>[http://bellard.org/pi/pi2700e9/ Pi Computation Record]</ref>. [[2 августа]] [[2010 год]]а американский студент Александр Йи и японский исследователь {{не переведено 3|Кондо, Сигэру|Сигэру Кондо|ja|近藤茂}} рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой<ref>[http://science.compulenta.ru/552828/ Число «Пи» рассчитано с рекордной точностью]</ref><ref name="Рекорд">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html 5 Trillion Digits of Pi — New World Record]{{ref-en}}</ref>. [[19 октября]] [[2011 год]]а Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой<ref>[http://iscience.ru/2011/10/20/opredeleno-10-trillionov-cifr-desyatichnogo-razlozheniya-dlya-π/ Определено 10 триллионов цифр десятичного разложения для π]</ref><ref name="pi-10t">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html Round 2… 10 Trillion Digits of Pi]</ref>. Голландский математик [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Брауэр]] в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении <math>\pi</math> последовательности <math>0123456789</math> — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с {{число|17387594880}}-го знака после запятой{{sfn |Хоакин Наварро|2014|с=11.}}. == Рациональные приближения == <!-- Пустые строки между пунктами этого списка добавлены чтобы дроби не налезали друг на друга--> * <math>\frac{22}{7}</math> — [[Архимед]] (III век до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер; * <math>\frac{377}{120}</math> — Клавдий [[Клавдий Птолемей|Птолемей]] (II век н. э.) и [[Ариабхата]] (V век н. э.) — индийский астроном и математик; * <math>\frac{355}{113}</math> — [[Цзу Чунчжи]] (V век н. э.) — китайский астроном и математик. ;Сравнение точности приближений {| class="wikitable" |-align="center", bgcolor="#B0C4DE" | '''Число''' || '''[[Округление|Округленное значение]]''' || '''Точность (совпадения [[Числовой разряд|разрядов]]''') |-align="center" | bgcolor="E6E6FA" | <font size="5"><math>\pi</math></font> || 3,14159265… || |-align="center" | bgcolor="E6E6FA" | <math>\frac{22}{7}</math> || <span style="color:#0000CD">'''3,14'''</span>285714… || 2 разряда после запятой |-align="center" | bgcolor="E6E6FA" | <math>\frac{377}{120}</math> || <span style="color:#0000CD">'''3,141'''</span>66667… || 3 разряда после запятой |-align="center" | bgcolor="E6E6FA" | <math>\frac{355}{113}</math> || <span style="color:#0000CD">'''3,141592'''</span>92… || 6 разрядов после запятой |} == Открытые проблемы == * Неизвестна точная [[мера иррациональности]] для чисел <math>\pi</math> и <math>\pi^2</math> (но известно, что для <math>\pi</math> она не превышает 7,6063)<ref>{{MathWorld|IrrationalityMeasure|Мера иррациональности}}</ref><ref>''Max A. Alekseyev'' [https://arxiv.org/abs/1104.5100 On convergence of the Flint Hills series], 2011.</ref>. * Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi, e^{\pi^2}.</math> Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно [[Рациональное число|рациональным]] числом, [[Алгебраическое число|алгебраическим]] [[Иррациональное число|иррациональным]] или [[Трансцендентное число|трансцендентным]] числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа <math>\pi</math> и <math>e</math> [[Алгебраическая независимость|алгебраически независимыми]]<ref name=autogenerated1>{{MathWorld|IrrationalNumber|Иррациональное число}}</ref><ref>{{MathWorld|Pi|Pi}}</ref><ref>[http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf Some unsolved problems in number theory]</ref><ref>{{MathWorld|TranscendentalNumber|Трансцендентное число}}</ref><ref>[http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf An introduction to irrationality and transcendence methods]</ref>. * Неизвестно, является ли <math>{^n\pi}</math> [[целые числа|целым числом]] при каком-либо положительном целом <math>n</math> (см. [[тетрация]]). * До сих пор ничего неизвестно о [[Нормальное число|нормальности]] числа <math>\pi</math>; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа <math>\pi</math> бесконечное количество раз. Компьютерная проверка 200 млрд десятичных знаков <math>\pi</math> показала, что все 10 цифр встречаются в этой записи практически одинаково часто{{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=67—69}}: {| class="wikitable" |- ! Цифра !! Сколько раз<br>появляется |- ! 0 !! 20 000 030 841 |- ! 1 !! 19 999 914 711 |- ! 2 !! 20 000 013 697 |- ! 3 !! 20 000 069 393 |- ! 4 !! 19 999 921 691 |- ! 5 !! 19 999 917 053 |- ! 6 !! 19 999 881 515 |- ! 7 !! 19 999 967 594 |- ! 8 !! 20 000 291 044 |- ! 9 !! 19 999 869 180 |} Однако строгое доказательство отсутствует. * Неизвестно, принадлежит ли <math>\frac{1}{\pi}</math> к [[Кольцо периодов|кольцу периодов]]. == Метод иглы Бюффона == {{main|Задача Бюффона о бросании иглы}} На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к <math>\frac2\pi</math> при увеличении числа бросков до бесконечности<ref>[http://kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm Обман или заблуждение?] Квант № 5 1983 год</ref>. Данный метод иглы базируется на [[теория вероятностей|теории вероятностей]] и лежит в основе [[метод Монте-Карло|метода Монте-Карло]]<ref>''Г. А. Гальперин.'' [http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node2.html Биллиардная динамическая система для числа пи].</ref>. == [[Мнемоника|Мнемонические]] правила == Стихотворения для запоминания 8—11 знаков числа π: {| width="100%" |-valign="top" | {{начало цитаты}} <poem> Чтобы нам не ошибаться, Надо правильно прочесть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Надо только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. </poem> {{конец цитаты}} | {{начало цитаты}} <poem> Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, два, шесть, пять, три, пять. Чтоб наукой заниматься, Это каждый должен знать. Можно просто постараться И почаще повторять: «Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, двадцать шесть и пять». </poem> {{конец цитаты}} |} Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера: {{начало цитаты}} <poem> Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один </poem> {{конец цитаты}} Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах: {| width="100%" |-valign="top" | {{начало цитаты}} <poem> Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны. Доверимся знаньям громадным Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. </poem> {{конец цитаты}} {{начало цитаты}} <poem> Учи и знай в числе известном За цифрой цифру, как удачу примечать. </poem> {{конец цитаты}} | {{начало цитаты}} <poem> Раз у Коли и Арины Распороли мы перины. Белый пух летал, кружился, Куражился, замирал, Ублажился, Нам же дал Головную боль старух. Ух, опасен пуха дух! </poem> {{конец цитаты|источник=Георгий Александров}} |} Подобные стихи существовали и в [[Реформа русской орфографии 1918 года|дореформенной орфографии]]. Например, следующее стихотворение, сочинённое преподавателем Нижегородской гимназии Шенроком<ref>[[Элементарная геометрия (Киселёв)|«Элементарная геометрия» Киселёва]][[s:Индекс:А. П. Киселёв. Элементарная геометрия (1914).djvu|стр. 225]]</ref>: {{начало цитаты}}<poem> Кто и шутя и скоро пожелаетъ Пи узнать, число ужъ знаетъ.</poem>{{конец цитаты}} == Дополнительные факты == {{trivia}} * Мировой рекорд по запоминанию знаков числа <math>\pi</math> после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина (Rajveer Meena), который в марте 2015 года воспроизвёл 70 000 знаков после запятой за 9 часов 27 минут.<ref>[http://www.ndtv.com/india-news/21-year-old-memorises-70-000-pi-digits-sets-guinness-record-1226747 21-Year-Old Memorises 70,000 Pi Digits, Sets Guinness Record]</ref> До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки<ref>[http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi]</ref><ref>[http://www.pi-world-ranking-list.com/lists/details/luchaointerview.html Interview with Mr. Chao Lu]</ref>. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число <math>\pi</math> до 100-тысячного знака после запятой<ref>[https://archive.is/20120714174124/search.japantimes.co.jp/print/fl20061217x1.html How can anyone remember 100,000 numbers?] — The Japan Times, 17.12.2006.</ref>, однако проверить это официально не удалось<ref>[http://www.pi-world-ranking-list.com/news/index.html Pi World Ranking List]</ref>. В России рекорд по запоминанию принадлежит Владимиру Кондрякову (13 183 знака)<ref>[http://www.mk.ru/science/2016/03/15/istorik-rasskazal-kak-zapomnil-13-tysyach-znakov-v-chisle-pi.html Историк рассказал, как запомнил 13 тысяч знаков в числе «Пи»] — МК.RU, 15 марта 2016</ref>. * В штате [[Индиана]] (США) в 1897 году был выпущен [[Законопроект о числе пи|Билль о числе пи]], законодательно устанавливающий его значение равным 3,2<ref>[http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm The Indiana Pi Bill, 1897]{{ref-en}}</ref>. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора [[Университет Пердью|Университета Пердью]], присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона. * «Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска<ref>В. И. Арнольд любит приводить этот факт, см. например книгу [http://www.mccme.ru/edu/viarn/whatis.ps Что такое математика] ([[PostScript|ps]]), стр. 9.</ref>. * Программа «супер Пи», фиксирующая время, за которое вычисляется заданное количество знаков (до 32 миллионов) числа Пи, может быть использована для [[Тест производительности|тестирования производительности]] компьютеров. *14 марта 2019 года, когда отмечается неофициальный праздник числа пи, компания [[Google (компания)|Google]] представила данное число с 31,4 триллионами знаков после запятой. Вычислить его с такой точностью сумела сотрудница Google в Японии Эмма Харука-Ивао.<ref>{{Cite web|url=https://www.mk.ru/science/2019/03/14/znachenie-chisla-pi-vychislili-do-314-trln-znakov-posle-zapyatoy.html|title=Значение числа «пи» вычислили до 31,4 трлн знаков после запятой|publisher=www.mk.ru|lang=ru|accessdate=2019-03-14}}</ref> == В культуре == * Существует [[Пи (фильм)|художественный фильм]], названный в честь числа Пи. * Неофициальный праздник «[[День числа пи]]» ежегодно отмечается [[14 марта]], которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа <math>\pi</math>. Считается<ref>[http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html Статья в Los Angeles Times «Желаете кусочек <math>\pi</math>»? (название обыгрывает сходство в написании числа <math>\pi</math> и слова pie (англ. пирог))] {{Wayback|url=http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html |date=20090219220744 }} {{недоступная ссылка|число=22|месяц=05|год=2013|url=http://latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html|id=20100516}}{{ref-en}}.</ref>, что праздник придумал в [[1987 год]]у физик из [[Сан-Франциско]] [[Ларри Шоу]], обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159. * Ещё одной датой, связанной с числом <math>\pi</math>, является [[22 июля]], которое называется «Днём приближённого числа Пи» ({{lang-en|Pi Approximation Day}}), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа <math>\pi</math>. == См. также == * [[Точка Фейнмана]] * [[Число τ]] == Примечания == ; Комментарии {{Примечания|group=K}} ; Примечания {{Примечания}} == Литература == * {{книга|автор=Жуков А. В.|ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.18.pdf |заглавие=О числе π|место=М.|издательство=МЦМНО|год=2002|страниц=32|isbn=5-94057-030-5}} * {{книга|автор=Жуков А. В.|заглавие=Вездесущее число «пи»|издание=2-е изд |ref=Вездесущее число «пи» |место=М.|издательство=Издательство ЛКИ|год=2007|страниц=216|isbn=978-5-382-00174-6}} * {{Книга|автор=Кымпан, Флорика. |заглавие=История числа пи |ref=Кымпан |ответственный=|издание=|место=М.|издательство=Наука|год=1971|страницы=|страниц=217|isbn=}} * {{книга |автор=Наварро, Хоакин. |серия=Мир математики: в 45 томах, том 7 |ref=Хоакин Наварро |заглавие=Секреты числа <math>\pi.</math> Почему неразрешима задача о квадратуре круга |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=143 |isbn=978-5-9774-0629-1 }} * {{книга|автор=[[Перельман, Яков Исидорович|Перельман Я. И.]]|заглавие=Квадратура круга |место=Л.|издательство=Дом занимательной науки|год=1941}}. Переиздание: ЁЁ Медиа, ISBN 978-5-458-62773-3. * {{книга|автор=Шумихин Сергей, Шумихина Александра. |заглавие=Число Пи. История длиною в 4000 лет |место=М.|издательство=Эксмо |год=2011 |страниц=192 |isbn=978-5-699-51331-4 |серия=Тайны мироздания}} * {{Книга|автор=David H. Bailey, Jonathan M. Borwein |заглавие=Pi: The Next Generation A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation |ответственный=|место=|издательство=Springer|год=2016|страницы=|страниц=507|isbn=978-3-319-32375-6}} == Ссылки == * {{MathWorld |urlname=PiFormulas |title=Pi Formulas}} * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Representations+of+Pi Различные представления числа Пи] на [[Wolfram Alpha]] * {{OEIS|A000796}} * [http://pi2e.ch/ 22,4 трлн знаков числа пи] (мировой рекорд) {{Числа с собственными именами}} {{Иррациональные числа}} [[Категория:Критерии подобия]] [[Категория:Пи (число)| ]] [[Категория:Положительные числа]]'