Журнал фильтра правок

'{{значения|Дробь}} {| cellpadding=6 align=right style="margin-left: 20px" | colspan=2 align=center|<math>8~/~13</math> | rowspan=2 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{8}{13}</math> |<small>числитель</small> |- |<small>числитель</small> |<small>знаменатель</small> |<small>знаменатель</small> |- | colspan=4 align=center bgcolor=#FFFF99 |Две записи одной дроби |} '''Дробь''' в [[математика|математике]] — [[число]], состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы{{sfn |Математическая энциклопедия|1982}}. По способу записи дроби делятся на два формата: '''обыкновенные''' вида <math>\pm \frac{m}{n}</math> и '''[[Десятичная дробь|десятичные]]''' вида 8765к9988887777777777777777777777777777776689867667868787678976987698769876987689876987698769876 В математической записи дроби вида <math>X/Y</math> или <math>\frac{X}{Y}</math> число перед (над) чертой называется '''числителем''', а число после черты (под чертой) — '''знаменателем'''. Первый выступает в роли [[делимое|делимого]], второй — [[делитель|делителя]]. Обыкновенные дроби с [[Целое число|целыми]] числителями и ненулевыми знаменателями образуют [[Поле (алгебра)|поле]] [[Рациональное число|рациональных чисел]]. == Виды дробей == === Обыкновенные дроби === [[Файл:Cake quarters.svg|thumb|Наглядное представление дроби 3/4]] '''Обыкновенная''' (или '''простая''') дробь — запись [[Рациональное число|рационального числа]] в виде <math>\pm \frac{m}{n}</math> или <math>\pm m/n,</math> где <math>n \ne 0.</math> Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. [[Делимое]] называется '''числителем''' дроби, а [[делитель]] — '''знаменателем'''. ==== Обозначения обыкновенных дробей ==== Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде: * ½, * 1/2 или <math>^1\!/_2</math> ([[наклонная черта]] называется «солидус»{{sfn|Справочник ПараТайп}}), * выключная формула: <math>\frac{1}{2}</math>, * строчная формула: <math>\tfrac{1}{2}</math>. ==== Правильные и неправильные дроби ==== '''Правильной''' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется '''неправильной''' и представляет собой [[рациональное число]], по модулю большее или равное единице. Например, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>\frac{7}{8}</math> и <math>\frac{1}{2}</math> — правильные, в то время как <math>\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math>, <math>\frac{2}{1}</math> и <math>\frac{1}{1}</math> — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем <math>1</math>. ==== Смешанные дроби ==== Дробь, записанная в виде неотрицательного целого числа и правильной дроби, называется '''смешанной дробью''' и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется '''простой'''. Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>. ==== Составные дроби ==== Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт: : <math>\frac{1}{2}\bigg/\frac{1}{3}</math> или <math>\frac{1/2}{1/3}</math> или <math>\frac{12\frac{3}{4}}{26}</math>. Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления. === Десятичные дроби === {{main|Десятичная дробь}} Десятичной дробью называют [[Позиционная система счисления|позиционную]] запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак <math>+</math> вне арифметических выражений обычно опускается): : <math>\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2\dots</math> Часть записи, которая стоит до [[Десятичный разделитель|запятой]], в случае неотрицательной дроби является [[Целая часть|целой частью]] числа (дроби), а стоящая после запятой — [[Дробная часть|дробной частью]]. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в [[Десятичная дробь|десятичную]], которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является [[Десятичная дробь|периодической дробью]]. Пример: десятичная дробь <math>3{,}1415926</math> в формате обыкновенной дроби равна <math>\frac{1415926}{10000000}</math>. Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …. Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10⁻⁷, означает 0,0000006023 (умножение на <math>10^{-7}</math>, или, что то же, деление на <math>10^7,</math> перемещает знак [[Десятичный разделитель|запятой]] на 7 разрядов влево). Другой вид дроби представляет собой '''[[процент]]''' ({{Lang-la|Pro Centum}} — «на сто»), представленный символом '''%''', в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100. Схожее понятие '''промилле''' или частей на тысячу подразумевает знаменатель '''1000'''. Распространенным обозначением частей на миллион является ({{Lang-en|parts per million}} — ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000. {| class="wikitable" |+ [[Международная система единиц]] |- ! Международное обозначение !! Русское !! Система СИ |- | ppm || млн⁻¹; 1:10⁶ || [[Микро-|микро]] (мк) |- | ppb || млрд⁻¹; 1:10⁹ || [[Нано-|нано]] (н) |- | ppt || трлн⁻¹; 1:10¹² || [[Пико-|пико]] (п) |- | ppquad || квадрлн⁻¹; 1:10¹⁵ || [[Фемто-|фемто]] (ф) |} Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и [[Позиционная система счисления|другие]] (в том числе и специфические, такие, как [[Фибоначчиева система счисления|фибоначчиева]]). == Значение дроби и основное свойство дроби == Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные. Если [[умножение|умножить]] числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину: : <math>\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}</math> то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например: : <math>\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}</math> И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют [[общий делитель]], то обе части можно разделить на него; такая операция называется '''сокращением''' дроби. Пример: : <math>\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}</math> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель <math>4</math>. '''Несократимой''' называется дробь, числитель и знаменатель которой [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то есть не имеют общих делителей, кроме <math>\pm 1.</math> Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например: : <math>0, \! 999...=1</math> — две разные записи дроби соответствуют [[0,(9)|одному числу]]; : <math>2, \! 13999...=2,\!14</math>. == Действия с дробями == В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. [[Десятичная дробь]]. === Приведение к общему знаменателю === Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать ('''привести''') к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>. Порядок действий: * Находим [[наименьшее общее кратное]] знаменателей: <math>M=[b,d]</math>. * Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>M/b</math>. * Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>M/d</math>. После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны <math>M</math>). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве <math>M</math> любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение. === Сравнение === Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше. Пример. Сравниваем <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{4}{5}</math>. <math>\mathrm{HOK}(4, 5) = 20</math>. Приводим дроби к знаменателю <math>20</math>. : <math>\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}</math> Следовательно, <math>\frac{3}{4} < \frac{4}{5}</math> === Сложение и вычитание === Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:<br> : <math>\frac{1}{2}</math> + <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> + <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{5}{6}</math> [[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь <math>2</math> и <math>3</math>) равно <math>6</math>. Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю <math>6</math>, для этого числитель и знаменатель надо умножить на <math>3</math>. <br> Получилось <math>\frac{3}{6}</math>. Приводим дробь <math>\frac{1}{3}</math> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на <math>2</math>. Получилось <math>\frac{2}{6}</math>.<br> Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:<br> : <math>\frac{1}{2}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{2}{4}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}</math> [[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь <math>2</math> и <math>4</math>) равно <math>4</math>. Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю <math>4</math>, для этого надо числитель и знаменатель умножить на <math>2</math>. Получаем <math>\frac{2}{4}</math>. === Умножение и деление === Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: : <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math> В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же: : <math>\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2</math> В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например: : <math>\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.</math> Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй: : <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad b,c,d \ne 0.</math> Например: : <math>\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.</math> === Возведение в степень и извлечение корня === Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень: : <math>\left(\frac{a}{b}\right) ^ n = \frac{a^n}{b^n}, b \neq 0.</math> Пример: : <math>\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}</math> Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя: : <math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 .</math> Пример: : <math>\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}= \frac{4}{5}.</math> === Преобразование между разными форматами записи === {{Основная статья|Десятичная дробь}} Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной [[Периодическая дробь|периодической дробью]]. Примеры: : <math>\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5</math> : <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)</math> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках. Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример: : <math>71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}</math> Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются [[Десятичная дробь|периодические десятичные дроби]], для которых такое представление всегда возможно{{sfn|Цыпкин|1983}}. Пример (см. также [[Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную]]). Преобразуем периодическую дробь <math>1{,}3(142857) = 1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots</math> в обыкновенную дробь. <math>1{,}3(142857) = 1{,}3 + 0{,}1 \cdot 0{,}(142857).</math> Обозначим <math>x=0{,}(142857)</math>, тогда <math>1000000\cdot x =142857 + x,</math> откуда: <math>999999 x =142857,</math> или: <math>x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}.</math> В итоге получаем: <math>1{,}3(142857) = 1{,}3 + 0{,}1 x = 1{,}3 + 0{,}1\cdot\frac{1}{7}. = \frac {13}{10} +\frac {1}{70} = \frac {92}{70} = 1\frac{11}{35}.</math> == История и этимология термина == Русский термин ''дробь'', как и его аналоги в других языках, происходит от {{lang-lat|fractura}}, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ''ломать, раздроблять''. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили [[Математика в Древней Греции|греческие]] и [[История математики в Индии|индийские]] математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у [[Фибоначчи]] (1202 год). Слова ''числитель'' и ''знаменатель'' ввёл в оборот греческий математик [[Максим Плануд]]. Дроби вычислялись ещё в [[Древний Египет|Древнем Египте]]. До наших дней сохранились математические источники о [[Египетские дроби|египетских дробях]]: [[Математический папирус Ринда]] (ок. 1650 год до н. э.){{sfn|The Rhind Mathematical Papyrus}}, [[Египетский математический кожаный свиток]] (XVII век до н. э.){{sfn|Clagett|1999}}, [[Московский математический папирус]] (ок. 1850 год до н. э.), {{не переведено|Деревянная табличка Ахмима|Деревянная табличка из Ахмима|en|Akhmim wooden tablets}} (ок. 1950 год до н. э.){{sfn|Simpson|1961}}. В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «[[Математика в девяти книгах]]» (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . [[Десятичная дробь|Десятичные дроби]] впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске ([[суаньпань]]). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную{{sfn|Martzloff|1997}}. Персидский математик и астроном [[Ал-Каши|Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши]] (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах [[Ал-Уклидиси]], жившего на пять веков раньше{{sfn|Berggren|2007}}. Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричными]]. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из [[История Индии#Древняя Индия|Древней Индии]] — вначале его [[Арабская культура|позаимствовали арабы]], а затем, в [[XII век|XII]]-[[XVI век]]ах, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа <math>\tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5}</math> записывались таким способом: <math>\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}.</math> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — [[Фибоначчи]] (Леонардо Пизанский){{sfn|Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд|1997}}. <!-- данные книги 1997 г. издания -->Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ([[Тарталья, Никколо|Тарталья]], [[Клавиус, Христофор|Клавиус]]). В Европе первые десятичные дроби ввёл [[Иммануил Бонфис]] около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как <big><math>\overset{\underset{{0}}{}}{4}2~\overset{\underset{{1}}{}}{5}~\overset{\underset{{2}}{}}{3}</math></big> или <big style="font-size: 150%;">42 </big><big style="font-size: 140%;">⓪ </big><big style="font-size: 150%;">5 ① 3 ②</big>, где ''0'' в круге или над строкой означал целую часть, ''1'' — десятые, ''2'' — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с [[XVII век]]а{{sfn|Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд|1997}}. На Руси дроби называли ''долями''. В первых российских учебниках математики — в [[XVII век]]е — дроби назывались ''ломаными числами''{{sfn|Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд|1997}}. Термин ''дробь'', как аналог латинского ''fractura'', используется в «Арифметике» [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Магницкого]] (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей. == Обобщения == * [[Кольцо частных]] * [[Рациональная функция]] — дробь, составленная из [[многочлен]]ов. == См. также == {{wiktionary|дробь}} * [[Дроби в Юникоде]] * [[Цепная дробь]] * [[Египетские дроби]] == Примечания == {{примечания}} == Литература == '''На русском:''' * {{книга |часть = Дробь арифметическая|заглавие = Математическая энциклопедия (в 5 томах)|том = 2|страницы = 389—390|ссылка = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu|место = Москва|год = 1982|издательство = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]|ref = Математическая энциклопедия}} * {{книга |ответственный = под ред. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд|заглавие = Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк.|издание = 4-е изд|страницы = 202—203, 230|место = Чебоксары|год = 1997|издательство = Чув. кн. изд-во|ref = Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд}} * {{книга |автор = Цыпкин А. Г.|издание = 3-е изд.|заглавие = Справочник по математике для средних учебных заведений|место=Москва|издательство = Наука|год = 1983|страницы = 51|страниц = 480|ref = Цыпкин}} '''На английском:''' * {{книга |заглавие = The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|часть = Mathematics in Medieval Islam|издательство = [[Princeton University Press]]|год = 2007|isbn = 978-0-691-11485-9|страницы = 518|язык = en|автор = Berggren, J. Lennart|ref = Berggren}} * {{книга |заглавие = A History of Chinese Mathematics. Springer|год = 1997|isbn = 3-540-33782-2|язык = en|автор = Jean-Claude Martzloff|ref = Martzloff}} * {{Статья|автор = William K. Simpson|заглавие = An Additional Fragment from the "Hatnub" Stela|издание = Journal of Near Eastern Studies|год = 1961|месяц = 01|число = |том = 20|номер = 1|страницы = 25—30|ref = Simpson}} * {{книга|автор = Clagett, Marshall|заглавие = Ancient Egyptian Science: A Source Book|место = Philadelphia|издательство = American Philosophical Society|год = 1999|том = 3|часть = Memoirs of the American Philosophical Society 232|страницы = 17—18, 25, 37—38, 255—257|ref = Clagett}} == Ссылки == * {{Cite web|url = https://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?objectId=110036&partId=1|title = The Rhind Mathematical Papyrus|publisher = British Museum|lang = en|accessdate = 2019-01-13|ref = The Rhind Mathematical Papyrus}} * {{Cite web|url = http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460|title = Дробная черта (Fraction bar, Solidus)|website = Справочник ПараТайп|ref = Справочник ПараТайп}} {{ВС}} {{Доли}} [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Арифметика]] [[Категория:Числа]] [[Категория:Дроби]]'