Задача о покрытии полосками: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м оформление |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника) | |||
Строка 2: | Строка 2: | ||
В простейшем случае звучит так: |
В простейшем случае звучит так: |
||
: ''Можно ли покрыть круг полосками с общей шириной меньше его диаметра?'' |
: ''Можно ли покрыть круг полосками с общей шириной меньше его диаметра?'' |
||
Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей. |
|||
== О доказательстве == |
== О доказательстве == |
||
Строка 8: | Строка 11: | ||
В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар. |
В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар. |
||
Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай |
Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. |
||
Это решение было предложено [[Штейнгауз, Гуго|Гуго Штейнгаузом]]. |
Это решение было предложено [[Штейнгауз, Гуго|Гуго Штейнгаузом]]. |
||
Версия от 23:50, 24 октября 2017
Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так:
- Можно ли покрыть круг полосками с общей шириной меньше его диаметра?
Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей.
О доказательстве
В трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар.
Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом.
Вариации и обобщения
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Tarski_plank_problem.svg/320px-Tarski_plank_problem.svg.png)
- В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Бангом Трэгером в 1951 году.[1]
- Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом:
- Предположим, выпуклое тело покрыто конечным числом полосок с ширинами , и есть ширины в соответствующих направлениях. Доказать, что
- Предположим, выпуклое тело покрыто конечным числом полосок с ширинами , и есть ширины в соответствующих направлениях. Доказать, что
Примечания
- ↑ King, Jonathan L. (1994). "Three problems in search of a measure". Amer. Math. Monthly. 101: 609—628. doi:10.2307/2974690.
Литература
- И. М. Яглом. Т. Банг — В. Фенхель. Решение одной задачи о покрытии выпуклых фигур // Матем. просв., сер. 2. — 1957. — № 1. — С. 214–218.
- R. Alexander. A problem about lines and ovals (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 1968. — Vol. 75, no. 5. — P. 482—487.
- Bezdek, Károly. Tarski’s plank problem revisited // Geometry—intuitive, discrete, and convex. — 2013. — С. 45—64.
- Gardner, Richard. Relative width measures and the plank problem (англ.) // Pacific Journal of Mathematics. — 1988. — Vol. 135, no. 2. — P. 299—312.
- Bang, Thøger (1950), "On covering by parallel-strips.", Mat. Tidsskr. B.: 49—53
- Bang, Thøger (1951), "A solution of the "plank problem"", Proc. Amer. Math. Soc., 2 (6): 990—993, doi:10.2307/2031721
{{citation}}
: Указан более чем один параметр|DOI=
and|doi=
(справка)