Совершенный кубоид

Совершенный кубоид (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, совершенный кубоид — целочисленное решение системы диофантовых уравнений

$a^{2}+b^{2}=d^{2}\,$

$b^{2}+c^{2}=e^{2}\,$

$a^{2}+c^{2}=f^{2}\,$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}\,$

До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·10¹². Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:

• $(672,153,104)\,$ — одна из лицевых диагоналей нецелая.
• $(18720,{\sqrt {211773121}},7800)$, $(520,576,{\sqrt {618849}})$ — одно из рёбер нецелое.
• Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
• Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла.

В 2005 году тбилисский школьник Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует — однако на 2012 год работа так и не прошла проверку независимыми учёными. В 2012 году учитель Лаши Маргишвили, директор Грузинско-Американского лицея Мамука Месхешвили опубликовал статью , в которой называет гипотезу о несуществовании совершенных кубоидов недоказанной.

Рациональный кубоид — это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путем умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного кубоида.

Эйлеров параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:

• (275, 252, 240),
• (693, 480, 140),
• (720, 132, 85),
• (792, 231, 160).

Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.

Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу):

• Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b, c)=1).
• Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
• Одно ребро делится на 5.
• Одно ребро делится на 11.

См. также

• Открытые математические проблемы