Просмотр отдельных изменений
Эта страница позволяет вам проверить переменные, сгенерированные фильтром злоупотреблений, на предмет отдельного изменения.
Переменные, созданные для этого изменения
Переменная | Значение |
---|---|
Число правок участника (user_editcount ) | null |
Имя учётной записи (user_name ) | '178.124.182.88' |
Возраст учётной записи (user_age ) | 0 |
Группы (включая неявные) в которых состоит участник (user_groups ) | [
0 => '*'
] |
Редактирует ли участник через мобильный интерфейс (user_mobile ) | false |
ID страницы (page_id ) | 396093 |
Пространство имён страницы (page_namespace ) | 0 |
Название страницы (без пространства имён) (page_title ) | 'Дробь (математика)' |
Полное название страницы (page_prefixedtitle ) | 'Дробь (математика)' |
Последние десять редакторов страницы (page_recent_contributors ) | [
0 => 'Dimaniznik',
1 => '5.141.224.143',
2 => 'Радион',
3 => 'LGB',
4 => '188.94.39.211',
5 => '91.203.190.3',
6 => '94.228.204.66',
7 => '178.19.251.133',
8 => 'Dart Raiden',
9 => 'Wiki dermo'
] |
Действие (action ) | 'edit' |
Описание правки/причина (summary ) | 'Добавлена ссылка на онлайн-калькулятор дробей' |
Была ли правка отмечена как «малое изменение» (больше не используется) (minor_edit ) | false |
Вики-текст старой страницы до правки (old_wikitext ) | '{{значения|Дробь}}
{| cellpadding=6 align=right style="margin-left: 20px"
| align=right |8
|/ 13
| rowspan=2 | <math>\frac{8}{13}</math>
|<small>числитель</small>
|-
|<small>числитель</small>
|<small>знаменатель</small>
|<small>знаменатель</small>
|-
| colspan=4 align=center bgcolor=#FFFF99 |Две записи одной дроби
|}
'''Дробь''' в [[математика|математике]] — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы<ref>{{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. Дроби являются частью [[Поле (алгебра)|поля]] [[Рациональное число|рациональных чисел]]. По способу записи дроби делятся на 2 формата: [[Обыкновенная дробь|''обыкновенные'']] вида <math>\pm \frac{m}{n}</math> и [[Десятичная дробь|''десятичные'']].
== Виды дробей ==
=== Обыкновенные дроби ===
[[Файл:Cake quarters.svg|thumb|<center>Наглядное представление дроби <math>3 \over 4</math></center>]]
''Обыкновенная'' (или ''простая'') дробь — запись [[Рациональное число|рационального числа]] в виде <math>\pm \frac{m}{n}</math> или <math>\pm m/n,</math> где <math>n \ne 0.</math> Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. [[Делимое]] называется ''числителем'' дроби, а [[делитель]] — ''знаменателем''.
==== Обозначения обыкновенных дробей ====
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
* ½
* 1/2 или <math>{}^1/{}_2</math> ([[наклонная черта]] называется «солидус»<ref>[http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460 Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>)
* выключная формула: <math>\frac{1}{2}</math> (горизонтальная черта называется {{Translation|:en:Vinculum (symbol)|Винкулум}})
* строчная формула: <math>\tfrac{1}{2}</math>
==== Правильные и неправильные дроби ====
''Правильной'' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется ''неправильной'', и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>\frac{7}{8}</math> и <math>\frac{1}{2}</math> — правильные дроби, в то время как <math>\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math>, <math>\frac{2}{1}</math> и <math>\frac{1}{1}</math> — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
==== Смешанные дроби ====
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется ''смешанной дробью'' и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется ''простой''.
Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.
==== Высота дроби ====
''Высота обыкновенной дроби'' — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби.
''Высота рационального числа'' — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.
Например, высота дроби <math>-\frac{15}{6}</math> равна <math>15+6=21</math>. Высота же соответствующего рационального числа равна <math>5+2=7</math>, так как дробь сокращается на <math>3</math>.
==== Составные дроби ====
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
: <math>\frac{1}{2}/\frac{1}{3}</math> или <math>\frac{1/2}{1/3}</math> или <math>\frac{12\frac{3}{4}}{26}</math>
=== Десятичные дроби ===
{{main|Десятичная дробь}}
Десятичной дробью называют [[Позиционная система счисления|позиционную]] запись дроби. Она выглядит следующим образом:
: <math>\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots</math>
Пример: <math>3{,}1415926</math>.
Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является [[Целая часть|целой частью]] числа (дроби), а стоящая после запятой — [[Дробная часть|дробной частью]]. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является [[Десятичная дробь|периодической дробью]].
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как [[Фибоначчиева система счисления|фибоначчиева]]).
== Значение дроби и основное свойство дроби ==
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если [[умножение|умножить]] числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
: <math>\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}</math>
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.
Например:
: <math>\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}</math>
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют [[общий делитель]], то обе части можно разделить на него; такая операция называется ''сокращением'' дроби. Пример:
: <math>~\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}</math> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
''Несократимой'' называется дробь, числитель и знаменатель которой [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], т. е. не имеют общих делителей, кроме <math>~\pm 1.</math>
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. [[0,999…|Пример]]:
: <math>0,999...=1</math> — две разные дроби соответствуют одному числу.
== Действия над дробями ==
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. [[Десятичная дробь]].
=== Приведение к общему знаменателю ===
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (''привести'') к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>. Порядок действий:
* Находим [[наименьшее общее кратное]] знаменателей: <math>M=[b,d]</math>.
* Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>M/b</math>.
* Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>M/d</math>.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ''M''). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ''M'' любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
=== Сравнение ===
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{4}{5}</math>. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.
: <math>\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}</math>
Следовательно, <math>\frac{3}{4} < \frac{4}{5}</math>
=== Сложение и вычитание ===
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:<br />
: <math>\frac{1}{2}</math> + <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> + <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{5}{6}</math>
[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6.
Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. <br /> Получилось <math>\frac{3}{6}</math>.
Приводим дробь <math>\frac{1}{3}</math> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось <math>\frac{2}{6}</math>.<br />
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:<br />
: <math>\frac{1}{2}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{2}{4}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}</math>
[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь <math>~\frac{1}{2}</math> к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем <math>~\frac{2}{4}</math>.
=== Умножение и деление ===
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
:<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
:<math>\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2</math>
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
:<math>\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.</math>
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:
:<math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad c \ne 0.</math>
Например,
: <math>\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.</math>
=== Преобразование между разными форматами записи ===
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной [[Периодическая дробь|периодической дробью]]. Примеры:
: <math>\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5</math>
: <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)</math> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
: <math>71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}</math>
== История и этимология термина ==
Русский термин ''дробь'', как и его аналоги в других языках, происходит от {{lang-lat|fractura}}, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ''ломать, раздроблять''. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили [[Математика в Древней Греции|греческие]] и [[История математики в Индии|индийские]] математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у [[Фибоначчи]] (1202 год). Слова ''числитель'' и ''знаменатель'' ввел в оборот греческий математик [[Максим Плануд]].
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричными]]. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из [[История Индии#Древняя Индия|Древней Индии]] — вначале его [[Арабская культура|позаимствовали арабы]], а затем, в [[XII век|XII]]-[[XVI век]]ах, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа <math>\tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5}</math> записывались таким способом: <math>\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}.</math> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — [[Фибоначчи]] (Леонардо Пизанский)<ref name="учебник" />.<!-- данные книги 1997 г. издания --> Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ([[Тарталья, Никколо|Тарталья]], [[Клавиус, Христофор|Клавиус]]).
На Руси дроби называли ''долями''. В первых российских учебниках математики — в [[XVII век]]е — дроби назывались ''ломаными числами''<ref name="учебник" />. Термин ''дробь'', как аналог латинского ''fractura'', используется в «Арифметике» [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Магницкого]] (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
[[Десятичная дробь|Десятичные дроби]] впервые встречаются в Китае примерно с [[III век]]а н. э. при вычислениях на счётной доске ([[суаньпань]]). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную<ref>''Jean-Claude Martzloff''. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.</ref>. Персидский математик и астроном [[Ал-Каши|Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши]] (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах [[Ал-Уклидиси]], жившего на пять веков раньше<ref>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=518 }}</ref>.
В Европе первые десятичные дроби ввёл [[Иммануил Бонфис]] около [[1350 год]]а, но широкое распространение они получили только после появления сочинения [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как <sup><big><math>\overset{\underset{{0}}{}}{4}2~\overset{\underset{{1}}{}}{5}~\overset{\underset{{2}}{}}{3}</math></big></sup> или <big style="font-size: 150%;">42 </big><big style="font-size: 140%;">⓪ </big><big style="font-size: 150%;">5 ① 3 ②</big>, где ''0'' в круге или над строкой означал целую часть, ''1'' — десятые, ''2'' — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с [[XVII век]]а<ref name="учебник"><Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары: Чув. кн. изд-во, 1997. — 320 с.: ил. — С. 202—203, 230.</ref>.
== Обобщения ==
* [[Кольцо частных]]
* [[Рациональная функция]] — дробь, составленная из [[многочлен]]ов.
== См. также ==
{{wiktionary|дробь}}
* [[Дроби в Юникоде]]
* [[Цепная дробь]]
== Литература ==
* {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
== Примечания ==
{{примечания}}
{{Доли}}
[[Категория:Алгебра]]
[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Дроби]]' |
Вики-текст новой страницы после правки (new_wikitext ) | '{{значения|Дробь}}
{| cellpadding=6 align=right style="margin-left: 20px"
| align=right |8
|/ 13
| rowspan=2 | <math>\frac{8}{13}</math>
|<small>числитель</small>
|-
|<small>числитель</small>
|<small>знаменатель</small>
|<small>знаменатель</small>
|-
| colspan=4 align=center bgcolor=#FFFF99 |Две записи одной дроби
|}
'''Дробь''' в [[математика|математике]] — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы<ref>{{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. Дроби являются частью [[Поле (алгебра)|поля]] [[Рациональное число|рациональных чисел]]. По способу записи дроби делятся на 2 формата: [[Обыкновенная дробь|''обыкновенные'']] вида <math>\pm \frac{m}{n}</math> и [[Десятичная дробь|''десятичные'']].
== Виды дробей ==
=== Обыкновенные дроби ===
[[Файл:Cake quarters.svg|thumb|<center>Наглядное представление дроби <math>3 \over 4</math></center>]]
''Обыкновенная'' (или ''простая'') дробь — запись [[Рациональное число|рационального числа]] в виде <math>\pm \frac{m}{n}</math> или <math>\pm m/n,</math> где <math>n \ne 0.</math> Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. [[Делимое]] называется ''числителем'' дроби, а [[делитель]] — ''знаменателем''.
==== Обозначения обыкновенных дробей ====
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
* ½
* 1/2 или <math>{}^1/{}_2</math> ([[наклонная черта]] называется «солидус»<ref>[http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460 Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>)
* выключная формула: <math>\frac{1}{2}</math> (горизонтальная черта называется {{Translation|:en:Vinculum (symbol)|Винкулум}})
* строчная формула: <math>\tfrac{1}{2}</math>
==== Правильные и неправильные дроби ====
''Правильной'' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется ''неправильной'', и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>\frac{7}{8}</math> и <math>\frac{1}{2}</math> — правильные дроби, в то время как <math>\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math>, <math>\frac{2}{1}</math> и <math>\frac{1}{1}</math> — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
==== Смешанные дроби ====
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется ''смешанной дробью'' и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется ''простой''.
Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.
==== Высота дроби ====
''Высота обыкновенной дроби'' — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби.
''Высота рационального числа'' — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.
Например, высота дроби <math>-\frac{15}{6}</math> равна <math>15+6=21</math>. Высота же соответствующего рационального числа равна <math>5+2=7</math>, так как дробь сокращается на <math>3</math>.
==== Составные дроби ====
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
: <math>\frac{1}{2}/\frac{1}{3}</math> или <math>\frac{1/2}{1/3}</math> или <math>\frac{12\frac{3}{4}}{26}</math>
=== Десятичные дроби ===
{{main|Десятичная дробь}}
Десятичной дробью называют [[Позиционная система счисления|позиционную]] запись дроби. Она выглядит следующим образом:
: <math>\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots</math>
Пример: <math>3{,}1415926</math>.
Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является [[Целая часть|целой частью]] числа (дроби), а стоящая после запятой — [[Дробная часть|дробной частью]]. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является [[Десятичная дробь|периодической дробью]].
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как [[Фибоначчиева система счисления|фибоначчиева]]).
== Значение дроби и основное свойство дроби ==
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если [[умножение|умножить]] числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
: <math>\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}</math>
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные.
Например:
: <math>\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}</math>
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют [[общий делитель]], то обе части можно разделить на него; такая операция называется ''сокращением'' дроби. Пример:
: <math>~\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}</math> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
''Несократимой'' называется дробь, числитель и знаменатель которой [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], т. е. не имеют общих делителей, кроме <math>~\pm 1.</math>
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. [[0,999…|Пример]]:
: <math>0,999...=1</math> — две разные дроби соответствуют одному числу.
== Действия над дробями ==
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. [[Десятичная дробь]].
=== Приведение к общему знаменателю ===
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (''привести'') к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>. Порядок действий:
* Находим [[наименьшее общее кратное]] знаменателей: <math>M=[b,d]</math>.
* Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>M/b</math>.
* Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>M/d</math>.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ''M''). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ''M'' любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
=== Сравнение ===
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{4}{5}</math>. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.
: <math>\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}</math>
Следовательно, <math>\frac{3}{4} < \frac{4}{5}</math>
=== Сложение и вычитание ===
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:<br />
: <math>\frac{1}{2}</math> + <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> + <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{5}{6}</math>
[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6.
Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. <br /> Получилось <math>\frac{3}{6}</math>.
Приводим дробь <math>\frac{1}{3}</math> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось <math>\frac{2}{6}</math>.<br />
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:<br />
: <math>\frac{1}{2}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{2}{4}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}</math>
[[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь <math>~\frac{1}{2}</math> к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем <math>~\frac{2}{4}</math>.
=== Умножение и деление ===
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
:<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
:<math>\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2</math>
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
:<math>\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.</math>
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:
:<math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad c \ne 0.</math>
Например,
: <math>\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.</math>
=== Преобразование между разными форматами записи ===
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной [[Периодическая дробь|периодической дробью]]. Примеры:
: <math>\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5</math>
: <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)</math> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
: <math>71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}</math>
== История и этимология термина ==
Русский термин ''дробь'', как и его аналоги в других языках, происходит от {{lang-lat|fractura}}, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ''ломать, раздроблять''. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили [[Математика в Древней Греции|греческие]] и [[История математики в Индии|индийские]] математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у [[Фибоначчи]] (1202 год). Слова ''числитель'' и ''знаменатель'' ввел в оборот греческий математик [[Максим Плануд]].
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричными]]. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из [[История Индии#Древняя Индия|Древней Индии]] — вначале его [[Арабская культура|позаимствовали арабы]], а затем, в [[XII век|XII]]-[[XVI век]]ах, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа <math>\tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5}</math> записывались таким способом: <math>\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}.</math> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — [[Фибоначчи]] (Леонардо Пизанский)<ref name="учебник" />.<!-- данные книги 1997 г. издания --> Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ([[Тарталья, Никколо|Тарталья]], [[Клавиус, Христофор|Клавиус]]).
На Руси дроби называли ''долями''. В первых российских учебниках математики — в [[XVII век]]е — дроби назывались ''ломаными числами''<ref name="учебник" />. Термин ''дробь'', как аналог латинского ''fractura'', используется в «Арифметике» [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Магницкого]] (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
[[Десятичная дробь|Десятичные дроби]] впервые встречаются в Китае примерно с [[III век]]а н. э. при вычислениях на счётной доске ([[суаньпань]]). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную<ref>''Jean-Claude Martzloff''. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.</ref>. Персидский математик и астроном [[Ал-Каши|Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши]] (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах [[Ал-Уклидиси]], жившего на пять веков раньше<ref>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=518 }}</ref>.
В Европе первые десятичные дроби ввёл [[Иммануил Бонфис]] около [[1350 год]]а, но широкое распространение они получили только после появления сочинения [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как <sup><big><math>\overset{\underset{{0}}{}}{4}2~\overset{\underset{{1}}{}}{5}~\overset{\underset{{2}}{}}{3}</math></big></sup> или <big style="font-size: 150%;">42 </big><big style="font-size: 140%;">⓪ </big><big style="font-size: 150%;">5 ① 3 ②</big>, где ''0'' в круге или над строкой означал целую часть, ''1'' — десятые, ''2'' — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с [[XVII век]]а<ref name="учебник"><Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары: Чув. кн. изд-во, 1997. — 320 с.: ил. — С. 202—203, 230.</ref>.
== Обобщения ==
* [[Кольцо частных]]
* [[Рациональная функция]] — дробь, составленная из [[многочлен]]ов.
== См. также ==
{{wiktionary|дробь}}
* [[Дроби в Юникоде]]
* [[Цепная дробь]]
== Литература ==
* {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
== Ссылки ==
* [http://calc.by/math-calculators/fraction-calculator.html Онлайн-калькулятор дробей]
== Примечания ==
{{примечания}}
{{Доли}}
[[Категория:Алгебра]]
[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Дроби]]' |
Унифицированная разница изменений правки (edit_diff ) | '@@ -147,6 +147,9 @@
== Литература ==
* {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
+== Ссылки ==
+* [http://calc.by/math-calculators/fraction-calculator.html Онлайн-калькулятор дробей]
+
== Примечания ==
{{примечания}}
' |
Новый размер страницы (new_size ) | 23357 |
Старый размер страницы (old_size ) | 23227 |
Изменение размера в правке (edit_delta ) | 130 |
Добавленные в правке строки (added_lines ) | [
0 => '== Ссылки ==',
1 => '* [http://calc.by/math-calculators/fraction-calculator.html Онлайн-калькулятор дробей]',
2 => false
] |
Удалённые в правке строки (removed_lines ) | [] |
Все внешние ссылки, добавленные в правке (added_links ) | [
0 => 'http://calc.by/math-calculators/fraction-calculator.html'
] |
Все внешние ссылки в новом тексте (all_links ) | [
0 => 'http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu',
1 => 'http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460',
2 => 'http://calc.by/math-calculators/fraction-calculator.html'
] |
Ссылки на странице до правки (old_links ) | [
0 => 'http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu',
1 => 'http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460'
] |
Была ли правка сделана через выходной узел сети Tor (tor_exit_node ) | 0 |
Unix-время изменения (timestamp ) | 1430216583 |