Просмотр отдельных изменений

Эта страница позволяет вам проверить переменные, сгенерированные фильтром злоупотреблений, на предмет отдельного изменения.

Переменные, созданные для этого изменения

Переменная	Значение
Число правок участника (`user_editcount`)	null
Имя учётной записи (`user_name`)	'77.50.20.69'
Время подтверждения адреса эл. почты (`user_emailconfirm`)	null
Возраст учётной записи (`user_age`)	0
Группы (включая неявные) в которых состоит участник (`user_groups`)	[ 0 => '*' ]
Права, которые есть у участника (`user_rights`)	[ 0 => 'createaccount', 1 => 'read', 2 => 'edit', 3 => 'createpage', 4 => 'createtalk', 5 => 'writeapi', 6 => 'viewmyprivateinfo', 7 => 'editmyprivateinfo', 8 => 'editmyoptions', 9 => 'abusefilter-log-detail', 10 => 'urlshortener-create-url', 11 => 'centralauth-merge', 12 => 'abusefilter-view', 13 => 'abusefilter-log', 14 => 'vipsscaler-test' ]
Редактирует ли пользователь через мобильное приложение (`user_app`)	false
Редактирует ли участник через мобильный интерфейс (`user_mobile`)	false
Глобальные группы участника (`global_user_groups`)	[]
Global edit count of the user (`global_user_editcount`)	0
ID страницы (`page_id`)	0
Пространство имён страницы (`page_namespace`)	0
Название страницы (без пространства имён) (`page_title`)	'J-инвариант'
Полное название страницы (`page_prefixedtitle`)	'J-инвариант'
Последние десять редакторов страницы (`page_recent_contributors`)	[]
Возраст страницы (в секундах) (`page_age`)	0
Действие (`action`)	'edit'
Описание правки/причина (`summary`)	'автор андрей маснев сергеевич'
Старая модель содержимого (`old_content_model`)	''
Новая модель содержимого (`new_content_model`)	'wikitext'
Вики-текст старой страницы до правки (`old_wikitext`)	''
Вики-текст новой страницы после правки (`new_wikitext`)	' В математике '''''j'' -инвариант''' или '''''j-'' функция''' Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной ''τ'' , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, '''Z''' ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что : Рациональные функции от ''j'' являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически ''j'' -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ). == Определение [ править ] == Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы. j ''-инвариант'' можно определить как функцию в верхней полуплоскости '''H''' = { ''τ'' ∈ '''C''' , Im ( ''τ'' ) > 0}, : с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г.. Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты, : : где,являются рядами Фурье , : и,являются рядами Эйзенштейна , : и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как '':'' : без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта: : Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение , : подразумевая трансцендентные числа , : но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ), : В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая ''E'' над '''C''' является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка '''C''' . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и ''τ'' ∈ '''H''' . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ). Обратите внимание, что ''j'' определен всюду в '''H''' , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни. == Фундаментальная область [ править ] == Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а ''g'' <sub>2</sub> — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и ''j'' , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией '''H''' → '''C''' , инвариантной относительно действия SL(2, '''Z''' ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, '''Z''' ) . Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе, : мы можем уменьшить ''τ'' до значения, дающего то же значение для ''j'' и лежащего в фундаментальной области для ''j'' , которая состоит из значений ''τ'' , удовлетворяющих условиям : Функция ''j'' ( ''τ'' ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел '''C''' ровно один раз. Другими словами, для каждого ''c'' в '''C''' существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что ''c'' = ''j'' ( ''τ'' ) . Таким образом, ''j'' обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость. Кроме того, два значения τ,τ' ∈ '''H''' образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, '''Z''' ) . Это означает, что ''j'' обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над '''C''' на комплексную плоскость. Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от ''j'' ; и, наоборот, каждая рациональная функция от ''j'' является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это '''C''' ( ''j'' ) . == Теория полей классов и ''j'' [ править ] == j -инвариант обладает множеством замечательных свойств '':'' * Если ''τ'' — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если ''τ'' — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что ''j'' определен), то ''j'' ( ''τ'' ) является алгебраическое целое число . Эти специальные значения называются сингулярными модулями . * Расширение поля '''Q''' [ ''j'' ( ''τ'' ), ''τ'' ]/ '''Q''' ( ''τ'' ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа . * Пусть Λ — решетка в '''C''' , порожденная {1, ''τ'' }. Легко видеть, что все элементы '''Q''' ( ''τ'' ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, ''τ }'' , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения ''j'' ( ''τ )'' к ''j'' ( ''τ'' ) над '''Q''' ( ''τ'' ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в '''Q''' ( ''τ'' ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел '''Q''' ( ''τ'' ) , и значения ''τ'' , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям '''Q''' ( ''τ'' ) . Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения . == Свойства трансцендентности [ править ] == В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если ''τ'' — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то ''j'' ( ''τ'' ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если ''τ'' — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то ''j'' ( ''τ'' ) трансцендентно. Функция ''j'' обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если ''τ'' находится в верхней полуплоскости, то ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> и ''j'' ( ''τ'' ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны: : == Q ''-'' расширение и самогон [ править ] == Несколько замечательных свойств ''j'' связаны с его ''q'' -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через ''q'' = ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> , которое начинается: : Обратите внимание, что ''j'' имеет простой полюс на вершине, поэтому в его ''q'' -разложении нет членов ниже ''q'' <sup>−1</sup> . Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана : : . Асимптотическая формула для коэффициента при ''q <sup>n</sup>'' имеет вид : , что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда . === Самогон [ править ] === Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей ''q'' — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого ''модулем самогона'' . В частности, коэффициент ''q <sup>n</sup>'' — это размерность градуированной алгебры ''.'' часть самогонного модуля, первым примером является ''алгебра'' Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона . Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид : затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. == Альтернативные выражения [ править ] == У нас есть : где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модулярная лямбда-функция : отношение тэта-функций Якоби ''θm ,'' а – квадрат эллиптического модуля ''k <sub>(</sub>'' τ ) . Значение ''j'' не меняется, когда ''λ'' заменяется любым из шести значений перекрестного отношения : : Точки ветвления ''j'' находятся в точках {0, 1, ∞} , так что ''j'' — функция Белого . == Выражения через тэта-функции [ править ] == Определим ном ''q'' = ''e'' <sup>π ''iτ''</sup> и тэта-функцию Якоби , : из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять, : где ''ϑ <sub>ij</sub>'' и ''θ <sub>n</sub>'' — альтернативные обозначения, а ''a'' <sup>4</sup> − ''b'' <sup>4</sup> + ''c'' <sup>4</sup> = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов ''g'' <sub>2</sub> , ''g'' <sub>3</sub> , : и модульный дискриминант, : с эта-функцией Дедекинда ''η'' ( ''τ'' ) . Затем j ( ''τ'' ) можно быстро вычислить '':'' : == Алгебраическое определение [ править ] == До сих пор мы рассматривали ''j'' как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически. Пусть : — плоская эллиптическая кривая ''над любым полем'' . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме ''y'' <sup>2</sup> = 4 ''x'' <sup>3</sup> − ''g'' <sub>2</sub> ''x'' − ''g'' <sub>3</sub> (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты: : где ''г'' <sub>2</sub> знак равно ''c'' <sub>4</sub> и ''г'' <sub>3</sub> знак равно ''c'' <sub>6</sub> . У нас также есть дискриминант : j ''-инвариант'' эллиптической кривой теперь можно определить как : В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно : == Обратная функция [ править ] == Обратная функция ''j'' - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию <sub>2</sub> ''F'' <sub>1</sub> (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число ''N'' , решить уравнение ''j'' ( ''τ'' ) = ''N'' для ''τ'' можно как минимум четырьмя способами. '''Метод 1''' : Решение секстика в ''λ'' , : где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от ''x'' . Затем, : для любого из шести значений ''λ'' , где M — среднее арифметико-геометрическое . '''Метод 2''' : Решение квартики в ''γ'' , : тогда для любого из четырех корней : '''Метод 3''' : Решение кубики в ''β'' , : тогда для любого из трех корней : '''Метод 4.''' Решение квадратичного уравнения по ''α'' . : затем, : Один корень дает ''τ'' , а другой —1/''τ'', но поскольку ''j'' ( ''τ'' ) = ''j'' (−1/''τ'') , то не имеет значения, какой ''α'' выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами. Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. <sup>[ ''нужна цитация'' ]</sup> Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений ''j'' в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для ''j'' порядка 2 является кубическим. == Формулы Пи [ править ] == Братья Чудновские нашли в 1987 году : доказательство которого использует тот факт, что : Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато . == Специальные значения [ править ] == j ''-'' инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области : : Вот еще несколько специальных значений <sup>, ''заданных'' в</sup> альтернативных обозначениях ''J'' ( ''τ'' ) ≡1/1728 г. ''j'' ( ''τ'' ) , первые пять хорошо известны: : == Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ] == The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномам<blockquote></blockquote>оба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:<blockquote></blockquote>сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точек<blockquote></blockquote>уравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:<blockquote></blockquote>Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка<blockquote></blockquote>'
Унифицированная разница изменений правки (`edit_diff`)	'@@ -1,0 +1,232 @@ + +В математике '''''j'' -инвариант''' или '''''j-'' функция''' Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной ''τ'' , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, '''Z''' ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что + +: + +Рациональные функции от ''j'' являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически ''j'' -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ). + +== Определение [ править ] == +Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы. + +j ''-инвариант'' можно определить как функцию в верхней полуплоскости '''H''' = { ''τ'' ∈ '''C''' , Im ( ''τ'' ) > 0}, + +: + +с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г.. + +Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты, + +: +: + +где,являются рядами Фурье , + +: + +и,являются рядами Эйзенштейна , + +: + +и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как '':'' + +: + +без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта: + +: + +Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение , + +: + +подразумевая трансцендентные числа , + +: + +но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ), + +: + +В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая ''E'' над '''C''' является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка '''C''' . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и ''τ'' ∈ '''H''' . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ). + +Обратите внимание, что ''j'' определен всюду в '''H''' , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни. + +== Фундаментальная область [ править ] == +Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а ''g'' <sub>2</sub> — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и ''j'' , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией '''H''' → '''C''' , инвариантной относительно действия SL(2, '''Z''' ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, '''Z''' ) . + +Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе, + +: + +мы можем уменьшить ''τ'' до значения, дающего то же значение для ''j'' и лежащего в фундаментальной области для ''j'' , которая состоит из значений ''τ'' , удовлетворяющих условиям + +: + +Функция ''j'' ( ''τ'' ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел '''C''' ровно один раз. Другими словами, для каждого ''c'' в '''C''' существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что ''c'' = ''j'' ( ''τ'' ) . Таким образом, ''j'' обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость. + +Кроме того, два значения τ,τ' ∈ '''H''' образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, '''Z''' ) . Это означает, что ''j'' обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над '''C''' на комплексную плоскость. + +Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от ''j'' ; и, наоборот, каждая рациональная функция от ''j'' является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это '''C''' ( ''j'' ) . + +== Теория полей классов и ''j'' [ править ] == +j -инвариант обладает множеством замечательных свойств '':'' + +* Если ''τ'' — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если ''τ'' — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что ''j'' определен), то ''j'' ( ''τ'' ) является алгебраическое целое число . Эти специальные значения называются сингулярными модулями . +* Расширение поля '''Q''' [ ''j'' ( ''τ'' ), ''τ'' ]/ '''Q''' ( ''τ'' ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа . +* Пусть Λ — решетка в '''C''' , порожденная {1, ''τ'' }. Легко видеть, что все элементы '''Q''' ( ''τ'' ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, ''τ }'' , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения ''j'' ( ''τ )'' к ''j'' ( ''τ'' ) над '''Q''' ( ''τ'' ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в '''Q''' ( ''τ'' ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел '''Q''' ( ''τ'' ) , и значения ''τ'' , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям '''Q''' ( ''τ'' ) . + +Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения . + +== Свойства трансцендентности [ править ] == +В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если ''τ'' — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то ''j'' ( ''τ'' ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если ''τ'' — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то ''j'' ( ''τ'' ) трансцендентно. + +Функция ''j'' обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если ''τ'' находится в верхней полуплоскости, то ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> и ''j'' ( ''τ'' ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны: + +: + +== Q ''-'' расширение и самогон [ править ] == +Несколько замечательных свойств ''j'' связаны с его ''q'' -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через ''q'' = ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> , которое начинается: + +: + +Обратите внимание, что ''j'' имеет простой полюс на вершине, поэтому в его ''q'' -разложении нет членов ниже ''q'' <sup>−1</sup> . + +Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана : + +: . + +Асимптотическая формула для коэффициента при ''q <sup>n</sup>'' имеет вид + +: , + +что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда . + +=== Самогон [ править ] === +Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей ''q'' — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого ''модулем самогона'' . В частности, коэффициент ''q <sup>n</sup>'' — это размерность градуированной алгебры ''.'' часть самогонного модуля, первым примером является ''алгебра'' Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона . + +Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид + +: + +затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. + +== Альтернативные выражения [ править ] == +У нас есть + +: + +где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модулярная лямбда-функция + +: + +отношение тэта-функций Якоби ''θm ,'' а – квадрат эллиптического модуля ''k <sub>(</sub>'' τ ) . Значение ''j'' не меняется, когда ''λ'' заменяется любым из шести значений перекрестного отношения : + +: + +Точки ветвления ''j'' находятся в точках {0, 1, ∞} , так что ''j'' — функция Белого . + +== Выражения через тэта-функции [ править ] == +Определим ном ''q'' = ''e'' <sup>π ''iτ''</sup> и тэта-функцию Якоби , + +: + +из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять, + +: + +где ''ϑ <sub>ij</sub>'' и ''θ <sub>n</sub>'' — альтернативные обозначения, а ''a'' <sup>4</sup> − ''b'' <sup>4</sup> + ''c'' <sup>4</sup> = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов ''g'' <sub>2</sub> , ''g'' <sub>3</sub> , + +: + +и модульный дискриминант, + +: + +с эта-функцией Дедекинда ''η'' ( ''τ'' ) . Затем j ( ''τ'' ) можно быстро вычислить '':'' + +: + +== Алгебраическое определение [ править ] == +До сих пор мы рассматривали ''j'' как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически. Пусть + +: + +— плоская эллиптическая кривая ''над любым полем'' . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме ''y'' <sup>2</sup> = 4 ''x'' <sup>3</sup> − ''g'' <sub>2</sub> ''x'' − ''g'' <sub>3</sub> (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты: + +: + +где ''г'' <sub>2</sub> знак равно ''c'' <sub>4</sub> и ''г'' <sub>3</sub> знак равно ''c'' <sub>6</sub> . У нас также есть дискриминант + +: + +j ''-инвариант'' эллиптической кривой теперь можно определить как + +: + +В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно + +: + +== Обратная функция [ править ] == +Обратная функция ''j'' - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию <sub>2</sub> ''F'' <sub>1</sub> (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число ''N'' , решить уравнение ''j'' ( ''τ'' ) = ''N'' для ''τ'' можно как минимум четырьмя способами. + +'''Метод 1''' : Решение секстика в ''λ'' , + +: + +где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от ''x'' . Затем, + +: + +для любого из шести значений ''λ'' , где M — среднее арифметико-геометрическое . + +'''Метод 2''' : Решение квартики в ''γ'' , + +: + +тогда для любого из четырех корней + +: + +'''Метод 3''' : Решение кубики в ''β'' , + +: + +тогда для любого из трех корней + +: + +'''Метод 4.''' Решение квадратичного уравнения по ''α'' . + +: + +затем, + +: + +Один корень дает ''τ'' , а другой —1/''τ'', но поскольку ''j'' ( ''τ'' ) = ''j'' (−1/''τ'') , то не имеет значения, какой ''α'' выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами. + +Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. <sup>[ ''нужна цитация'' ]</sup> Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений ''j'' в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для ''j'' порядка 2 является кубическим. + +== Формулы Пи [ править ] == +Братья Чудновские нашли в 1987 году + +: + +доказательство которого использует тот факт, что + +: + +Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато . + +== Специальные значения [ править ] == +j ''-'' инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области : + +: + +Вот еще несколько специальных значений <sup>, ''заданных'' в</sup> альтернативных обозначениях ''J'' ( ''τ'' ) ≡1/1728 г. ''j'' ( ''τ'' ) , первые пять хорошо известны: + +: + +== Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ] == +The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномам<blockquote></blockquote>оба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:<blockquote></blockquote>сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точек<blockquote></blockquote>уравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:<blockquote></blockquote>Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка<blockquote></blockquote> '
Новый размер страницы (`new_size`)	22004
Старый размер страницы (`old_size`)	0
Изменение размера в правке (`edit_delta`)	22004
Добавленные в правке строки (`added_lines`)	[ 0 => '', 1 => 'В математике '''''j'' -инвариант''' или '''''j-'' функция''' Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной ''τ'' , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, '''Z''' ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что ', 2 => '', 3 => ':', 4 => '', 5 => 'Рациональные функции от ''j'' являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически ''j'' -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ).', 6 => '', 7 => '== Определение [ править ] ==', 8 => 'Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы.', 9 => '', 10 => 'j ''-инвариант'' можно определить как функцию в верхней полуплоскости '''H''' = { ''τ'' ∈ '''C''' , Im ( ''τ'' ) > 0},', 11 => '', 12 => ':', 13 => '', 14 => 'с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г..', 15 => '', 16 => 'Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты,', 17 => '', 18 => ':', 19 => ':', 20 => '', 21 => 'где,являются рядами Фурье ,', 22 => '', 23 => ':', 24 => '', 25 => 'и,являются рядами Эйзенштейна ,', 26 => '', 27 => ':', 28 => '', 29 => 'и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как '':''', 30 => '', 31 => ':', 32 => '', 33 => 'без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта: ', 34 => '', 35 => ':', 36 => '', 37 => 'Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение ,', 38 => '', 39 => ':', 40 => '', 41 => 'подразумевая трансцендентные числа ,', 42 => '', 43 => ':', 44 => '', 45 => 'но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ),', 46 => '', 47 => ':', 48 => '', 49 => 'В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая ''E'' над '''C''' является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка '''C''' . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и ''τ'' ∈ '''H''' . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ).', 50 => '', 51 => 'Обратите внимание, что ''j'' определен всюду в '''H''' , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.', 52 => '', 53 => '== Фундаментальная область [ править ] ==', 54 => 'Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а ''g'' <sub>2</sub> — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и ''j'' , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией '''H''' → '''C''' , инвариантной относительно действия SL(2, '''Z''' ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, '''Z''' ) .', 55 => '', 56 => 'Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе,', 57 => '', 58 => ':', 59 => '', 60 => 'мы можем уменьшить ''τ'' до значения, дающего то же значение для ''j'' и лежащего в фундаментальной области для ''j'' , которая состоит из значений ''τ'' , удовлетворяющих условиям', 61 => '', 62 => ':', 63 => '', 64 => 'Функция ''j'' ( ''τ'' ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел '''C''' ровно один раз. Другими словами, для каждого ''c'' в '''C''' существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что ''c'' = ''j'' ( ''τ'' ) . Таким образом, ''j'' обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.', 65 => '', 66 => 'Кроме того, два значения τ,τ' ∈ '''H''' образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, '''Z''' ) . Это означает, что ''j'' обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над '''C''' на комплексную плоскость. ', 67 => '', 68 => 'Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от ''j'' ; и, наоборот, каждая рациональная функция от ''j'' является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это '''C''' ( ''j'' ) .', 69 => '', 70 => '== Теория полей классов и ''j'' [ править ] ==', 71 => 'j -инвариант обладает множеством замечательных свойств '':''', 72 => '', 73 => '* Если ''τ'' — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если ''τ'' — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что ''j'' определен), то ''j'' ( ''τ'' ) является алгебраическое целое число . Эти специальные значения называются сингулярными модулями .', 74 => '* Расширение поля '''Q''' [ ''j'' ( ''τ'' ), ''τ'' ]/ '''Q''' ( ''τ'' ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .', 75 => '* Пусть Λ — решетка в '''C''' , порожденная {1, ''τ'' }. Легко видеть, что все элементы '''Q''' ( ''τ'' ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, ''τ }'' , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения ''j'' ( ''τ )'' к ''j'' ( ''τ'' ) над '''Q''' ( ''τ'' ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в '''Q''' ( ''τ'' ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел '''Q''' ( ''τ'' ) , и значения ''τ'' , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям '''Q''' ( ''τ'' ) .', 76 => '', 77 => 'Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения .', 78 => '', 79 => '== Свойства трансцендентности [ править ] ==', 80 => 'В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если ''τ'' — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то ''j'' ( ''τ'' ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если ''τ'' — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то ''j'' ( ''τ'' ) трансцендентно.', 81 => '', 82 => 'Функция ''j'' обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если ''τ'' находится в верхней полуплоскости, то ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> и ''j'' ( ''τ'' ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:', 83 => '', 84 => ':', 85 => '', 86 => '== Q ''-'' расширение и самогон [ править ] ==', 87 => 'Несколько замечательных свойств ''j'' связаны с его ''q'' -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через ''q'' = ''e'' <sup>2π ''iτ''</sup> , которое начинается:', 88 => '', 89 => ':', 90 => '', 91 => 'Обратите внимание, что ''j'' имеет простой полюс на вершине, поэтому в его ''q'' -разложении нет членов ниже ''q'' <sup>−1</sup> .', 92 => '', 93 => 'Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана :', 94 => '', 95 => ': .', 96 => '', 97 => 'Асимптотическая формула для коэффициента при ''q <sup>n</sup>'' имеет вид', 98 => '', 99 => ': ,', 100 => '', 101 => 'что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда . ', 102 => '', 103 => '=== Самогон [ править ] ===', 104 => 'Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей ''q'' — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого ''модулем самогона'' . В частности, коэффициент ''q <sup>n</sup>'' — это размерность градуированной алгебры ''.'' часть самогонного модуля, первым примером является ''алгебра'' Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .', 105 => '', 106 => 'Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид', 107 => '', 108 => ':', 109 => '', 110 => 'затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. ', 111 => '', 112 => '== Альтернативные выражения [ править ] ==', 113 => 'У нас есть', 114 => '', 115 => ':', 116 => '', 117 => 'где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модулярная лямбда-функция', 118 => '', 119 => ':', 120 => '', 121 => 'отношение тэта-функций Якоби ''θm ,'' а – квадрат эллиптического модуля ''k <sub>(</sub>'' τ ) . Значение ''j'' не меняется, когда ''λ'' заменяется любым из шести значений перекрестного отношения : ', 122 => '', 123 => ':', 124 => '', 125 => 'Точки ветвления ''j'' находятся в точках {0, 1, ∞} , так что ''j'' — функция Белого . ', 126 => '', 127 => '== Выражения через тэта-функции [ править ] ==', 128 => 'Определим ном ''q'' = ''e'' <sup>π ''iτ''</sup> и тэта-функцию Якоби ,', 129 => '', 130 => ':', 131 => '', 132 => 'из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять,', 133 => '', 134 => ':', 135 => '', 136 => 'где ''ϑ <sub>ij</sub>'' и ''θ <sub>n</sub>'' — альтернативные обозначения, а ''a'' <sup>4</sup> − ''b'' <sup>4</sup> + ''c'' <sup>4</sup> = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов ''g'' <sub>2</sub> , ''g'' <sub>3</sub> ,', 137 => '', 138 => ':', 139 => '', 140 => 'и модульный дискриминант,', 141 => '', 142 => ':', 143 => '', 144 => 'с эта-функцией Дедекинда ''η'' ( ''τ'' ) . Затем j ( ''τ'' ) можно быстро вычислить '':''', 145 => '', 146 => ':', 147 => '', 148 => '== Алгебраическое определение [ править ] ==', 149 => 'До сих пор мы рассматривали ''j'' как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически. Пусть', 150 => '', 151 => ':', 152 => '', 153 => '— плоская эллиптическая кривая ''над любым полем'' . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме ''y'' <sup>2</sup> = 4 ''x'' <sup>3</sup> − ''g'' <sub>2</sub> ''x'' − ''g'' <sub>3</sub> (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты:', 154 => '', 155 => ':', 156 => '', 157 => 'где ''г'' <sub>2</sub> знак равно ''c'' <sub>4</sub> и ''г'' <sub>3</sub> знак равно ''c'' <sub>6</sub> . У нас также есть дискриминант', 158 => '', 159 => ':', 160 => '', 161 => 'j ''-инвариант'' эллиптической кривой теперь можно определить как', 162 => '', 163 => ':', 164 => '', 165 => 'В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно', 166 => '', 167 => ':', 168 => '', 169 => '== Обратная функция [ править ] ==', 170 => 'Обратная функция ''j'' - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию <sub>2</sub> ''F'' <sub>1</sub> (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число ''N'' , решить уравнение ''j'' ( ''τ'' ) = ''N'' для ''τ'' можно как минимум четырьмя способами.', 171 => '', 172 => ''''Метод 1''' : Решение секстика в ''λ'' ,', 173 => '', 174 => ':', 175 => '', 176 => 'где ''x'' = ''λ'' (1 − ''λ'' ) , а ''λ'' — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от ''x'' . Затем,', 177 => '', 178 => ':', 179 => '', 180 => 'для любого из шести значений ''λ'' , где M — среднее арифметико-геометрическое . ', 181 => '', 182 => ''''Метод 2''' : Решение квартики в ''γ'' ,', 183 => '', 184 => ':', 185 => '', 186 => 'тогда для любого из четырех корней', 187 => '', 188 => ':', 189 => '', 190 => ''''Метод 3''' : Решение кубики в ''β'' ,', 191 => '', 192 => ':', 193 => '', 194 => 'тогда для любого из трех корней', 195 => '', 196 => ':', 197 => '', 198 => ''''Метод 4.''' Решение квадратичного уравнения по ''α'' .', 199 => '', 200 => ':', 201 => '', 202 => 'затем,', 203 => '', 204 => ':', 205 => '', 206 => 'Один корень дает ''τ'' , а другой —1/''τ'', но поскольку ''j'' ( ''τ'' ) = ''j'' (−1/''τ'') , то не имеет значения, какой ''α'' выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами.', 207 => '', 208 => 'Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. <sup>[ ''нужна цитация'' ]</sup> Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений ''j'' в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для ''j'' порядка 2 является кубическим. ', 209 => '', 210 => '== Формулы Пи [ править ] ==', 211 => 'Братья Чудновские нашли в 1987 году ', 212 => '', 213 => ':', 214 => '', 215 => 'доказательство которого использует тот факт, что', 216 => '', 217 => ':', 218 => '', 219 => 'Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато .', 220 => '', 221 => '== Специальные значения [ править ] ==', 222 => 'j ''-'' инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области :', 223 => '', 224 => ':', 225 => '', 226 => 'Вот еще несколько специальных значений <sup>, ''заданных'' в</sup> альтернативных обозначениях ''J'' ( ''τ'' ) ≡1/1728 г. ''j'' ( ''τ'' ) , первые пять хорошо известны:', 227 => '', 228 => ':', 229 => '', 230 => '== Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ] ==', 231 => 'The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномам<blockquote></blockquote>оба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:<blockquote></blockquote>сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точек<blockquote></blockquote>уравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:<blockquote></blockquote>Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка<blockquote></blockquote>' ]
Удалённые в правке строки (`removed_lines`)	[]
Все внешние ссылки, добавленные в правке (`added_links`)	[]
Новый текст страницы, очищенный от разметки (`new_text`)	'В математике j -инвариант или j- функция Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной τ , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, Z ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что   Рациональные функции от j являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически j -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ). Содержание 1 Определение [ править ] 2 Фундаментальная область [ править ] 3 Теория полей классов и j [ править ] 4 Свойства трансцендентности [ править ] 5 Q - расширение и самогон [ править ] 5.1 Самогон [ править ] 6 Альтернативные выражения [ править ] 7 Выражения через тэта-функции [ править ] 8 Алгебраическое определение [ править ] 9 Обратная функция [ править ] 10 Формулы Пи [ править ] 11 Специальные значения [ править ] 12 Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ] Определение [ править ][править \| править код] Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы. j -инвариант можно определить как функцию в верхней полуплоскости H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0}, с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г.. Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты, где,являются рядами Фурье , и,являются рядами Эйзенштейна , и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как : без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта: Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение , подразумевая трансцендентные числа , но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ), В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая E над C является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка C . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и τ ∈ H . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ). Обратите внимание, что j определен всюду в H , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни. Фундаментальная область [ править ][править \| править код] Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а g 2 — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и j , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией H → C , инвариантной относительно действия SL(2, Z ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, Z ) . Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе, мы можем уменьшить τ до значения, дающего то же значение для j и лежащего в фундаментальной области для j , которая состоит из значений τ , удовлетворяющих условиям Функция j ( τ ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел C ровно один раз. Другими словами, для каждого c в C существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что c = j ( τ ) . Таким образом, j обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость. Кроме того, два значения τ,τ' ∈ H образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, Z ) . Это означает, что j обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над C на комплексную плоскость. Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от j ; и, наоборот, каждая рациональная функция от j является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это C ( j ) . Теория полей классов и j [ править ][править \| править код] j -инвариант обладает множеством замечательных свойств : Если τ — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если τ — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что j определен), то j ( τ ) является алгебраическое целое число .  Эти специальные значения называются сингулярными модулями . Расширение поля Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа . Пусть Λ — решетка в C , порожденная {1, τ }. Легко видеть, что все элементы Q ( τ ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, τ } , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения j ( τ ) к j ( τ ) над Q ( τ ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в Q ( τ ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел Q ( τ ) , и значения τ , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям Q ( τ ) . Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения . Свойства трансцендентности [ править ][править \| править код] В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если τ — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то j ( τ ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если τ — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то j ( τ ) трансцендентно. Функция j обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если τ находится в верхней полуплоскости, то e 2π iτ и j ( τ ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если e 2π iτ алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны: Q - расширение и самогон [ править ][править \| править код] Несколько замечательных свойств j связаны с его q -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через q = e 2π iτ , которое начинается: Обратите внимание, что j имеет простой полюс на вершине, поэтому в его q -разложении нет членов ниже q −1 . Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана : . Асимптотическая формула для коэффициента при q n имеет вид , что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда . Самогон [ править ][править \| править код] Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей q — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого модулем самогона . В частности, коэффициент q n — это размерность градуированной алгебры . часть самогонного модуля, первым примером является алгебра Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона . Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. Альтернативные выражения [ править ][править \| править код] У нас есть где x = λ (1 − λ ) , а λ — модулярная лямбда-функция отношение тэта-функций Якоби θm , а – квадрат эллиптического модуля k ( τ ) .  Значение j не меняется, когда λ заменяется любым из шести значений перекрестного отношения : Точки ветвления j находятся в точках {0, 1, ∞} , так что j — функция Белого . Выражения через тэта-функции [ править ][править \| править код] Определим ном q = e π iτ и тэта-функцию Якоби , из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять, где ϑ ij и θ n — альтернативные обозначения, а a 4 − b 4 + c 4 = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов g 2 , g 3 , и модульный дискриминант, с эта-функцией Дедекинда η ( τ ) . Затем j ( τ ) можно быстро вычислить : Алгебраическое определение [ править ][править \| править код] До сих пор мы рассматривали j как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически.  Пусть — плоская эллиптическая кривая над любым полем . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты: где г 2 знак равно c 4 и г 3 знак равно c 6 . У нас также есть дискриминант j -инвариант эллиптической кривой теперь можно определить как В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно Обратная функция [ править ][править \| править код] Обратная функция j - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию 2 F 1 (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число N , решить уравнение j ( τ ) = N для τ можно как минимум четырьмя способами. Метод 1 : Решение секстика в λ , где x = λ (1 − λ ) , а λ — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от x . Затем, для любого из шести значений λ , где M — среднее арифметико-геометрическое . Метод 2 : Решение квартики в γ , тогда для любого из четырех корней Метод 3 : Решение кубики в β , тогда для любого из трех корней Метод 4. Решение квадратичного уравнения по α . затем, Один корень дает τ , а другой —1/τ, но поскольку j ( τ ) = j (−1/τ) , то не имеет значения, какой α выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами. Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. [ нужна цитация ] Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений j в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для j порядка 2 является кубическим. Формулы Пи [ править ][править \| править код] Братья Чудновские нашли в 1987 году доказательство которого использует тот факт, что Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато . Специальные значения [ править ][править \| править код] j - инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области : Вот еще несколько специальных значений , заданных в альтернативных обозначениях J ( τ ) ≡1/1728 г. j ( τ ) , первые пять хорошо известны: Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ][править \| править код] The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномамоба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точекуравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка'
Все внешние ссылки в новом тексте (`all_links`)	[]
Ссылки на странице до правки (`old_links`)	[]
Разобранный HTML-код новой версии (`new_html`)	'<div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ru" dir="ltr"><p>В математике <b><i>j</i> -инвариант</b> или <b><i>j-</i> функция</b> Феликса Кляйна , рассматриваемая как функция комплексной переменной <i>τ</i> , представляет собой модульную функцию нулевого веса для SL(2, <b>Z</b> ) , определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата , такая, что   </p> <dl><dd></dd></dl> <p>Рациональные функции от <i>j</i> являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически <i>j</i> -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ). </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="ru" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Содержание</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Определение_[_править_]"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Определение [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Фундаментальная_область_[_править_]"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Фундаментальная область [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Теория_полей_классов_и_j_[_править_]"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Теория полей классов и <i>j</i> [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Свойства_трансцендентности_[_править_]"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Свойства трансцендентности [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Q_-_расширение_и_самогон_[_править_]"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Q <i>-</i> расширение и самогон [ править ]</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Самогон_[_править_]"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Самогон [ править ]</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Альтернативные_выражения_[_править_]"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Альтернативные выражения [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Выражения_через_тэта-функции_[_править_]"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Выражения через тэта-функции [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Алгебраическое_определение_[_править_]"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Алгебраическое определение [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Обратная_функция_[_править_]"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Обратная функция [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Формулы_Пи_[_править_]"><span class="tocnumber">10</span> <span class="toctext">Формулы Пи [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Специальные_значения_[_править_]"><span class="tocnumber">11</span> <span class="toctext">Специальные значения [ править ]</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Неспособность_классифицировать_эллиптические_кривые_по_другим_полям_[_править_]"><span class="tocnumber">12</span> <span class="toctext">Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]</span></a></li> </ul> </div> <h2><span id=".D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Определение_[_править_]">Определение [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=1" title="Редактировать раздел «Определение [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=1" title="Редактировать код раздела «Определение [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы. </p><p>j <i>-инвариант</i> можно определить как функцию в верхней полуплоскости <b>H</b> = { <i>τ</i> ∈ <b>C</b> , Im ( <i>τ</i> ) > 0}, </p> <dl><dd></dd></dl> <p>с третьим определением, подразумевающимможно выразить в виде куба , также с 1728 г.. </p><p>Данные функции являются модульным дискриминантом , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты, </p> <dl><dd></dd> <dd></dd></dl> <p>где,являются рядами Фурье , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>и,являются рядами Эйзенштейна , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>и(квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как <i>:</i> </p> <dl><dd></dd></dl> <p>без числового коэффициента, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта: </p> <dl><dd></dd></dl> <p>Например, используя приведенные выше определения и, то эта-функция Дедекиндаимеет точное значение , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>подразумевая трансцендентные числа , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ), </p> <dl><dd></dd></dl> <p>В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая <i>E</i> над <b>C</b> является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка <b>C</b> . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и <i>τ</i> ∈ <b>H</b> . Эта решетка соответствует эллиптической кривой(см. эллиптические функции Вейерштрасса ). </p><p>Обратите внимание, что <i>j</i> определен всюду в <b>H</b> , поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни. </p> <h2><span id=".D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.B4.D0.B0.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D0.BE.D0.B1.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.82.D1.8C_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Фундаментальная_область_[_править_]">Фундаментальная область [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=2" title="Редактировать раздел «Фундаментальная область [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=2" title="Редактировать код раздела «Фундаментальная область [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а <i>g</i> <sub>2</sub> — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и <i>j</i> , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией <b>H</b> → <b>C</b> , инвариантной относительно действия SL(2, <b>Z</b> ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, <b>Z</b> ) . </p><p>Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе, </p> <dl><dd></dd></dl> <p>мы можем уменьшить <i>τ</i> до значения, дающего то же значение для <i>j</i> и лежащего в фундаментальной области для <i>j</i> , которая состоит из значений <i>τ</i> , удовлетворяющих условиям </p> <dl><dd></dd></dl> <p>Функция <i>j</i> ( <i>τ</i> ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел <b>C</b> ровно один раз. Другими словами, для каждого <i>c</i> в <b>C</b> существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что <i>c</i> = <i>j</i> ( <i>τ</i> ) . Таким образом, <i>j</i> обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость. </p><p>Кроме того, два значения τ,τ' ∈ <b>H</b> образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, <b>Z</b> ) . Это означает, что <i>j</i> обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над <b>C</b> на комплексную плоскость. </p><p>Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция ( первого уровня ) является рациональной функцией от <i>j</i> ; и, наоборот, каждая рациональная функция от <i>j</i> является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это <b>C</b> ( <i>j</i> ) . </p> <h2><span id=".D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D0.B5.D0.B9_.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.BE.D0.B2_.D0.B8_j_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Теория_полей_классов_и_j_[_править_]">Теория полей классов и <i>j</i> [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=3" title="Редактировать раздел «Теория полей классов и j [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=3" title="Редактировать код раздела «Теория полей классов и j [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>j -инвариант обладает множеством замечательных свойств <i>:</i> </p> <ul><li>Если <i>τ</i> — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если <i>τ</i> — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что <i>j</i> определен), то <i>j</i> ( <i>τ</i> ) является алгебраическое целое число .  Эти специальные значения называются сингулярными модулями .</li> <li>Расширение поля <b>Q</b> [ <i>j</i> ( <i>τ</i> ), <i>τ</i> ]/ <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .</li> <li>Пусть Λ — решетка в <b>C</b> , порожденная {1, <i>τ</i> }. Легко видеть, что все элементы <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, <i>τ }</i> , связанные аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения <i>j</i> ( <i>τ )</i> к <i>j</i> ( <i>τ</i> ) над <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) , и значения <i>τ</i> , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям <b>Q</b> ( <i>τ</i> ) .</li></ul> <p>Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения . </p> <h2><span id=".D0.A1.D0.B2.D0.BE.D0.B9.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0_.D1.82.D1.80.D0.B0.D0.BD.D1.81.D1.86.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Свойства_трансцендентности_[_править_]">Свойства трансцендентности [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=4" title="Редактировать раздел «Свойства трансцендентности [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=4" title="Редактировать код раздела «Свойства трансцендентности [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если <i>τ</i> — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то <i>j</i> ( <i>τ</i> ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если <i>τ</i> — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то <i>j</i> ( <i>τ</i> ) трансцендентно. </p><p>Функция <i>j</i> обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если <i>τ</i> находится в верхней полуплоскости, то <i>e</i> <sup>2π <i>iτ</i></sup> и <i>j</i> ( <i>τ</i> ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если <i>e</i> <sup>2π <i>iτ</i></sup> алгебраическое, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны: </p> <dl><dd></dd></dl> <h2><span id="Q_-_.D1.80.D0.B0.D1.81.D1.88.D0.B8.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8_.D1.81.D0.B0.D0.BC.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D0.BD_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Q_-_расширение_и_самогон_[_править_]">Q <i>-</i> расширение и самогон [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=5" title="Редактировать раздел «Q - расширение и самогон [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=5" title="Редактировать код раздела «Q - расширение и самогон [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>Несколько замечательных свойств <i>j</i> связаны с его <i>q</i> -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через <i>q</i> = <i>e</i> <sup>2π <i>iτ</i></sup> , которое начинается: </p> <dl><dd></dd></dl> <p>Обратите внимание, что <i>j</i> имеет простой полюс на вершине, поэтому в его <i>q</i> -разложении нет членов ниже <i>q</i> <sup>−1</sup> . </p><p>Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана : </p> <dl><dd>.</dd></dl> <p>Асимптотическая формула для коэффициента при <i>q <sup>n</sup></i> имеет вид </p> <dl><dd>,</dd></dl> <p>что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда . </p> <h3><span id=".D0.A1.D0.B0.D0.BC.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D0.BD_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Самогон_[_править_]">Самогон [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=6" title="Редактировать раздел «Самогон [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=6" title="Редактировать код раздела «Самогон [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <p>Еще более примечательно то, что коэффициенты Фурье для положительных показателей <i>q</i> — это размерности градуированной части бесконечномерного градуированного алгебраического представления группы монстров , называемого <i>модулем самогона</i> . В частности, коэффициент <i>q <sup>n</sup></i> — это размерность градуированной алгебры <i>.</i> часть самогонного модуля, первым примером является <i>алгебра</i> Грисса , имеющая размерность 196884, что соответствует терму 196884q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона . </p><p>Изучение гипотезы самогона привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид </p> <dl><dd></dd></dl> <p>затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. </p> <h2><span id=".D0.90.D0.BB.D1.8C.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.BD.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D1.8B.D1.80.D0.B0.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Альтернативные_выражения_[_править_]">Альтернативные выражения [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=7" title="Редактировать раздел «Альтернативные выражения [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=7" title="Редактировать код раздела «Альтернативные выражения [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>У нас есть </p> <dl><dd></dd></dl> <p>где <i>x</i> = <i>λ</i> (1 − <i>λ</i> ) , а <i>λ</i> — модулярная лямбда-функция </p> <dl><dd></dd></dl> <p>отношение тэта-функций Якоби <i>θm ,</i> а – квадрат эллиптического модуля <i>k <sub>(</sub></i> τ ) .  Значение <i>j</i> не меняется, когда <i>λ</i> заменяется любым из шести значений перекрестного отношения : </p> <dl><dd></dd></dl> <p>Точки ветвления <i>j</i> находятся в точках {0, 1, ∞} , так что <i>j</i> — функция Белого . </p> <h2><span id=".D0.92.D1.8B.D1.80.D0.B0.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D1.87.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B7_.D1.82.D1.8D.D1.82.D0.B0-.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Выражения_через_тэта-функции_[_править_]">Выражения через тэта-функции [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=8" title="Редактировать раздел «Выражения через тэта-функции [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=8" title="Редактировать код раздела «Выражения через тэта-функции [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>Определим ном <i>q</i> = <i>e</i> <sup>π <i>iτ</i></sup> и тэта-функцию Якоби , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять, </p> <dl><dd></dd></dl> <p>где <i>ϑ <sub>ij</sub></i> и <i>θ <sub>n</sub></i> — альтернативные обозначения, а <i>a</i> <sup>4</sup> − <i>b</i> <sup>4</sup> + <i>c</i> <sup>4</sup> = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов <i>g</i> <sub>2</sub> , <i>g</i> <sub>3</sub> , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>и модульный дискриминант, </p> <dl><dd></dd></dl> <p>с эта-функцией Дедекинда <i>η</i> ( <i>τ</i> ) . Затем j ( <i>τ</i> ) можно быстро вычислить <i>:</i> </p> <dl><dd></dd></dl> <h2><span id=".D0.90.D0.BB.D0.B3.D0.B5.D0.B1.D1.80.D0.B0.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.BE.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Алгебраическое_определение_[_править_]">Алгебраическое определение [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=9" title="Редактировать раздел «Алгебраическое определение [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=9" title="Редактировать код раздела «Алгебраическое определение [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>До сих пор мы рассматривали <i>j</i> как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически.  Пусть </p> <dl><dd></dd></dl> <p>— плоская эллиптическая кривая <i>над любым полем</i> . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме <i>y</i> <sup>2</sup> = 4 <i>x</i> <sup>3</sup> − <i>g</i> <sub>2</sub> <i>x</i> − <i>g</i> <sub>3</sub> (обратите внимание, что это преобразование можно выполнить только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Итоговые коэффициенты: </p> <dl><dd></dd></dl> <p>где <i>г</i> <sub>2</sub> знак равно <i>c</i> <sub>4</sub> и <i>г</i> <sub>3</sub> знак равно <i>c</i> <sub>6</sub> . У нас также есть дискриминант </p> <dl><dd></dd></dl> <p>j <i>-инвариант</i> эллиптической кривой теперь можно определить как </p> <dl><dd></dd></dl> <p>В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно </p> <dl><dd></dd></dl> <h2><span id=".D0.9E.D0.B1.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Обратная_функция_[_править_]">Обратная функция [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=10" title="Редактировать раздел «Обратная функция [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=10" title="Редактировать код раздела «Обратная функция [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>Обратная функция <i>j</i> - инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию <sub>2</sub> <i>F</i> <sub>1</sub> (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число <i>N</i> , решить уравнение <i>j</i> ( <i>τ</i> ) = <i>N</i> для <i>τ</i> можно как минимум четырьмя способами. </p><p><b>Метод 1</b> : Решение секстика в <i>λ</i> , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>где <i>x</i> = <i>λ</i> (1 − <i>λ</i> ) , а <i>λ</i> — модульная лямбда-функция , поэтому секстику можно решить как кубику от <i>x</i> . Затем, </p> <dl><dd></dd></dl> <p>для любого из шести значений <i>λ</i> , где M — среднее арифметико-геометрическое . </p><p><b>Метод 2</b> : Решение квартики в <i>γ</i> , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>тогда для любого из четырех корней </p> <dl><dd></dd></dl> <p><b>Метод 3</b> : Решение кубики в <i>β</i> , </p> <dl><dd></dd></dl> <p>тогда для любого из трех корней </p> <dl><dd></dd></dl> <p><b>Метод 4.</b> Решение квадратичного уравнения по <i>α</i> . </p> <dl><dd></dd></dl> <p>затем, </p> <dl><dd></dd></dl> <p>Один корень дает <i>τ</i> , а другой —1/<i>τ</i>, но поскольку <i>j</i> ( <i>τ</i> ) = <i>j</i> (−1/<i>τ</i>) , то не имеет значения, какой <i>α</i> выбран. Последние три метода можно найти в теории эллиптических функций Рамануджана с альтернативными базисами. </p><p>Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. <sup>[ <i>нужна цитация</i> ]</sup> Сопутствующим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений <i>j</i> в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для <i>j</i> порядка 2 является кубическим. </p> <h2><span id=".D0.A4.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D1.8B_.D0.9F.D0.B8_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Формулы_Пи_[_править_]">Формулы Пи [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=11" title="Редактировать раздел «Формулы Пи [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=11" title="Редактировать код раздела «Формулы Пи [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>Братья Чудновские нашли в 1987 году </p> <dl><dd></dd></dl> <p>доказательство которого использует тот факт, что </p> <dl><dd></dd></dl> <p>Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато . </p> <h2><span id=".D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Специальные_значения_[_править_]">Специальные значения [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=12" title="Редактировать раздел «Специальные значения [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=12" title="Редактировать код раздела «Специальные значения [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>j <i>-</i> инвариант исчезает в «угле» фундаментальной области : </p> <dl><dd></dd></dl> <p>Вот еще несколько специальных значений <sup>, <i>заданных</i> в</sup> альтернативных обозначениях <i>J</i> ( <i>τ</i> ) ≡1/1728 г. <i>j</i> ( <i>τ</i> ) , первые пять хорошо известны: </p> <dl><dd></dd></dl> <h2><span id=".D0.9D.D0.B5.D1.81.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BE.D0.B1.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.8C_.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D1.84.D0.B8.D1.86.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D1.8C_.D1.8D.D0.BB.D0.BB.D0.B8.D0.BF.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D0.BA.D1.80.D0.B8.D0.B2.D1.8B.D0.B5_.D0.BF.D0.BE_.D0.B4.D1.80.D1.83.D0.B3.D0.B8.D0.BC_.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D1.8F.D0.BC_.5B_.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.82.D1.8C_.5D"></span><span class="mw-headline" id="Неспособность_классифицировать_эллиптические_кривые_по_другим_полям_[_править_]">Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&veaction=edit&section=13" title="Редактировать раздел «Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> \| </span><a href="/w/index.php?title=J-%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82&action=edit&section=13" title="Редактировать код раздела «Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям [ править ]»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2><p> The -инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть— эллиптические кривые, соответствующие полиномам</p><blockquote></blockquote><p>оба имеют-инвариант. Тогда рациональные точкиможно вычислить как:</p><blockquote></blockquote><p>сРациональных решений не существует. Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае решения задачивсе иррациональны. С другой стороны, на множестве точек</p><blockquote></blockquote><p>уравнение длястановится. Деление наустранитьрешения квадратичная формула дает рациональные решения:</p><blockquote></blockquote><p>Если рассматривать эти кривые, существует изоморфизмотправка</p><blockquote></blockquote></div>'
Была ли правка сделана через выходной узел сети Tor (`tor_exit_node`)	false
Unix-время изменения (`timestamp`)	'1707243703'
Название базы данных вики (`wiki_name`)	'ruwiki'
Языковой код вики (`wiki_language`)	'ru'

Просмотр отдельных изменений

Переменные, созданные для этого изменения

Навигация

Поиск