Просмотр кода страницы Формула Фейнмана — Каца

'''Формула Фейнмана — Каца''' — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика [[Фейнман, Ричард Филлипс|Ричарда Фейнмана]] и математика [[Кац, Марк|Марка Каца]]. 

В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый [[метод Монте-Карло]]). И наоборот, [[математическое ожидание]] случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.

==Формулировка в одномерном случае==
Рассмотрим дифференциальное уравнение
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + \tfrac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - V(x,t) u + f(x,t) = 0 \qquad (*)</math>
с неизвестной функцией <math>u=u(x,t)</math>, в котором <math>x \in \mathbb{R}</math> и <math>t \in [0,T]</math> — независимые переменные, <math>\mu, \sigma, V, f</math> — известные функции.
Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием
:<math>u(x,T)=\psi(x), </math>
может быть выражено как [[условное математическое ожидание]]  
:<math> u(x,t) = E^Q\left[ \int_t^T e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}f(X_s,s)ds + e^{-\int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) \ \bigg| \ X_t=x \right],</math>
где <math>Q</math> — вероятностная мера, такая что случайный процесс <math>X_t</math> является [[процесс Ито|процессом Ито]], описываемым стохастическим уравнением 
:<math>dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \sigma(X_t,t)\,dW_t^Q, 
\qquad (**)
</math>
в котором <math>W_t^Q</math> — [[винеровский процесс]], с начальным условием 
:<math>X_0=x</math>.

==Многомерный вариант==
Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная 
<math>x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math>.

В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид 
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \mu_i(x,t) \frac{\partial u}{\partial x_i} + \tfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} - V(x,t) u + f(x,t) = 0
</math>
и ''n''-мерный случайный процесс <math>X_t</math> описывается стохастическим уравнением 
:<math>dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \Sigma(X_t,t)\,dW_t^Q,</math>
в котором <math>\mu</math> — это вектор-столбец <math>(\mu_1,\ldots,\mu_n)</math>,  
<math>W_t^Q</math> — ''n''-мерный [[винеровский процесс]], <math>\Sigma = (\sigma_{ij})</math> — квадратная матрица порядка n, связанная  
с матрицей <math>\Gamma = (\gamma_{ij})</math> формулой 
:<math>\Gamma = \Sigma \cdot \Sigma^*,</math>
звёздочка означает транспонирование. 

==См. также==
* [[Стохастическое дифференциальное уравнение]]
* [[Формула Ито]]
* [[Уравнение Колмогорова — Чепмена]]
* [[Уравнение Фоккера — Планка]]

== Литература ==
* {{книга
|автор        = Оксендаль Б.
|название     = Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения
|год          = 2003
|издательство  = Мир
|город        = {{Comment|М.|Москва}}
}}
* {{книга
|автор       = Protter P. E.
|название    = Stochastic Integration and Differential Equations
|год         = 2005
|издательство = Springer
}}
* {{книга
|автор       = Simon B.
|название    = Functional Integration and Quantum Physics
|год         = 1979
|издательство = Academic Press
}}
* {{книга
|автор       = Klebaner, F.C.
|название    = Introduction to Stochastic Calculus With Applications
|год         = 2005 
|издательство = London, UK: Imperial College Press
}}
* {{книга
|автор       = Knill, O. 
|название    = Probability Theory And Stochastic Processes With Applications 
|год         = 2009
|издательство = Overseas Press
}}

{{Ричард Фейнман}}

[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]
[[Категория:Статистическая физика]]
[[Категория:Случайные процессы]]
[[Категория:Именные законы и правила|Фейнмана — Каца]]