Суперэллипсоид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Примеры суперэллипсоидов

Суперэллипсоид — геометрическое тело, поперечными сечениями которого являются суперэллипсы (кривые Ламе) с одним и тем же показателем степени r, а вертикальные сечения — суперэллипсы с одним и тем же показателем степени t[1][2]. Некоторые суперэллипсоиды являются суперквадриками, однако ни одно из этих семейств не является подмножеством другого.

Частным случаем суперэллипсоида является суперяйцо, изобретённое Питом Хейном.

Математическое описание[править | править вики-текст]

Базовая форма[править | править вики-текст]

Базовый суперэллипсоид определяется уравнением

Параметры r и t — положительные действительные числа, которые определяют форму фигуры, в частности — степень плоскостности полюсов и экватора. Когда t = r, суперэллипс становится частным случаем суперквадрики.

Любая параллель (горизонтальное сечение) суперэллипсоида плоскостью z = b, где -1 < b < +1, является кривой Ламе с показателем степени r, и масштабным коэффициентом

Любой меридиан (сечение плоскостью, проходящей через ось симметрии) также является кривой Ламе с показателем степени t и вытянутой в горизонтальном направлении с коэффициентом w, зависящим от положения секущей плоскости. Именно, если x = u cos θ и y = u sin θ при фиксированном θ, то

где

В частности, если r = 2, горизонтальные сечения являются кругами, а w = 1 для всех секущих плоскостей. В этом случае суперэллипсоид является телом вращения, полученной вращением кривой Ламе с показателем степени t вокруг вертикальной оси.

Базовый суперэллипсоид располагается в пространстве внутри куба, где значения каждой из трёх координат лежат в пределах от −1 до +1. Суперэллипсоид общего вида получается масштабированием базового суперэллипсоида по координатным осям с коэффициентамиA, B, C, которые являются полуосями получившегося суперэллипсоида. Уравнение суперэллипсоида общего вида

Принимая r = 2, t = 2,5, A = B = 3, C = 4, получим суперяйцо Пита Хейна.

Суперэллипсоид общего вида представляется в параметрическом виде через параметры u and v (долгота и широта)[2]:

где

Объём суперэллипсоида выражается формулой

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Barr, A.H. (January 1981), Superquadrics and Angle-Preserving Transformations. IEEE_CGA vol. 1 no. 1, pp. 11–23
  2. 1 2 Barr, A.H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics. Chapter III.8 of Graphics Gems III, edited by D. Kirk, pp. 137–159

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]