Теорема Адамара о степенном ряде

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Адамара о степенном ряде (также теорема Коши — Адамара) — утверждение, которое даёт оценку радиуса сходимости степенных рядов для некоторых случаев. Названа в честь французских математиков Коши и Адамара. Теорема была опубликована Коши в 1821[1], но оставалась незамеченной пока Адамар не переоткрыл её[2]. Адамар опубликовал результат в 1888 году[3]. Он также включил его в докторскую диссертацию в 1892 году[4].

Формулировка[править | править код]

Пусть  — степенной ряд с радиусом сходимости . Тогда:

если верхний предел существует и положителен, то ;

если , то ;

если верхнего предела не существует, то .

Доказательство[править | править код]

Пусть .

Если точка такова, что , то и можно найти такое число , что почти для всех будет выполняться . Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия является сходящейся мажорантой ряда , то есть .

Если, наоборот, точка удовлетворяет условию , то и для бесконечного множества номеров будет выполняться . Следовательно, ряд в точке расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.

Пусть . Тогда для каждого последовательность сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число , то для почти всех номеров будет выполняться неравенство , откуда, как и в , следует сходимость ряда в точке . Формально .

Верхнего предела в не существует (т.е. формально ) в том и только том случае, если последовательность неограничена сверху. Если , то неограничена и последовательность . Поэтому ряд в точке расходится. Следует отметить, что при ряд сходится к . Окончательно (т.е. формально , фактически ).

Примечания[править | править код]

  1. Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique .
  2. Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, с. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Переведено на английский с итальянского Warren Van Egmond.
  3. Hadamard, J., "Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable", C. R. Acad. Sci. Paris Т. 106: 259–262 .
  4. Hadamard, J. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4e Série Т. VIII, <https://archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft> . Также в Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Литература[править | править код]

  • Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления, М., Мир, 1971