Теорема Киршбрауна о продолжении

Теорема Киршбрауна о продолжении (иногда называется теорема Валентайн) — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.

Формулировка

Пусть $S$ произвольное подмножество евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$, тогда произвольное короткое отображение $f:S\to \mathbb {R} ^{m}$ можно продолжить до короткого отображения ${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$; иначе говоря, существует короткое отображение ${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ такое, что ${\bar {f}}|_{S}=f$.

Вариации и обобщения

• Естественно обобщается на
  • Отображения из подмоножества гильбертова пространства в гильбертово пространство.
  • Отображения из подмоножества пространства Лобачевского в пространство Лобачевского той же кривизны
• Аналогичный результат для отбражений между сферами не верен, однако теорема остаётся верной для
  • Отображения из подмоножества сферы в полусферу той же кривизны.
  • Отображения из подмоножества сферы в сферу той же кривизны не меньшей размерности.
• Аналогичный результат для банаховых пространств неверен.

Метрическая геометрия

• Обобщение теоремы Киршбрауна на метрические пространства дано Лэнгом и Шрёдерем
• Любое короткое отображение определённое на подмножестве произвольного метрического пространства со значениями в инъективном пространстве допускает короткое продолжение на всё пространство. Это даёт другое обобщение теоремы на метрические пространства. К инъективным пространствам относятся вещественная прямая и метрические деревья а также $L^{\infty }$-пространства.
• Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если $X$ — метрическое пространство со свойством удвоения и $A\subset X$ и $V$ — банахово пространство, то любое $L$-Липшицево отображение $A\to V$ продолжается до $C\cdot L$-Липшицева отображения $X\to V$, где константа $C$ зависит только от параметра в свойстве удвоения.

История

Была доказана в диссертации Мойжеша Киршбрауна (защищена в 1930). Позже эту теорему передоказал Фредерик Валентайн.

См. также

• Теорема Титце о продолжении