Теорема о дисконтинууме

Теорема о дисконтинууме — утверждение о том, что между точками любых двух ограниченных дисконтинуумов можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок следования точек на прямой.

Формулировка[править | править код]

Всякое ограниченное, совершенное, нигде не плотное линейное множество подобно канторову множеству, и, следовательно, все такие множества подобны друг другу.

Пояснение[править | править код]

Два линейных точечных множества $A$ и $B$ называются подобными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок следования точек на прямой, то есть такое, что если $x'\leftrightarrow y'$ , $x''\leftrightarrow y''$ , $x',x''\in A,y',y''\in B$ и $x'<x''$ , то $y'<y''$ .

Доказательство[править | править код]

Пусть $P$ — линейное ограниченное, совершенное, нигде не плотное множество. Оно получается из наименьшего отрезка $[a,b]$ , его содержащего, выбрасыванием счётного числа интервалов, не имеющих попарно общих точек и концов. Смежных интервалов будет обязательно счётное множество, так как при конечном числе смежных интервалов $P$ не было бы нигде не плотным. Пусть $V$ — наибольший по длине смежный интервал множества $P$ или, если таких интервалов несколько (конечное число), самый левый из них. Отрезки, получившиеся после удаления $V$ из $[a,b]$ , обозначим через $\delta _{0}$ и $\delta _{2}$ . Пусть $V_{0}$ — наибольший по длине смежный интервал множества $P$ , лежащий на $\delta _{0}$ или самый левый Обозначим через $\delta _{00}$ и $\delta _{02}$ отрезки, остающиеся после удаления из $\delta _{0}$ интервала $V_{0}$ . Аналогично приходим к интервалу $V_{2}$ и отрезкам $\delta _{20}$ и $\delta _{22}$ и так далее. Отметим, что при каждом шаге на каждом из отрезков $\delta _{j_{1}j_{2}...j_{k}}$ будут обязательно смежные интервалы, так как в противном случае весь этот отрезок принадлежал бы $P$ и множество $P$ не было бы нигде не плотным. Таким образом: $P=\left[a,b\right]\backslash V\backslash \left(V_{0}\cup V_{2}\right)\backslash \left(V_{00}\cup V_{02}\cup V_{20}\cup V_{22}\right)\backslash ...$ . Получаем, что каждая точка $x\in P$ определяется счётным множеством индексов, принимающих независимо два значения: $y=y_{j_{1}j_{2}...j_{k}...}$ , где $j_{k}=0,2$ . Пусть $y$ и $y'$ — две различные точки множества $P$ : $y=y_{j_{1}j_{2}...j_{k}...}$ , $y'=y'_{j'_{1}j'_{2}...j'_{k}...}$ . Предположим, что $y$ и $y'$ лежат на одном и том же отрезке 1-го, 2-го, ..., (k-1)-го ранга, но на разных отрезках k-го ранга. Тогда $j_{1}=j'_{1},j_{2}=j'_{2},...,j_{k-1}=j'_{k-1},j_{k}\neq j'_{k}$ . Ясно, что если $j_{k}=0,j'_{k}=2$ , то $y<y'$ и обратно, если $y'<y$ , то $j_{k}=2,j'_{k}=0$ . Доказательство теоремы завершает установление взаимно однозначного соответствия $x_{i_{1}i_{2}...i_{k}...}\leftrightarrow y_{j_{1}j_{2}...j_{k}...}$ если $i_{1}=j_{1},i_{2}=j_{2},...,i_{k}=j_{k},...$ .