Теорема о симплектическом верблюде

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема о симплектическом верблюде — одна из основных теорем в симплектической геометрии[1]. Теорема гласит, что шар возможно вложить в цилиндр сохраняя естественную симплектическую форму, только если радиус шара не превосходит радиуса цилиндра.

История[править | править код]

Доказана в 1985 году Михаилом Громовым[2]. Ян Стюарт (англ. Ian Stewart) назвал эту теорему теоремой о симплектическом верблюде, ссылаясь на библейскую притчу удобнее верблюду пройти сквозь игольные уши, нежели богатому войти в Царствие Божие[3].

До появления этой теоремы было очень мало известно о геометрии симплектических преобразований. Одно простое свойство симплектоморфизма заключается в том, что он сохраняет объем[4]. Легко видеть, что шар любого радиуса допускает вложение в цилиндр любого радиуса с сохранением объёма. Таким образом, теорема о верблюде говорит, что класс симплектических преобразований существенно меньше класса диффеоморфизмов, сохраняющих объём.

Формулировка[править | править код]

В пространстве

с симплектической формой

рассмотрим шар радиуса R

и цилиндр радиуса r

Теорема о симплектическом верблюде говорит, что если мы можем найти симплектическое вложение

то .

Ссылки[править | править код]

  1. Tao, Terence (2006), Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis, vol. 106, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society, с. 219, <https://books.google.com/books?id=Uc1WXBWv-EsC&pg=PA219> 
  2. Gromov, M. L. (1985). «Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds». Inventiones Mathematicae 82: 307–347. DOI:10.1007/BF01388806. Bibcode1985InMat..82..307G.
  3. Stewart, I.: The symplectic camel, Nature 329(6134), 17-18 (1987), DOI:10.1038/329017a0.
  4. D. McDuff and D. SalamonIntroduction to Symplectic Topology, Cambridge University Press (1996), ISBN 978-0-19-850451-1.

Дополнительная литература[править | править код]

  • Maurice A. de Gosson: The symplectic egg, arXiv:1208.5969v1, submitted on 29 August 2012 — includes a proof of a variant of the theorem for case of linear canonical transformations
  • Dusa McDuff: What is symplectic geometry?, 2009