Функция Гомпертца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кривая Гомпертца или функция Гомпертца, названная в честь Бенджамина Гомпертца (англ) , является сигмовидной функцией. Это тип математической модели для временных рядов, где рост медленнее в начале и в конце периода. Она напоминает логистическую кривую, но не симметричную, а с более пологим правым хвостом, то есть замедление роста происходит не так быстро, как происходило его ускорение.

Графики кривых Гомпертца, показывающие влияние изменения одного из параметров при сохранении других постоянными
Вариация a
Вариация b
Вариация c

Формула[править | править исходный текст]

y(t)=ae^{be^{ct}}

где

  • a верхняя асимптота  ae^{be^{- \infty }}=ae^0=a
  • b, c отрицательные числа (параметры роста)
  • b устанавливает смещение по x
  • c задаёт темп роста (масштабирование по x)
  • e число Эйлера (e = 2.71828…)

Производная[править | править исходный текст]

Функция кривой может быть получена из закона смертности Гомпертца, в котором говорится, что уровень смертности (распада) экспоненциально падает с возрастом.

k^{r} \propto \frac{1}{y(t)}

где

  • r=\frac{y'(t)}{y(t)} - темп роста.
  • k - произвольная постоянная.

Примеры использования[править | править исходный текст]

Примеры использования для кривых Гомпертца включают в себя:

  • Количество мобильных телефонов: пока стоимость была высокой рост был медленный, а затем период быстрого роста, а затем замедление когда было достигнуто насыщение.
  • Население в ограниченном пространстве, так как уровень рождаемости сначала повышается, а затем медленно спадает по мере ограничения ресурсов.
  • Моделирование роста опухоли.
  • Моделирование роста википедии[1].

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Внешние ссылки[править | править исходный текст]