Аксиомой [существования] пустого множества называется следующее высказывание теории множеств:
.
Аксиома пустого множества провозглашает существование по меньшей мере одного пустого множества, то есть множества, не содержащего ни одного элемента. Пустое множество является своим подмножеством, но не является своим элементом.
.
, что есть
.
, что есть
.
, что есть
.
, что есть
.
, что есть
.
, что есть
.
1. Аксиому пустого множества можно вывести из следующей совокупности высказываний:
,
,
.
Кроме того, аксиому пустого множества можно вывести из аксиомы бесконечности, представленной в следующем виде:
![{\displaystyle \exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5a88464bdd7fef164c9efddcdfd626a7e15949)
2. Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность пустого множества. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пустого множества равносильна высказыванию
, что есть ![{\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd701016ce85513ef59e08d6d01045a5b5771dd2)
Единственность пустого множества не противоречит «бесконечной множественности» описаний пустого множества, включая следующие описания:
,
,
,
.
.