B-V диаграмма

B-V диаграмма позволяет получить численную оценку дисперсионного соотношения волноводной частоты и волноводного показателя преломления для различных мод волновода. Также с помощью неё можно определить некоторые характеристики волновода (угол распространения каждой моды, величину фазового сдвига).

Построение b-V диаграммы

1) Для того, чтобы построить диаграмму для конкретно заданного волновода необходимо знать числовые значения его показателей преломления : $n_{1}$ - сердцевина , $n_{2}$ — подложка, $n_{3}$(показатель преломления воздуха) = 1.

2) С помощью показателей преломления рассчитываем параметр степени асимметрии a волноводной структуры :

Для ТМ-мод :

$a_{}={\frac {n_{1}^{4}}{n_{3}^{4}}}\cdot {\frac {n_{2}^{2}-n_{3}^{2}}{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}$

Для ТЕ-мод :

$a_{}={\frac {n_{2}^{2}-n_{3}^{2}}{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}$

3) B — волноводный показатель преломления. Для любого волновода B изменяется в пределах от 0 до 1 ($B\neq 1$).

Для построения диаграммы возьмём значения B от 0 до 0,99 с шагом в 0,01.

4) Зная величину волноводного показателя преломления и параметра асимметрии определим волновые частоты волновода с помощью дисперсионного уравнения:

$V_{}={\frac {\pi m+arctg\surd (B/(1-B))+arctg\surd ((B+a)/(1-B))}{\surd (1-B)}}$

где $m$ — номер моды, целое число ($m=0,1,2...$).

5) Строим графики зависимости волноводного показателя преломления от волноводной частоты для каждой моды (в примере взят волновод с показателями преломления $n_{1}$ — 2,22 , $n_{2}$ — 2,2, $n_{3}$(показатель преломления воздуха) = 1.)

Зависимость волноводного показателя преломления B от частоты V

Определение углов распространения в модах и фазовых сдвигов

Зная толщину волноводного слоя $h$, показатели преломления волновода и длину волны $\lambda$ света, распространяемого в волноводе, рассчитаем общее количество мод $M$ данного волновода :

$M_{}={\frac {2h_{}}{\lambda _{}}}\cdot \surd n_{1}^{2}-n_{2}^{2}$

(количество мод в волноводе округляется до целого числа в меньшую сторону)

Найдём величину частоты отсечки V для каждой моды :

$V=m\cdot \pi +\arctan \surd a$

Где a — параметр степени асимметрии волноводной структуры.

Для каждой полученной V находим соответствующее значение B с помощью B-V диаграммы.

Далее, из формулы для волноводного показателя преломления выразим величину эффективного показателя преломления $n_{eff}$ для каждой моды :

$B_{}={\frac {n_{eff,m}^{2}-n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}$

$n_{eff,m}=\surd (B\cdot (n_{1}^{2}-n_{2}^{2})-n_{2}^{2})$

Из полученных значений $n_{eff}$ рассчитаем угол распространения света в каждой моде. При этом, угол $\Theta _{}$ не может быть любым, так как только дискретный набор углов приводит к самосогласованной картине распространения поля, соответствующего волноводной моде. Значения углов соответствуют модам волноводного слоя. То есть, для каждой моды $m_{}$ волновода существует свой эффективный показатель преломления $n_{eff,m}$  , который зависит от угла падения света $\Theta _{m}$ :

$n_{eff,m}=n_{1}\sin \Theta _{m}$

$\sin \Theta _{m}={\frac {n_{eff,m}}{n_{1}}}$

(угол, под которым распространяется свет должен быть больше критического, чтобы сохранялось условие полного внутреннего отражения)

$\sin \Theta _{\kappa p}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Зная углы распространения для каждой из мод, мы можем рассчитать величины фазовых сдвигов. Из теории о плоских волноводах известно, что свет, распространяясь в волноводе, постоянно отражается от границ сердцевина-воздух и сердцевина-подложка. При углах, превышающих критический, модуль коэффициента отражения равен единице, и отражённый свет претерпевает сдвиг фаз относительно падающего света. Выражение для фазовых сдвигов получено из формул Френеля для коэффициента отражения R. В данном случае R — комплексная величина $R=\exp(2/\varphi )$, тогда :

Для ТМ-мод :

$tg\varphi _{12,\mathrm {T} \mathrm {M} }={\frac {{\frac {n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}}}\cdot \surd (n_{1}^{2}sin\Theta _{}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{1}\cos \Theta _{}}}$

Для ТЕ-мод:

$tg\varphi _{12,\mathrm {T} E}={\frac {\surd (n_{1}^{2}sin\Theta _{}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{1}\cos \Theta _{}}}$

(Величина фазового сдвига одинаково определяется для границ сердцевина-воздух и сердцевина-подложка)

Зная величины фазовых сдвигов и величины углов в каждой моде волновода, производим проверку истинности найденных величин. Для этого используем условие самосогласованности (условие поперечного резонанса) :

$2k_{}n_{1}h_{}\cos \Theta _{}-2\varphi _{12}-2\varphi _{13}=2\pi m_{}$

Где m — номер моды волновода, k — волновой вектор :

$k_{}={\frac {2\pi }{\lambda _{}}}$

Литература

• К.Хельмут В.Лотш Проблемы прикладной физики. Часть 7. Интегральная оптика // Под ред. Т.Тамира — М: Изд-во Мир, 1978. — 344 с.