Empirical Mode Decomposition

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

EMD (англ. Empirical Mode Decomposition) — метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирических мод».

Метод EMD представляет собой итерационную вычислительную процедуру, в результате которой исходные данные (непрерывный или дискретный сигнал) раскладываются на эмпирические моды или внутренние колебания (англ. intrinsic mode functions, IMF). В отличие от гармонического анализа, где модель (дискретного или непрерывного) сигнала задаётся заранее, эмпирические моды вычисляются в ходе процесса, что и подчёркивается в названии метода. Разложение на эмпирические моды позволяет анализировать локальные явления, поэтому данный метод может быть использован при обработке нестационарных временных рядов (или процессов).

Метод EMD является неотъемлемой частью преобразования Гильберта — Хуанга.

Определения[править | править код]

Огибающая сигнала[править | править код]

Огибающая сигнала — это функция, построенная по характерным точкам данного сигнала, например, по экстремумам.

У каждого (дискретного или непрерывного) сигнала имеются локальные экстремумы: локальные максимумы и локальные минимумы. В результате, можно построить две огибающие: нижнюю огибающую, построенную по точкам локального минимума, и верхнюю огибающую, построенную по точкам локального максимума.

В методе EMD в качестве приближающих функций используются кубические сплайны.

Среднее значение[править | править код]

В методе EMD используется так называемое «среднее значение» — функция, которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между огибающими: нижней и верхней.

Эмпирическая мода[править | править код]

Эмпирическая мода, внутреннее колебание или мода (англ. intrinsic mode functions, IMF) — эта такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами:

  1. Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.
  2. Среднее значение, которое определяется по двум огибающим — верхней и нижней, должно быть равно нулю.

Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.

Просеивание[править | править код]

Процедура выделения эмпирических мод называется просеиванием (англ. sifting).

Алгоритм метода[править | править код]

Пусть  — анализируемый сигнал.

Суть метода EMD заключается в последовательном вычислении эмпирических мод и остатков , где и .

В результате, получается разложение сигнала вида

где  — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.

Схема алгоритма[править | править код]

В общем виде, алгоритм метода выглядит следующим образом.

Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.

Строятся две огибающие сигнала: нижняя и верхняя . При этом можно использовать сплайн (например, кубический).

Вычисляются среднее значение и разность между сигналом и его средним значением:

.

Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученная разность и будет эмпирической модой.

В противном случае, необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности (поиск экстремумов, построение огибающих, вычисление среднего и его вычитание):

.

В результате выполнения последовательности итераций вида

необходимо получить функцию

которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая , выделена, итерации прекращаются.

Вычисляется остаток , и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции .

Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя будет выделить эмпирическую моду.

Условия остановки[править | править код]

При просеивании последовательно вычисляются функции , поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.

Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа величину

Итерации прекращаются как только число станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.

Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля и количества экстремумов : процесс просеивания обрывается, если или имеет место на протяжении итераций. Число выбирается заранее.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]