RS-анализ

RS-анализ — совокупность статистических приёмов и методов анализа временных рядов (преимущественно финансовых), позволяющих определить некоторые важные их характеристики, такие как наличие непериодических циклов, памяти и т. п.

Методология

Пусть имеется последовательность $S=(S_{t})_{t\geq 0}$ котировок некоторой ценной бумаги (в общем случае — временной ряд). Образуем из данного ряда последовательность $h=(h_{t})_{t\geq 1}$, где $h_{t}=\ln \left({\frac {S_{t}}{S_{t-1}}}\right)$ — логарифмическая доходность в момент времени $t$.

Для каждого натурального n составим величины $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}h_{k}$ и вычислим следующие числовые характеристики получившейся подпоследовательности.

Пусть ${\overline {h}}_{n}={\frac {H_{n}}{n}}$ — среднее арифметическое элементов подпоследовательности $h=(h_{t})_{t=1}^{n}$

1. Размах накопленных сумм $R_{n}={\underset {k=1,...,n}{\max }}\left(\sum _{i=1}^{k}\left(h_{i}-{\overline {h}}_{n}\right)\right)-{\underset {k=1,...,n}{\min }}\left(\sum _{i=1}^{k}\left(h_{i}-{\overline {h}}_{n}\right)\right)$;
2. Среднеквадратичное отклонение $S_{n}:S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(h_{i}-{\overline {h}}_{n}\right)^{2}$;
3. Нормированный размах накопленных сумм (англ. the adjusted range of cumulative sums) $RS_{n}={\frac {R_{n}}{S_{n}}}$

Вычисляя в соответствии с вышеприведённым алгоритмом значения $RS_{n}$, образуем из них и соответствующих значений количества элементов $n$ последовательность точек на плоскости $\left(x_{n},y_{n}\right)\equiv \left(\ln n,\ln RS_{n}\right)_{n=1}^{N}$. Осталось применить метод наименьших квадратов (МНК) для определения углового коэффициента прямой, проходящей максимально близко к полученным точкам.

По известной МНК-формуле, полагая $c_{1}=\sum _{i=1}^{N}x^{2}\ ,\ c_{2}=\sum _{i=1}^{N}x\ ;\ g_{1}=\sum _{i=1}^{N}xy\ ;\ g_{2}=\sum _{i=1}^{N}y\ ,\ \ \$ находим коэффициент Хёрста

$\mathbb {H} ={\frac {Ng_{1}-c_{2}g_{2}}{Nc_{1}-c_{2}^{2}}}$

Замечания

1. Знание коэффициента Хёрста $\mathbb {H}$ временного ряда позволяет элементарно, в обход рутинной процедуры вычисления предела, получить такой нетривиальный показатель, как размерность Минковского временного ряда $d$ по формуле $d=2-\mathbb {H} .$
2. Коэффициент Хёрста $\mathbb {H} >0.5$ соответствует фрактальному броуновскому движению с положительной корреляцией (долгой памятью), $\mathbb {H} =0.5$ — обычному белому гауссовскому шуму ${\mathcal {f}}\varepsilon _{t},t\geq 0:\varepsilon _{t}\sim iid\ N(\mu ,\sigma ){\mathcal {g}}$

Литература

• Голубев С.Н. R/S - анализ стабильности запаздывающего временного ряда (недоступная ссылка) // Лабораторный журнал: электрон. научн.-практич. журн. 2013. N 1(1). ISSN 2307-8561
• Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. — М.: Интернет-трейдинг, 2004. — 304 с. — ISBN 5-902360-03-X.
• Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. — М.: Мир, 2000. — 333 с. — ISBN 5-03-003356-4.
• Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: Фазис, 1998. — Т. 1. — 512 с. — ISBN 5-7036-0043-X.