Асимптотически эквивалентные системы

Определение

Асимптотически эквивалентными системами называются системы дифференциальных уравнений

${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)\quad (1)$

и

${\frac {dy}{dt}}=g(t,y)\quad (2)$

если между их решениями $x(t)$ и $y(t)$ можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что

$\lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0.\quad (3)$

Признак асимптотической эквивалентности

Теорема Левинсона

Пусть решения системы

${\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (4)$

где $A$ — постоянная $(n\times n)$-матрица, ограничены на $[0,\infty )$. Тогда система

${\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y$,

где $B(t)\in C[0,\infty )$и $\int _{0}^{\infty }\lVert B(t)\rVert \,dt<\infty$ асимптотически эквивалентна системе $\quad (4)$.

В представленной выше формуле $\lVert \cdot \rVert$ обозначает норму матрицы.

См. также

• Теорема Левинсона

Источники

1. Воскресенский Е. В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений.  (рус.)(рус.)
2. Гробман Д. М. Топологическая и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений, Матем. сб., № 61 (103):1 1963, С 13-39.  (рус.)(рус.)
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.  (рус.)(рус.)