Норма матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Норма матрицы — норма в линейном пространстве матриц, как правило некоторым образом связанная с соответствующей векторной нормой (согласованная[⇨] или подчиненная[⇨]).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть K — основное поле (обычно K = R или K = C) и  — линейное пространство всех матриц с m строками и n столбцами, состоящих из элементов K. На пространстве матриц задана норма, если каждой матрице ставится в соответствие неотрицательное действительное число , называемое ее нормой, так, что

  • , если , и , если .
  • .
  • [1].

В случае квадратных матриц (то есть m = n), матрицы можно перемножать не выходя из пространства, и потому нормы в этих пространствах обычно также удовлетворяют свойству субмультипликативности:

  • для всех матриц A и B в .

Субмультипликативность может выполняться также и для норм неквадратных матриц, но определённых сразу для нескольких нужных размеров. Именно, если A — матрица  × m, и B — матрица m × n, то A B — матрица  × n.

Операторные нормы[править | править вики-текст]

Важным классом матричных норм являются операторные нормы, также именуемые подчинёнными или индуцированными. Операторная норма однозначно строится по двум нормам, определённым в и , исходя из того, что всякая матрица m × n представляется линейным оператором из в . Конкретно,

[2]

При условии согласованного задания норм на пространствах векторов, такая норма является субмультипликативной (см. выше).

Примеры операторных норм[править | править вики-текст]

  • Матричная норма , подчинённая векторной норме .
  • Матричная норма , подчинённая векторной норме .
  • Спектральная норма , подчиненная векторной норме .

Свойства спектральной нормы:

  1. Спектральная норма оператора равна максимальному сингулярному числу этого оператора.
  2. Спектральная норма нормального оператора равна абсолютному значению максимального по модулю собственного значения этого оператора.
  3. Спектральная норма не изменяется при умножении матрицы на ортогональную (унитарную) матрицу.

Примеры норм[править | править вики-текст]

Векторная -норма[править | править вики-текст]

Можно рассматривать матрицу как вектор размера и использовать стандартные векторные нормы:

Норма Фробениуса[править | править вики-текст]

Норма Фробениуса, или евклидова норма представляет собой частный случай p-нормы для p = 2: .

Норма Фробениуса легко вычисляется (по сравнению, например, со спектральной нормой). Обладает следующими свойствами:

  • Субмультипликативность: , так как .
  • , где  — след матрицы ,  — эрмитово-сопряжённая матрица.
  • , где  — сингулярные числа матрицы .
  • .
  • не изменяется при умножении матрицы слева или справа на ортогональные (унитарные) матрицы[3].

Максимум модуля[править | править вики-текст]

Норма максимума модуля — другой частный случай p-нормы для p = ∞.

Норма Шаттена[править | править вики-текст]

Согласованность матричной и векторных норм[править | править вики-текст]

Матричная норма на называется согласованной с нормами на и на , если:

для любых . Операторная норма по построению является согласованной с исходной векторной нормой.

Примеры согласованных, но не подчиненных матричных норм:

  • Евклидова норма согласована с векторной нормой [3].
  • Норма согласована с векторной нормой [4].

Эквивалентность норм[править | править вики-текст]

Все нормы в пространстве эквивалентны, то есть для любых двух норм и и для любой матрицы верно двойное неравенство:

где константы и не зависят от матрицы .

Для справедливы неравенства:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

где , и  — операторные нормы[5].

Применение[править | править вики-текст]

Матричные нормы часто используются при анализе вычислительных методов линейной алгебры. Например, программа решения систем линейных алгебраических уравнений может давать неточный результат, если матрица коэффициентов плохо обусловленная («почти вырожденная»). Для количественной характеристики близости к вырожденности нужно уметь измерять расстояние в пространстве матриц. Такую возможность дают матричные нормы[6].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — ISBN 5-211-03814-2.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988.
  • Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969.
  • Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.
  • Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9.

Ссылки[править | править вики-текст]