Кинк (математика)

Кинк — это решение уравнений поля в некоторых теориях поля в $1+1=2$ измерениях, интерполирующее между двумя вакуумами при изменении пространственной координаты от $-\infty$ до $+\infty$. Кинк является простейшим топологическим солитоном.

Кинк в модели одного действительного скалярного поля

Вид $V(\phi )$ при $\lambda =2,~~\mu ={\sqrt {2}}$.

Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности $1+1$ с действием

$S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }-V(\phi )\right],$

где $\phi$ — потенциал поля, $\mu =0,1$, а

$V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}.$

Действие инвариантно относительно дискретного преобразования $\phi =-\phi$; эта симметрия спонтанно нарушается, так как классические вакуумы равны $\phi ^{vac}=\pm v$.

Из принципа наименьшего действия получается уравнение поля

$\phi _{,\mu }^{~~\mu }+{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0.$

Гиперболический тангенс — статическое решение уравнений поля при $x_{0}=0,~~\lambda =2,~~\mu ={\sqrt {2}}$.

Будем искать статическое, то есть не зависящее от времени решение уравнений поля. В этом случае уравнение поля сводится к

$\phi ''-{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0,$

где штрих обозначает производную по пространственной координате. Полученное уравнение имеет следующее решение:

$\phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)},$

где $x_{0}$ — постоянная интегрирования. Данное решение и является простейшим статическим кинком, интерполирующим между вакуумами $-v$ и $+v$ при изменении пространственной координаты от $-\infty$ до $+\infty$. Решение со знаком $-$ называется антикинком.

Свойства решения

Размер кинка имеет порядок величины $r_{k}=\mu ^{-1}$, то есть порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения. Действительно, плотность энергии кинка

$\epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{\frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(x-x_{0}))}}$

существенно отличается от нуля только в области $|x-x_{0}|\lesssim r_{k}$.

Статическая энергия кинка равна

$\int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},$

где $m={\sqrt {2}}\mu$ — масса элементарного возбуждения.

Полученное решение не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако эти преобразования переводят решения уравнений поля в другие решения. Применяя трансляции и преобразование Лоренца, получим следующее семейство нестатических решений:

$\phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}{\frac {(x-x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2}}}})},$

где $u$ — скорость движущегося кинка.

Кинк в модели одного комплексного скалярного поля

Рассмотрим теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности $1+1$ с лагранжианом

$\Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu }+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi }}-{\frac {\lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.$

Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:

$\phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi }},$

${\bar {\phi }}_{,\mu }^{,\mu }=\mu ^{2}{\bar {\phi }}-\lambda {\bar {\phi }}^{2}\phi .$

Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля

$\phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)}.$

Кинк в уравнении синус-Гордона

Кинк в уравнении синус-Гордона

Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности $1+1$ с лагранжианом

$\Lambda =\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi }{v}}-1].$

Принцип наименьшего действия приводит к уравнению

$\phi _{,\mu }^{~~\mu }+m^{2}v\sin {\frac {\phi }{v}}=0,$

Антикинк в уравнении синус-Гордона

которое заменой $x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v}}$ приводится к уравнению синус-Гордона

$\phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,$

имеющему следующие частные решения, представляющие движущиеся со скоростью $v$ кинки, интерполирующие между вакуумами $\phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z}$ и $\phi _{0}+2\pi$ при изменении $x$ от $-\infty$ до $+\infty$:

$\phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}-1}}}+\delta \right]\right\},$

где $\delta$ — произвольная постоянная. Знак $+$ соответствует кинку, знак $-$ — антикинку.

Литература

• Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев, Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля, УФН 167, 377—406 (1997) Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine.
• V.A. Gani, A.E. Kudryavtsev, M.A. Lizunova, Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ⁶ model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014); [1].
• V.A. Gani, V. Lensky, M.A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ⁸ model, JHEP 08 (2015) 147; [2].