Критическая динамика

Критическая динамика — раздел теории критического поведения и статистической физики, описывающий динамические свойства физической системы в или вблизи критической точки. Является продолжением и обобщением критической статики, позволяя описывать величины и характеристики системы, которые нельзя выразить лишь через одновременны́е равновесные функции распределения. Такими величинами являются, например, коэффициенты переноса, скорости релаксации, разновременны́е корреляционные функции, функции отклика на зависящие от времени возмущения.

Как и вся статистическая физика, критическая динамика имеет дело с огромным или даже бесконечным количеством степеней свободы. Развитию таких систем во времени присущи различные стохастические (случайные) процессы: тепловое движение и соударение молекул в газовой системе, переориентация спинов решётки в твёрдом теле, возникновение и взаимодействие турбулентных вихрей в потоке жидкости. Постановка и решение подобных задач проводится с использованием формализма квантовой теории поля, создававшейся изначально для нужд физики высоких энергий и элементарных частиц. Стохастичность процессов моделируется путём введение в динамические уравнения дополнительного случайного члена — «шума» с известным (обычно Гауссовым) распределением.

Постановка задач стохастической динамики

Обозначив за $x$ совокупность пространственных координат и индексов системы, за $\phi (x)$ весь набор полей в системе, можем записать стандартную постановку задачи стохастической динамики.

$\partial _{t}\phi (x)=U(x;\phi )+\eta (x),\ \ \ <{\hat {\eta }}(x){\hat {\eta }}(x')>=D(x,x')$

U здесь — заданный t-локальный функционал, $\eta$ — случайная внешняя сила, которая моделирует все быстро меняющиеся процессы в системе. Для неё предполагается Гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором D. Также выполняется условие запаздывания и некоторые граничные условия, которые обычно берут нулевыми при временах $t->-\infty$

Это — наиболее общий вид уравнения эволюции в задачах стохастической динамики. Разумеется, не при любом выборе функционала U и коррелятора D оно будет иметь простое решение.

Приведём ниже несколько примеров задач стохастической динамики.

Броуновское движение

Запишем уравнения для Броуновского движения на языке стохастической динамики:

$\partial _{t}r_{i}(t)=\eta _{i}(t),\ \ \ <{\hat {\eta }}_{i}(t){\hat {\eta }}_{k}(t')>=2\alpha \delta _{ik}\delta (t-t')$

Здесь $\phi (x)\equiv r_{i}(t)$, U = 0, константа $\alpha$ несёт смысл коэфф-та диффузии.

Уравнение Навье-Стокса

Динамическое уравнение Навье-Стокса также можно сформулировать на этом языке. Критическими задачами для уравнения будут задача описания турбулентности, в том числе развитой турбулентности (для систем с большими значениями чисел Рейнольдса), построения функции распределения вихрей по волновому вектору (в Фурье-представлении поля скорости) и проверки феноменологической теории Колмогорова.

$\partial _{t}\phi _{i}(x)=\nu \Delta \phi _{i}(x)-\partial _{i}P-\phi _{j}\partial _{j}\phi _{i}$

$\partial _{i}\phi _{i}=0\ \$ (условие поперечности)

Здесь $\phi$ — несжимаемое векторное поле скорости, $\nu$ — кинематическая вязкость, p — давление.

Задачи Ланжевеновского типа

В классе задач стохастической динамики традиционно выделяется более узкий класс задач критической динамики, в котором накладываются дополнительные условия на рассматриваемые поля и вид функционала U (t-локального функционала, стоящего в правой части динамического уравнения для полей). Во-первых, в качестве набора полей системы рассматривается набор полей, соответствующих т. н. мягким модам. Мягкой модой называют любую величину, крупномасштабные флуктуации которой медленно релаксируют, то есть в импульсном представлении скорость релаксации флуктуаций с заданным волновым вектором k стремится к нулю при $k->0$. Например, поле параметра порядка вблизи критической точки всегда само является мягкой модой. Во-вторых, функционал U будет являться вариационной производной от статического действия. Запишем соответствующую постановку задачи:

$\partial _{t}\phi _{a}=(\alpha _{ab}+\beta _{ab}){\frac {\delta S^{st}(\phi )}{\delta \phi _{b}}}+\eta _{a},\ \ \ <{\hat {\eta }}_{a}(x){\hat {\eta }}_{b}(x')>=2\alpha _{ab}\delta (x-x')$

$\alpha _{ab}$ здесь называется коэффициентом Онсагера, $\beta {ab}$ — межмодовой связью.

Для них выполняются следующие условия:

$\alpha _{ab}=\alpha _{ba}$, то есть коэффициент Онсагера симметричен (это можно легко понять из того, что коррелятор возмущений случайных сил симметричен по определению)

$\beta _{ab}=-\beta _{ba}$

Обоснование свойств межмодовой связи проводится с помощью уравнения Фоккера-Планка.

Таким образом, постановке той или иной задачи критической динамики соответствует задание набора описывающих систему полей, коэффициента Онсагера и межмодовой связи. Ниже приводится список наиболее широко распространённых и изученных моделей.

Модели критической динамики

Следуя классической статье [Hohenberg, Halperin], приведём стандартный список моделей критической динамики. Все они соответствуют статической $O_{n}-\phi ^{4}$-модели для поля параметра порядка, действие в этих моделям будет приведено явно.

Статическим действием $O_{n}-\phi ^{4}$-модели для n-компонентного поля $\psi$ является

$S^{st}(\psi )=-(\partial \psi )^{2}/2-\tau \psi ^{2}/2-v_{1}(\psi ^{2})^{2}/24$

Модели A и B

A и B — релаксационные модели, то есть межмодовая связь (антисимметричная часть соответствующей матрицы) равняется нулю.

Модель A описывает анизотропный ферромагнетик с однокомпонентным несохраняющимся полем параметра порядка, за которое в физической системе рассматривается проекция намагниченности на одну из осей координат;

Модель B описывает одноосный ферромагнетик с однокомпонентным сохраняющимся полем параметра порядка, за которое в физической системе выступает проекция намагниченности на одну из осей координат.

Модель A:

$\phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=\lambda _{\psi }$,

где $\lambda _{a}\equiv const>0\ \ \forall a$

Модель B:

$\phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \partial ^{2}$

С точки зрения формальной постановки модели A и B отличаются, таким образом, лишь сохранением поля параметра порядка.

Модели C и D

Модели C и D также являются чисто релаксационными. Они являются обобщениями моделей A и B на случай сохранения энергии; в них вводится дополнительное сохраняющееся скалярное поле $m(x)=<{\hat {E}}(x)>$, описывающее флуктуации температуры.

Модель C:

$\phi =\{\psi ,m\}$, где m -- добавочное сохраняющееся однокомпонентное поле

$S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2$

$\alpha _{\psi }=\lambda _{\psi };\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^{2}$

Модель D:

$\phi =\{\psi ,m\}$, где m -- добавочное сохраняющееся однокомпонентное поле

$S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2$

$\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \partial ^{2};\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^{2}$

Вновь, с точки зрения формальной постановки модели C и D отличаются лишь сохранением поля параметра порядка.

Литература

• Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: издательство ПИЯФ, 1998.
• Hohenberg P. C. Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena, Rev. Mod. Phys, Vol. 49, № 3, July 1977, pp 435—475

Ссылки

• MSR-формализм  (англ.)