Квантовая теория поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободыквантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов[стиль!].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

История зарождения[править | править вики-текст]

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. В 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Как известно, в классической механике (включая нерелятивистскую квантовую механику) энергия (кинетическая, поскольку потенциальная предполагается нулевой) и импульс свободной частицы связаны соотношением E=p^2/2m. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид E^2=p^2c^2+m^2c^4. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, получим уравнение Клейна — Гордона:

{\hbar^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}={\hbar^2}{c^2} \mathbf{\nabla}^2\psi-{m^2c^4}\psi или \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{\partial^2\psi}{\partial {(ct)^2}}= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы \hbar=c=1:

 (\square\ - m^2) \psi = 0, где \square\  — оператор Д’Аламбера.

Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иное обоснование имеет уравнение Дирака, предложенное им в 1928 году. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса.

H_D=mc^2 \alpha_0 +  c \boldsymbol{\alpha}\cdot \mathbf{\hat{p}}

и с учетом формулы связи энергии и импульса, на квадрат этого оператора налагаются ограничения, а значит и на "коэффициенты"\alpha — их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а "волновая функция" — четырехкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В таком случае уравнение Дирака формально имеет вид, идентичный уравнению Шредингера (с гамильтонианом Дирака).

Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака следует рассматривать как уравнения для полевых операторных функций, действующих на вектор состояния системы квантовых полей, удовлетворяющих уравнению Шрёдингера.

Классический формализм теории поля[править | править вики-текст]

Лагранжев формализм[править | править вики-текст]

В лагранжевой механике функция Лагранжа L является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы. В случае непрерывной системы, каковым является поле, сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа - лагранжевой плотности \mathcal{L}

L(t)=L(x^0)=\int \mathcal{L}(x^0,\mathbf{x})d^3\mathbf{x}.

где жирным выделены пространственные компонетны 4-вектора координат, а нулевая компанента - время.

Действие S по определению есть интеграл по времении от лагранжиана

S=\int dt L(t)=\int dx^0 d^3\mathbf{x}\mathcal{L}(x^0,\mathbf{x} )=\int d^4x\mathcal{L}(x)

то есть действие в теории поля есть четырехмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырехмерному пространству-времени. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность.

Поле описывается полевой функцией \psi(x), которое может быть вещественной или комплексной скалярной (псевдоскалярной), векторной, спинорной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных - от полевой функции и ее производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат (явная зависимость от координат нарушает релятивистскую инвариантность). Локальность теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, интегральных зависимостей. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике) предполагается, что лагранжиан зависит только от полевой функции и ее первых производных

\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}(\psi(x),\partial_{\nu}{\psi}(x)).

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера-Лагранжа, [1]:

\frac {\partial} {\partial x^{\nu}} \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu}\psi)}\right )=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единcтвенное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-дивергенцией некоторого 4-вектора

\mathcal{L}'(x)=\mathcal{L}(x)+\partial_{\nu}f^{\nu}(x)

физически эквивалентны.

При рассмотрении системы полей исходят из полного лагранжиана системы, который является суммой свободного лагранжиана \mathcal{L}_0 - суммы лагранжианов входящих в систему свободных полей - и лагранжиана взаимодействия \mathcal{L_I}:

\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\mathcal{L_I}

Для решения уравнений движения полезно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью преобразования Фурье:

\psi(x)=\frac {1}{(2\pi)^2}\int d^4p f(p)e^{ipx}

с учетом свойств Фурье-образа f(p), в частности Фурье-образ производных \partial_{\mu} \psi(x) равен ip_{\mu}f(p).

Гамильтонов формализм[править | править вики-текст]

От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Полевая функцию здесь выступает в качестве обобщенной координаты. Соответственно необходимо определить также и обобщенный импульс, сопряженный этой координате согласно стандартной формуле:

\pi(t, \mathbf{x})=\frac {{\partial} \mathcal{L}(\psi,\partial_{\nu}{\psi})}{{\partial} \dot{\psi}(t,\mathbf{x})}

Тогда гамильтониан поля (гамильтонова плотность) равна по определению

\mathcal{H}=\pi \dot{\psi}-\mathcal{L}

Динамика любых величин F(\psi, \pi) в рамках гамильтонова формализма подчиняются следующему уравнению:

\dot{F}=\{F,H\}

где фигурными скобками обозначена скобка Пуассона. При этом для самих функций \psi и \pi выполнено следующее:

\{\psi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{x},t)\}=1

Динамические инварианты. Теорема Нётер[править | править вики-текст]

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно s-параметрических преобразований приводит к s динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. В частности, инвариантность действия относительно трансляций (пространственно-временных сдвигов) приводит к сохранению тензора энергии-импульса, в том числе 4-импульса p^{\mu}.

Пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций F^{\mu}(x,\omega), а полевая функция - с помощью функции U(x,\omega), где {\omega} - совокупность s параметров. Обозначим u_k значение производной функции U по k-му параметру при нулевом значении параметров, а через f^{\mu}_k - значения производнях функций F^{\mu}(x,\omega)по k-му параметру при нулевом значении параметров. Тогда нётеровские ток определяется как

J^{\mu}_k=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}(\partial_{\nu}\psi f^{\nu}_k-u_k)-f^{\mu}_k \mathcal{L}

Нётеровские токи обладают свойством \partial_{\mu}J^{\mu}_k=0. Сохраняющимися во времени величинами ("зарядами") являются пространственные интегралы

C_k=\int d^3x J^0_k

Пространственно-временные трансляции и тензор энергии-импульса[править | править вики-текст]

Рассмотрим, в частности, пространственно-временные трансляции. В этом случае F^{\mu}(x,\omega)=x^{\mu}+\omega^{\mu}, то есть f^{\mu}_k=\delta^{\mu}_k а полевая функция предполагается неизменной, то есть u_k=0. Тогда, нётеровские токи образуют так называемый тензор энергии-импульса

T^{\mu \nu}=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\partial_{\nu}\psi-{g}^{\mu\nu} \mathcal{L}

В частности, T^{00}=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{0}\psi)}\partial_{0}\psi-\mathcal{L}=\mathcal{H}, то есть плотность гамильтониана (гамильтонова плотность) поля.

Сохраняющимся вектором является вектор энергии-импульса

P^{\nu}=\int d^3xT^{0 \nu}

В том числе и гамильтониан H=P^0 =\int d^3x\mathcal{H}

Калибровочные преобразования и заряд[править | править вики-текст]

В случае комплексных полей лагранжиан оказывается инвариантным относительно фазового (калибровочного) преобразования, не затрагивающего координат. Это связано с тем, что в силу вещественности лагранжиан и любые динамическиме величины могут зависеть от комплексного поля лишь через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряженных функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель e^{i\alpha} не приводит к каким-либо изменениям.

Таким образом, имеем однопараметрическое преобразование для полевой функции с u=i\psi (для комплесно-сопряженной функции соответственно u^*=-i\psi^*. Поскольку координаты не затрагиваются, то f^{\mu}=0. Подставляя это в выражение для нётеровского тока (с учетом того, что для комплексных полей нётеровский ток складывается из тока для полевой функции и комплексно-сопряженной полевой функции)

J^{\mu}=i(\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi^*)}\psi^*-\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\psi)

для которого выполнено уравнение непрервыности \partial_{\mu}J^{\mu}=0, поэтому отождествляется с 4-вектором тока, а сохраняющийся во времени пространственный интеграл

Q=\int d^3\mathbf{x}J^0

отождествляется с зарядом (электрический, барионный, странность, очарование и т.д.). Поэтому комплексные поля называют еще заряженными в отличие от нейтральных вещественных полей (для последних не соблюдается глобальная калибровочная инвариантность, поэтому таких инвариантов вещественные поля не имеют или можно сказать, что для вещественных полей соответствующие токи и заряд равны нулю).

Лоренцевы вращения, спин и момент импульса[править | править вики-текст]

Примеры простейших полей[править | править вики-текст]

Вещественное (нейтральное) скалярное поле[править | править вики-текст]

Для вещественной полевой функции \psi(x) с лагранжианом

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\psi{\partial^\mu}{\psi}-\frac{m^2}{2}\psi^2

уравнением движения является уравнение уравнению Клейна-Гордона

\partial_{\mu}\partial^{\mu}\psi+m^2\psi=0[2].

Тензор энергии-импульса данного поля, очевидно равен

T^{\mu\nu}=\partial^{\mu}\psi\partial^{\nu}\psi-g^{\mu \nu}\mathcal{L}

Сопряженный импульс равен, очевидно, \pi=\dot{\psi} , а гамильтониан (плотность)

T^{00}=\mathcal{H}=\frac {1} {2}(\pi\pi+\nabla \psi^*\nabla \psi+m^2 \psi^*\psi)

Вектор импульса без временной (энергетической) компоненты равен P^{k}=\int \dot{\psi}\partial^k \psi dx

Можно показать, что вещественное скалярное поле имеет следующее импульсное представление

\psi(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac {d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2p_0}} (a(\mathbf{p})e^{-ipx}+a^+(\mathbf{p})e^{ipx} )

А соответствующий 4-импульс поля равен

P^{\mu}=\frac{1}{2}\int d^3\mathbf{p}p^{\mu}[a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})+a(\mathbf{p})a^+(\mathbf{p})]=\int d^3\mathbf{p}p^{\mu}a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})

Таким образом n(\mathbf{p})=a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p}) имеет смысл плотности частиц с импульсом \mathbf{p} (и энергией p_0=\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}). После квантования поля - это будет число квантов поля с данным импульсом (энергией), а сами операторы a^+, a - операторами рождения и уничтожения квантов (частиц) .

Векторное поле[править | править вики-текст]

Спинорное поле[править | править вики-текст]

Квантование полей[править | править вики-текст]

Квантование означает переход от полей к операторам, действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, что и для классических полей (с учетом порядка перемножения).

Квантование заключается в переходе от полевых функций (обобщенных координат) и функций обобщенного импульса к соответствующим операторам (операторозначным функциям), для которых устанавливаются стандартные коммутационнаые соотношения, известные из квантовой механики:

[\psi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{x'},t)]=[\pi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{x'},t)]=0
[\pi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{x'},t)]=-i\delta^{(3)}(\mathbf{x-x'})

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе - разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

[A,B]=AB-BA

Коммутационные соотношения Ферми-Дирака основаны на антикоммутаторе - сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

[A,B]_+=AB+BA

Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Поле и гармонические осцилляторы. Операторы рождения и уничтожения квантов[править | править вики-текст]

Можно показать, что, например, скалярное поле Клейна-Гордона может быть представлено как совокупность осцилляторов. Разлагая полевую функцию в бесконечный ряд Фурье по трехмерному вектору импульса можно показать, что из уравнения Клейна-Гордона следует, что амплитуды разложения удовлетворяют классическому дифференциальному уравнению второго порядка для осциллятора с параметром (частотой) \omega_k =\sqrt {\overrightarrow k^2+m^2}. Рассмотрим ограниченный куб V=L^3 и наложим условие периодичности по каждой координате с периодом L.Условие периодичности приводит к квантованию допустимых импульсов и энергии осциллятора:

\overrightarrow k (n)= \frac {2 \pi}{L}(n_1, n_2, n_3)~~~,~~~\omega_n^2=m^2+\frac {4\pi^2} {L^2} n^2

Для квантового гармонического осциллятора получена известная формула квантования энергии E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2). Собственные функции, соответствующие указанным собственным значениям гамильтониана, оказываются связанными друг с другом некоторыми операторами {\hat{a}}^+{\psi}_n={\sqrt{n+1}}{\psi}_{n+1} — повышающий оператор, {\hat{a}}{\psi}_n={\sqrt{n}}{\psi}_{n-1} — понижающий оператор. Следует отметить, что эти операторы некоммутативны (их коммутатор равен единице). Применение повышающего или понижающего оператора увеличивает квантовое число n на единицу и приводит к одинаковому увеличению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией {\hbar} {\omega}. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения квантов данного поля. Гамильтониан гармонического осциллятора выражается через указанные операторы следующим образом H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}, где {\hat{n}}={\hat{a}}^+{\hat{a}}оператор числа квантов поля. Как нетрудно показать {\hat{n}}{\psi}_n=n{\psi}_n — то есть, собственные значения этого оператора — число квантов. Любое n-частичное состояние поля может быть получено действием операторов рождения на вакуум

{\psi}_n=\frac{(\hat{a}^+)^n}{\sqrt{n!}}\psi_0

Для вакуумного состояния результат применения оператора уничтожения равен нулю (это можно принять за формальное определение вакуумного состояния).

В случае N осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов индивидуальных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения \hat{a}^+_k, k=1,...,N. Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения n_k — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

\psi(n_1,...,n_N)=\prod_{(k)}{\frac{(\hat{a_k}^+)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}}\psi_0

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания функции \psi функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

S-матрица и функциональный интеграл. Диаграммы Фейнмана[править | править вики-текст]

\mathcal{M}=<out|S|in>

S=Te^{i\int d^4x \mathcal{L}_I (\phi(x))}

Расходимости. Регуляризация, перенормировка, ренормгруппа[править | править вики-текст]

Аксиоматическая квантовая теория поля[править | править вики-текст]

Подход Боголюбова Подход Уайтмана Подход Хаага-Рюэля

Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени[править | править вики-текст]

Квантовая теория поля может быть обобщена на случай слабоискривлённого пространства-времени[3]. Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с планковскими масштабами.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В дальнейшем используется принятая в квантовой теории поля тензорная (общековариантная) запись всех уравнений с использованием правила Эйнштейна. Используется сигнатура пространства-времени (1,-1,-1,-1), соответственно интервал определяется как s^2=t^2-x^2_1-x^2_2-x^2_3=x_{\mu}x^{\mu}=g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}, где в последних двух записях предполагается суммирование по повторяющимся индексам \mu, то есть по четырем координатам (в плоском пространстве Минковского - просто с учетом различных знаков у координат и времени). Оператор производной (обычной) по координатам обозначается либо \partial_{\mu} либо \partial/\partial x^{\mu}. Оператор Даламбера в такой записи будет иметь вид: \partial_{\mu}\partial^{\mu}=g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\partial_{\nu}. Производную по времени обозначают либо точкой в верху функции или как {\partial}_0
  2. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — 4. — М.: Наука, 1984. — С. 35.
  3. Stefan Hollands, Robert M. Wald Quantum fields in curved spacetime (англ.) // Physics Reports. — 2015. — DOI:10.1016/j.physrep.2015.02.001

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Видео лекции по КТП[править | править вики-текст]