Квантовая теория поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов[стиль!].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

Содержание

История зарождения[править | править вики-текст]

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. Нерелятивистское уравнение Шредингера соответствует классической связи кинетической энергии и импульса частицы E=p^2/2m. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид E^2=p^2c^2+m^2c^4. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, в 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Однако, проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году Дираком. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса. С учетом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определенному ограничению, а именно их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а «волновая функция» — четырёхкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В результате было получено уравнение Дирака, в котором участвуют т. н. 4-матрицы Дирака и четырёхкомпонентная «волновая функция». Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шредингера с гамильтонианом Дирака. Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Таким образом, переход к релятивистски инвариантным уравнениям приводит к нестандартным волновым функциям и многочастичным интерпретациям. Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Релятивистские уравнения Клейна-Гордона и Дирака рассматриваются в квантовой теории поля как уравнения для операторных полевых функций. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» гильбертово пространство состояний системы квантовых полей, на которые действуют указанные полевые операторы. Поэтому иногда процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием».

Классический формализм теории поля[править | править вики-текст]

Лагранжев формализм[править | править вики-текст]

В лагранжевой механике функция Лагранжа L является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы. В случае непрерывной системы, каковым является поле, сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа — лагранжевой плотности \mathcal{L}

L(t)=L(x^0)=\int \mathcal{L}(x^0,\mathbf{x})d^3\mathbf{x}.

где жирным выделены пространственные компоненты 4-вектора координат, а нулевая компонента — время.

Действие S по определению есть интеграл по времении от лагранжиана

S=\int dt L(t)=\int dx^0 d^3\mathbf{x}\mathcal{L}(x^0,\mathbf{x} )=\int d^4x\mathcal{L}(x)

то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному пространству-времени. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность.

Поле описывается полевой функцией \psi(x), которое может быть вещественной или комплексной скалярной (псевдоскалярной), векторной, спинорной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных — от полевой функции и её производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат (явная зависимость от координат нарушает релятивистскую инвариантность). Локальность теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, интегральных зависимостей. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике) предполагается, что лагранжиан зависит только от полевой функции и её первых производных

\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}(\psi(x),\partial_{\nu}{\psi}(x)).

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера-Лагранжа,[1]:

\frac {\partial} {\partial x^{\nu}} \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu}\psi)}\right )=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единственное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-дивергенцией некоторого 4-вектора \mathcal{L}'(x)=\mathcal{L}(x)+\partial_{\nu}f^{\nu}(x) физически эквивалентны.

Лагранжиан системы полей[править | править вики-текст]

Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей.

Взаимодействие полей учитывается в лагранжиане добавлением дополнительных нелинейных слагаемых. Таким образом, полный лагранжиан системы взаимодействующих полей является суммой свободных лагранжианов \mathcal{L}_0 и лагранжиана взаимодействия \mathcal{L_I}:

\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\mathcal{L_I}

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженные на некоторую числовую константу — так называему константу связи. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой полевой функции, произведению различных полевых функций (общая степень должна быть не ниже третьей).

Гамильтонов формализм[править | править вики-текст]

От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Полевая функция здесь выступает в качестве обобщенной (канонической) координаты. Соответственно необходимо определить также и обобщенный (канонический) импульс, сопряженный этой координате согласно стандартной формуле:

\pi(t, \mathbf{x})=\frac {{\partial} \mathcal{L}(\psi,\partial_{\nu}{\psi})}{{\partial} \dot{\psi}(t,\mathbf{x})}

Тогда гамильтониан поля (плотность гамильтониана) равен по определению

\mathcal{H}=\pi \dot{\psi}-\mathcal{L}

Уравнения движения в гамильтоновом подходе имеют вид:

\dot{\psi}=\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial \pi}, \dot{\pi}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial \psi}

Динамика любых величин F(\psi, \pi) в рамках гамильтонова формализма подчиняются следующему уравнению:

\dot{F}=\{F,\mathcal{H}\}

где фигурными скобками обозначена скобка Пуассона. При этом для самих функций \psi и \pi выполнено следующее:

\{\psi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{y},t)\}=1, \{\psi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{y},t)\}= \{\pi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{y},t)\}=0

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда полевые функции заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов.

Симметрии в квантовой теории поля[править | править вики-текст]

Определение и виды симметрий[править | править вики-текст]

Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) полевых функций, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют группу. Симметрии называются глобальными, если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат. В противном случае говорят о локальных симметриях. Симметрии могут быть дискретными или непрерывными. В последнем случае группа преобразований является непрерывной (топологической), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — группы Ли, в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые (голоморфные или аналитические) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором представлении — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров.

Дискретные симметрии. CPT-теорема[править | править вики-текст]

Наиболее важное значение имеют следующие виды преобразования:

C — Зарядовое сопряжение — замена полевых функций на сопряженные.

P — Четность — изменение знаков пространственных компонент на противоположный.

T — Обращение времени — изменение знака временной компоненты.

Доказано, что в локальной квантовой теории поля имеет место CPT-симметрия, то есть инвариантность относительно одновременного применения этих трех преобразований.

Непрерывные симметрии. Теорема Нётер[править | править вики-текст]

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно s-параметрической группы преобразований приводит к s динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций F^{\mu}(x,\omega), а полевой функции — с помощью функции U(x,\omega), где {\omega} — совокупность s параметров. Обозначим u_k значение производной функции U по k-му параметру при нулевом значении параметров, а через f^{\mu}_k — значения производных функций F^{\mu}(x,\omega) по k-му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований.

Тогда нётеровские токи, определенные как J^{\mu}_k=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}(\partial_{\nu}\psi f^{\nu}_k-u_k)-f^{\mu}_k \mathcal{L} обладают свойством \partial_{\mu}J^{\mu}_k=0. Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы по нулевой компоненте токов C_k=\int d^3x J^0_k

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям является релятивистская инвариантность — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы U(1) — группы умножений на e^{i\alpha}. Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряженных функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель e^{i\alpha} не приводит к каким-либо изменениям.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Симметрия
Нётеровские токи
Нётеровские заряды и законы сохранения
Пространственно-временные трансляции
Тензор энергии-импульса: T^{\mu \nu}=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\partial_{\nu}\psi-{g}^{\mu\nu} \mathcal{L}. В частности \mathcal{H}=T^{00}=\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{0}\psi)}\partial_{0}\psi-\mathcal{L} — гамильтониан (плотность) поля.
Закон сохранения 4-импульса: P^{\nu}=\int d^3xT^{0 \nu}, в частности энергии (гамильтониана) H=P^{0}
Лоренцевы вращения
Тензор (полного) момента M^{\tau(\rho\sigma)}=M^{\tau(\rho\sigma)}_0+S^{\tau(\rho\sigma)}, где M^{\tau(\rho\sigma)}_0=x^{\sigma}T^{\rho\tau}-x^{\rho}T^{\sigma\tau} — тензор орбитального момента, S^{\tau(\rho\sigma)}=-\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\tau} \psi_i)}A^{j(\rho\sigma)}_i\psi_j — тензор спинового момента (спина), где A^{j(\rho\sigma)}_i — параметры преобразования полевых функций при лоренцевых вращениях. Для скалярных полей S^{\tau(\rho\sigma)}=0
Закон сохранения полного момента M^{\rho\sigma}=M^{\rho\sigma}_0+S^{\rho\sigma} — пространственного интеграла от M^{0(\rho\sigma)}
Глобальная калибровочная симметрия U(1) — умножение комплексной полевой функции на e^{i\alpha}
4-вектор заряженного тока: J^{\mu}=i(\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi^*)}\psi^*-\frac {\partial  \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\psi). Для вещественных полей равны нулю.
Закон сохранения заряда (электрический заряд, барионный заряд, странность, очарование и т. д.): Q=\int d^3\mathbf{x}J^0. Для вещественных полей равен нулю.

Основные характеристики базовых полей[править | править вики-текст]

Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

Характеристика
Скалярное поле
Векторное поле
Спинорное поле
Полевая функция
\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)+i\phi_2(x)) — в общем случае комплексная функция. \phi^*(x) — комплексно-сопряженная функция. Если \phi^*(x)=\phi(x) (то есть \phi_2(x)=0), то имеем вещественное скалярное поле \phi_1(x) (переобозначив её просто как \phi(x))
A^{\mu}(x) — векторная функция (4-вектор), в общем случае с комплексными компонентами (заряженное векторное поле). Вещественное (нейтральное) векторное поле получается из условия равенства A^*_{\mu}=A_{\mu} (комплексное поле приравнивается тогда к вещественному, деленному на \sqrt{2})
\psi(x)-четырехкомпонентная функция (биспинор)-столбец, \bar{\psi}=\psi^*\gamma^0 — дираковски сопряженная четырёхкомпонентная функция-строка, \gamma^{\mu} — матрицы Дирака
Характер описываемых частиц
Частица со спином 0. Для вещественного поля — нейтральная, для комплексного — заряженная.
Частицы со спином 1 (проекции 0, \pm 1), заряженные или нейтральные
Заряженные частицы со спином 1/2 (\pm 1/2)
Лагранжиан (\mathcal{L})
\partial_{\mu}\phi^*\partial^{\mu}\phi-m^2\phi^*\phi=\mathcal{L}(\phi_1)+\mathcal{L}(\phi_2), где \mathcal{L}(\phi)=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-m^2\phi^2) — лагранжиан для вещественного поля \phi
-\frac{1}{2}F^*_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+m^2A^*_{\mu}A^{\mu}, где F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}
Для вещественного поля -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2A_{\mu}A^{\mu}
\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi
Уравнения движения Эйлера-Лагранжа
(\partial_{\mu}\partial^{\mu}+m^2)\phi=0 (уравнение Клейна-Гордона — верно и для сопряженной функции)
-(\partial_{\nu}\partial^{\nu}+m^2)A^{\mu}+\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0 (Уравнение Прока)
Дифференцирование по x^{\mu} приводит (если m \ne 0) к \partial_{\nu}A^{\nu}=0.
С этим условием (Лоренца) (\partial_{\nu}\partial^{\nu}+m^2)A^{\mu}=0
(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=0 — уравнение Дирака
Тензор энергии-импульса (T^{\mu\nu}), гамильтониан (\mathcal{H}=T^{00}), 4-импульс (P^{\nu})
\partial^{\mu}\phi^*\partial^{\nu}\phi-g^{\mu \nu}\mathcal{L}, \mathcal{H}=\pi^*\pi+\nabla \phi^*\nabla\phi+m^2 \phi^*\phi, где \pi=\dot{\phi}, для вещественного поля — \frac {1} {2}(\pi^2+(\nabla \phi)^2+m^2 \phi^2)
F^{\mu\sigma}_*\partial^{\nu}A_{\sigma}+\partial^{\nu}A^*_{\sigma}F^{\mu\sigma}-g^{\mu \nu}\mathcal{L}
\frac {i}{2}(\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\partial^{\nu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi), \mathcal{H}=\frac {i}{2}(\psi^*\dot{\psi}-\dot{\psi}^*\psi)
4-вектор тока (J^{\mu}) и зяряд (Q)
J^{\mu}=i(\phi^*\partial^{\mu} \phi- \phi\partial^{\mu} \phi^*), Q=\int d^3\mathbf{x} (\phi^*\dot{\phi}-\phi\dot{\phi}^*) для вещественного поля равны нулю
i(A^*_{\nu}F^{\mu\nu}-F^{\mu\nu}_*A_{\nu})
J^{\mu}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi, Q=\int d^3\mathbf{x} (\psi^*\psi)
Спин-тензор (S^{\tau(\mu\nu)})
0
A^{\mu}_*F^{\nu\tau}-F^{\mu\tau}_*A^{\nu}+F^{\nu\tau}_*A^{\mu}-A^{\nu}_*F^{\mu\tau}
\frac {1}{4}\bar{\psi}(\gamma^{\tau}\sigma^{\mu\nu}+\sigma^{\mu\nu}\gamma^{\tau})\psi, где \sigma^{\mu\nu}=\frac {1}{2i}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]

Локальные симметрии и калибровочные поля[править | править вики-текст]

Локальные преобразования можно определить как умножение полевой функции на некоторую функцию, зависящую от 4-координат. Например, локальные преобразования группы U(1) — фазовое преобразование, зависящее от конкретной пространственно-временной точки, то есть умножение на e^{i\alpha(x)}. Как отмечалось выше все комплексные поля симметричны относительно аналогичных глобальных преобразований. Однако, они часто неинвариантны относительно локальных преобразований. В частности, описанные выше скалярные и спинорные поля неинвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Причина этого — неинвариантность относительно такого преобразования обычной производной. Если ввести дополнительное поле A_{\mu} и заменить производную в лагранжиане на т. н. калибровочно-ковариантную производную

D_{\mu}=\partial_{\mu}-ieA_{\mu}

то полученный лагранжиан будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований. Однако, полученный таким образом лагранжиан будет по сути содержать взаимодействие двух полей — исходного и калибровочного A_{\mu}. По общему правилу в таком случае необходимо ввести в общий лагранжиан также слагаемое, отвечающее за лагранжиан свободного калибровочного поля. Этот лагранжиан тоже должен быть калибровочно инвариантен и выбирается как лагранжиан свободного безмассового векторного поля -\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. В итоге, например, для спинорного поля получаем лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД):

\mathcal{L}_{QED}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m)\psi-\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi+e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi-\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

То есть данный лагранжиан включает лагранжиан свободного спинорного поля Дирака, калибровочного (электромагнитного) поля и лагранжиан взаимодействия этих полей. Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан скалярной КЭД.

\mathcal{L}_{SQED}=(D_{\mu}\phi)^*D^{\mu}\phi -\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

Таким образом, требование локальной калибровочной инвариантности лагранжиана относительно фазового преобразования (группа U(1)) приводит к появлению калибровочного поля, в данном случае — электромагнитного поля, с которым взаимодействует «основное» поле.

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии. В общем случае это приводит к появлению так называемых калибровочных полей Янга-Миллса. Ковариантная производная в этом случае имеет вид:

D_{\mu}=I\partial_{\mu}-igT^aA^a_{\mu},

где T^a — генераторы преобразований соответствующей группы (в случае с U(1) был один генератор, равный единице).

С помощью такой ковариантной производной построен, например, лагранжиан квантовой хромодинамики (КХД), соответствующий группе SU(3):

\mathcal{L}_\mathrm{QCD} = \bar{q}  \left( i\gamma^\mu D_\mu - m I\right) q - \frac{1}{4}G^a_{\mu \nu} G^{\mu \nu}_a, где G^a_{\mu \nu} = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + g f^{a}_{bc} A^b_\mu A^c_\nu \,,,

где f^{a}_{bc} — структурные константы группы, участвующие в коммутаторе генераторов (матриц Гелл-Манна): [T^a,T^b]=if^{ab}_cT^c

Импульсное представление[править | править вики-текст]

Для решения уравнений движения можно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью преобразования Фурье:

\psi(x)=\frac {1}{(2\pi)^2}\int d^4p f(p)e^{ipx},

с учетом свойств Фурье-образа f(p), в частности Фурье-образ производных \partial_{\mu} \psi(x) равен ip_{\mu}f(p).

Нахождение решения уравнений движения можно показать на примере уравнения Клейна-Гордона.

Используя импульсное представление полевых функций можно получить и остальные характеристики поля в импульсном представлении. Покажем это на примере 4-импульса для того же вещественного скалярного поля Клейна-Гордона.


Характеристика
Скалярное поле
Векторное поле
Спинорное поле
Импульсное представление полевой функции:
f(\mathbf{p}) в выражении \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac {d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2p_0}} f(\mathbf{p}).
a отвечает за частицу, b — за античастицу.
e^{-ipx}a(\mathbf{p})+e^{ipx}b^+(\mathbf{p}), для вещественного поля b=a.
 \sum^3_{n=1}e^n_{\mu}(\mathbf{p})(e^{-ipx}a_n(\mathbf{p})+e^{ipx}b_n^+(\mathbf{p}))
\sum^2_{r=1}(e^{-ipx}a_r(\mathbf{p})u_r(\mathbf{p})+e^{ipx}b_r^+(\mathbf{p})v_r(\mathbf{p})
Плотность n(\mathbf{p}) частиц с импульсом \mathbf{p}. Общее число частиц N=\int d^3\mathbf{p}n(\mathbf{p}). 4-импульс поля P^{\nu}=\int d^3\mathbf{p}p^{\nu}n(\mathbf{p})
(a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})+b^+(\mathbf{p})b(\mathbf{p}))
 \sum^3_{n=1}(a^+_n(\mathbf{p})a_n(\mathbf{p})+b_n^+(\mathbf{p})b_n(\mathbf{p}))
 \sum^2_{r=1}(a^+_r(\mathbf{p})a_r(\mathbf{p})-b_r^+(\mathbf{p})b_r(\mathbf{p}))
Заряд (Q)
(a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})-b^+(\mathbf{p})b(\mathbf{p})), для вещественного поля равен нулю
\sum^3_{n=1}(a^+_n(\mathbf{p})a_n(\mathbf{p})-b_n^+(\mathbf{p})b_n(\mathbf{p}))
 \sum^2_{r=1}(a^+_r(\mathbf{p})a_r(\mathbf{p})-b_r^+(\mathbf{p})b_r(\mathbf{p}))
Проекция спина на направление импульса
0
b^+_1a_1-b_1a^+_1+b_2a^+_2-b^+_2a_2, индексы 1 и 2 отвечают частицам с проекциями спина \pm 1, а третий индекс — частицам с нулевой проекцией спина

Квантование полей[править | править вики-текст]

Квантование означает переход от полей (полевых функций) к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через полевые функции (с учетом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). Скобка Пуассона (см. гамильтонов формализм) заменяется на коммутатор соответствующих операторов. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

[\psi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{x'},t)]=[\pi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{x'},t)]=0, [\pi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{x'},t)]=-i\delta^{(3)}(\mathbf{x-x'})

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

[A,B]=AB-BA

Коммутационные соотношения Ферми-Дирака основаны на антикоммутаторе — сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

[A,B]_+=AB+BA

Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Из коммутационных соотношений для полевой функции (обобщенной координаты) и соответствующего обобщенного импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов

[a_{\mathbf{p}},a^+_{\mathbf{p'}}]=\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'}), [a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{p'}}]=[a^+_{\mathbf{p}},a^+_{\mathbf{p'}}]=0

Поле как набор гармонических осцилляторов[править | править вики-текст]

Поле можно представить в виде бесконечного множества полевых гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна-Гордона. Трехмерный (по трем пространственным координатам) Фурье-образ полевой функции удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна-Гордона)

\partial^2_t\phi(\mathbf{p},t)+(\mathbf{p}^2+m^2)\phi(\mathbf{p},t)=0

что является дифференциальным уравнением для гармонического осциллятора с частотой \omega=\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2} каждой фиксированной моды \mathbf{p} Фурье-разложения. Для каждого такого квантового гармонического осциллятора, как известно из квантовой механики, стационарные состояния \phi_n можно связать между собой повышающим и понижающим операторами следующим образом

{\hat{a}}^+{\phi}_n={\sqrt{n+1}}{\phi}_{n+1}, {\hat{a}}{\phi}_n={\sqrt{n}}{\phi}_{n-1}

а гамильтониан равен H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}, где \hat{n}={a}^+a. Соответственно энергия осциллятора квантуется E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2), где n- квантовое число-собственные значения оператора \hat{n}={a}^+a.

Таким образом, применение повышающего или понижающего оператора изменяет квантовое число n на единицу и приводит к одинаковому изменению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией {\hbar} {\omega}. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения. Любое состояние с индексом n может быть представлено как действие n операторов рождения на «нулевое» состояние:

{\phi}_n=\frac{(\hat{a}^+)^n}{\sqrt{n!}}\phi_0

В случае N осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов отдельных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения \hat{a}^+_k, k=1,...,N. Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения n_k — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

\phi(n_1,...,n_N)=\prod_{(k)}{\frac{(\hat{a_k}^+)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}}\phi_0

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания вектора состояния как функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Фоковское пространство. Вакуум. Фоковское представление[править | править вики-текст]

В квантовой теории поля гамильтониан, первоначально выраженный как функция \psi и \pi в конечном итоге также выражается через соответствующие операторы рождения и уничтожения квантов полей. Главный принцип сохраняется — любые операторы (в том числе и гамильтониан) выражаются через эти операторы рождения и уничтожения также как соответствующие функции до квантования. Единственное различие — порядок записи операторов имеет значение, так как операторы, в отличие от обычных функций, в общем случае некоммутативны.

Все операторы рождения и уничтожения и их комбинации, операторы самих полей и их производных — все они действую в бесконечномерном пространстве Фока. В пространстве Фока в первую очередь определяется вакуум (вакуумное состояние) \Phi_0 или |0>, по аналогии с нулевым состоянием квантового осциллятора. Вакуум определяется как


a(\mathbf{p})|0>=<0|a^+(\mathbf{p})=0, <0|0>=1

Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида:

|f>=\int d^3\mathbf{p_1}d^3\mathbf{p_2}...d^3\mathbf{p_k}f(\mathbf{p_1},\mathbf{p_2},...,\mathbf{p_k})a^+(\mathbf{p_1})a^+(\mathbf{p_2})...a^+(\mathbf{p_k})|0>,

Это и есть фоковское представление для k-частичного состояния. Функции f являются обычными квантово-механическими волновыми функциями. Обычно они предполагаются квадратично-интегрируемыми, чтобы нормы векторов состояний были конечными величинами. однако, состояния с бесконечной нормой тоже имеют смысл. Например состояние a^+(\mathbf{p})|0> имеет бесконечную норму (\delta(0)), однако это состояние соответствует одночастичному состоянию с определенным импульсом и если рассматривать пространственную плотность таких частиц, то она оказывается конечной

Нормальное и хронологическое произведение. Теорема Вика[править | править вики-текст]

Из определения вакуума следует, что вакуумное среднее произведения любого количества операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения, равно нулю. Соответствующий порядок написания операторов рождения и уничтожения называется нормальной формой или нормальным упорядочением. Чтобы подчеркнуть, что операторы нормально упорядочены соответствующие произведения заключаются в скобки из двоеточий, например, :\phi(x)\phi(y): или можно указать под знаком некоторого условного оператора \mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}

Нормальная форма, очевидно, связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например,

\phi(x)\phi(y)= \phi^+(x)\phi^+(y)+\phi^+(x)\phi^-(y)+\phi^-(x)\phi^+(y)+\phi^-(x)\phi^-(y)

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

\phi(x)\phi(y)=(\phi^+(x)\phi^+(y)+\phi^+(x)\phi^-(y)+\phi^+(y)\phi^-(x)+\phi^-(x)\phi^-(y))+(\phi^-(x)\phi^+(y)-\phi^+(y)\phi^-(x))=\mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}+[\phi^-(x),\phi^+(y)]

Тем самым, вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определятся только последним коммутатором.

Хронологическое произведение определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение:

Tf_1(x_1)f_2(x_2)...f_n(x_n)=(-1)^{\sigma}f_{i_1}(x_{i_1})f_{i_2}(x_{i_2})...f_{i_n}(x_{i_n}), где x^0_{i_1}>x^0_{i_1}>...>x^0_{i_n}

где {\sigma} — число перестановок фермионных полей между собой в ходе T-упорядочения (перестановка бозонных полей не влияет на знак).

Рассмотрим простейший случай произведения пары полевых функций в разных пространственно-временных точках \phi(x)\phi(y). Как было указано выше данное произведение операторов можно выразить через нормальную форму плюс коммутатор. Под знаком хронологического упорядочения здесь нужно сделать модификацию — вместо коммутатора нужно использовать так называемую свертку \overline{\phi(x)\phi(y)}, равную коммутатору [\phi^-(x),\phi^+(y)], если x^0>y^0 и коммутатору [\phi^-(y),\phi^+(x)] если y^0>x^0. Таким образом, хронологическое произведение двух полевых функций равно их произведению в нормальной форме плюс свертка:

\mathcal{T}\{\phi(x)\phi(y)\}=\mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}+\overline{\phi(x)\phi(y)}

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

\mathcal{T}\{f_1f_2...f_n)\}=\sum (-1)^{\sigma}\overline{ f_{i_1} f_{i_2} }...\overline{f_{i_{k-1}} f_{i_k}} \mathcal{N}\{ f_{i_{k+1}}...f_{i_n} \}.

где сумма берется по всем возможным попарным сверткам функций (k — четные числа от 0 до n).

Основные коммутационные соотношения[править | править вики-текст]

Определим явное выражение для вакуумного среднего от произведения полевых операторов скалярного поля Клейна-Гордона с учетом сказанного выше

<0|\phi(x)\phi(y)|0>=<0|[\phi^-(x)\phi^+(y)]|0>=[\phi^-(x)\phi^+(y)]=\frac {1}{(2\pi)^3}\int\int \frac{d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0p'_0}}e^{-ip(x-y)}[a(\mathbf{p})a^+(\mathbf{p})]=\frac {1}{(2\pi)^3}\int\int \frac{d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0p'_0}}e^{-ip(x-y)}\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'})=\frac {1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}e^{-ip(x-y)}

Обозначим эту функцию как D^-(x-y). Это амплитуда распространения частицы из точки y в точку x. Можно показать, что эта функция лоренц-инвариантна. Очевидно коммутатор полевых функций выражается через эту функцию следующим образом:

[\phi(x )\phi(y)]=D^-(x-y)-D^-(y-x)=D(x-y)=\frac {1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf{p}}{2p_0}(e^{-ip(x-y)}-e^{-ip(y-x)})

Для любого пространственноподобного интервала (x-y)^2<0 можно выбрать систему отчета так, чтобы x-y сменил знак, а в силу лоренц-инвариантности это значает, что соответствующий коммутатор равен нулю. Это означает, что в точках, разделенных пространственноподобным интервалом возможны измерения и они не влияют друг на друга. То есть никакое измерение не может повлиять на другое измерение вне светового конуса. Это означает соблюдение принципа причинности в квантовой теории поля. Для комплексных полей принцип причинности требует наличия пары частица-античастица с одинаковыми массами и противоположными «зарядами».

Коммутаторы полевых операторов с операторами рождения и уничтожения вывести легче. Приведем без вывода эти коммутационные соотношения.

Для скалярного поля [a^{\pm}(\mathbf{p}),\phi(x)]=\pm \frac {e^{\pm ipx}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2p_0}}

Для спинорного поля [a_r(\mathbf{p}),\bar{\psi}(x)]= \frac {e^{ipx}\bar{u}_r(\mathbf{p})}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2p_0}}

Для электромагнитного поля [a_{\lambda}(\mathbf{p}),A_{\mu}(x)]= -\frac {e^{ipx}e^{\lambda}_{\mu}(\mathbf{p})}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2p_0}}

Пропагаторы[править | править вики-текст]

Рассмотрим вакуумное среднее от хронологического произведения двух полевых операторов скалярного поля:

D^c(x-y)=i<0|T\phi(x)\phi(y)|0>=i(\theta(x_0-y_0)D^-(x-y)+\theta(y_0-x_0)D^-(y-x))=\frac {i}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}(\theta(x_0-y_0)e^{-ip(x-y)}+\theta(y_0-x_0)e^{-ip(y-x)})

Очевидно, функция D^c(x) является четной. Непосредственно можно убедиться, что данная функция является функцией Грина для оператора Клейна-Гордона, то есть

(\partial^2+m^2)D^c(x)=\delta(x)

Следовательно 4-мерный фурье-образ этой функции должен быть пропорционален (m^2-p^2)^{-1}. Однако, в силу неопределенности в точках на массовой поверхности m^2-p^2=0 импульсное представление данной функции записывают следующим образом:

D^c(x)=\frac {1}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ipx}}{m^2-p^2-i\epsilon}

где \epsilon — бесконечно малая величина, которая задает обходы полюсов p_0=\pm \sqrt{\mathbf{p}^2+m^2} при интегрировании по p_0.

Пропагаторы базовых полей (ненулевыми являются только свертки одинаковых полей противоположных зарядов)

Поле
Величина
Формула
Вещественное или комплексное скалярное поле
<0|T\phi(x)\phi^*(y)|0>
-iD^c(x-y)=\frac {i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon}
Спинорное поле
<0|T\psi(x)\bar{\psi}(y)|0>
(\hat{\partial}_x-im)D^c(x-y)=\frac {i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}(\hat{p}+m)}{p^2-m^2+i\epsilon}
Массивное векторное поле
<0|TU_{\mu}(x)U_{\nu}^*(y)|0>
\frac {-i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}(g_{\mu\nu}-p_{\mu}p_{\nu}/m^2)}{p^2-m^2+i\epsilon}
Вещественное безмассовое векторное (электромагнитное) поле
<0|TA_{\mu}(x)A_{\nu}(y)|0>
\frac {-i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}g_{\mu\nu}}{p^2+i\epsilon}

S-матрица[править | править вики-текст]

Пусть задано начальное состояние полей |in> в «далеком» прошлом и конечное состояние в «далеком» будущем |out>. Предполагается, что в «далеком» прошлом и будущем взаимодействие отсутствует, а «включается» оно в некоторой конечной пространственно-временной области. Оператор S, переводящий начальное состояние в конечное называется оператором рассеяния:

|out>=S|in>

Соответственно, амплитуда \mathcal{M} перехода из начального состояния в конечное состояние равна:

\mathcal{M}=<out|S|in>

Оператор рассеяния можно выразить через матричные элементы в некотором базисе. Соответствующая бесконечномерная матрица называется матрицей рассеяния или S-матрицей. Квадраты модулей матричных элементов определяют вероятности переходов между базисными векторами начального и конечного состояний.

Исходя из общих требований релятивистской ковариантности, причинности, унитарности, а также принципа соответствия можно показать, что S-матрица (оператор) выражается через лагранжиан взаимодействия следующим образом (эту формулу иногда также получают с помощью теории возмущений):

S=Te^{i\int d^4x \mathcal{L}_I (\phi(x))}=\sum_n \frac {i^n}{n!}T(\int d^4x\mathcal{L}_I(x))^n=\sum_n \frac {i^n}{n!}\int T\prod^n_{j=1}d^4x_j\mathcal{L}_I(x_j)

Te — хронологическая экспонента, T-экспонента, понимаемая как разложение в указанный выше бесконечный ряд по T-произведениям (хронологическим произведениям) T\prod^n_{j=1}.

Пусть начальное состояние имеет вид |in>=a^+(\mathbf{p_1})...a^+(\mathbf{p_s})|0>, а конечное состояние |out>=a^+(\mathbf{p'_1})...a^+(\mathbf{p'_r})|0>. Тогда вклад n-го порядка теории возмущений будет равен вакуумному среднему следующего вида (константа связи g выведена из лагранжиана взаимодействия):

\frac {i^ng^n}{n!}<0|a(\mathbf{p'_1})...a(\mathbf{p'_r})\int T\prod^n_{j=1}d^4x_j\mathcal{L}_I(x_j)a^+(\mathbf{p_1})...a^+(\mathbf{p_s})|0>

С учетом теоремы Вика такого рода вакуумные средение будут разложены на слагаемые, в которых за знак вакуумного среденего будут выведены все свертки в этих слагаемых, а оставшиеся полевые операторы в нормальной форме будут участвовать только в (анти)коммутаторах с операторами начального и конечного состояния, порождая стандартные вклады от таких коммутаторов. Ненулевой вклад могут дать только те слагаемые, в которых количество и тип полей под знаком нормального произведения будет соответствовать типу и общему числу частиц в начальном и конечном состояниях. Эти ненулевые вклады также выводятся за знак вакуумного среднего (ибо они не являются операторами тоже) и в этих слагаемых остаются множители с вакуумными обкладками без операторов <0|0>, что равно единице по определению. В конечных выражениях, таким образом не остается операторов и вакуумных обкладок, остаются свертки и выражения для коммутаторов полевых операторов с операторами начальных и конечных состояний. Свертки заменяются их импульсными представлениями — пропагаторами, а интегрирование по пространственно-временным координатам устраняет все экспоненты, заменяя их на дельта-функции от сумм 4-импульсов. Интегралы по импульсам также уничтожают большую чать этих дельта-функций. Какие именно конечные выражения получаются можно формализовать с помощью правил и соответствующих диаграмм Фейнмана.

Пример[править | править вики-текст]

Правила и диаграммы Фейнмана[править | править вики-текст]

Функциональный интеграл[править | править вики-текст]

Спонтанное нарушение симметрии. Хиггсовский механизм[править | править вики-текст]

Расходимости. Регуляризация, перенормировка, ренормгруппа[править | править вики-текст]

Аксиоматическая квантовая теория поля[править | править вики-текст]

Подход Боголюбова

Подход Уайтмана

Подход Хаага-Рюэля

Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени[править | править вики-текст]

Квантовая теория поля может быть обобщена на случай слабоискривлённого пространства-времени[2]. Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с планковскими масштабами.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В дальнейшем используется принятая в квантовой теории поля тензорная (общековариантная) запись всех уравнений с использованием правила Эйнштейна. Используется сигнатура пространства-времени (1,-1,-1,-1), соответственно интервал определяется как s^2=t^2-x^2_1-x^2_2-x^2_3=x_{\mu}x^{\mu}=g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}, где в последних двух записях предполагается суммирование по повторяющимся индексам \mu, то есть по четырём координатам (в плоском пространстве Минковского — просто с учетом различных знаков у координат и времени). Оператор производной (обычной) по координатам обозначается либо \partial_{\mu} либо \partial/\partial x^{\mu}. Оператор Даламбера в такой записи будет иметь вид: -\partial_{\mu}\partial^{\mu}=-g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\partial_{\nu}. Производную по времени обозначают либо точкой в верху функции или как {\partial}_0
  2. Stefan Hollands, Robert M. Wald Quantum fields in curved spacetime (англ.) // Physics Reports. — 2015. — DOI:10.1016/j.physrep.2015.02.001.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Видео лекции по КТП[править | править вики-текст]