Квантовая теория поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов[стиль!].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

История зарождения[править | править исходный текст]

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. В 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Как известно, в классической механике (включая нерелятивистскую квантовую механику) энергия (кинетическая, поскольку потенциальная предполагается нулевой) и импульс свободной частицы связаны соотношением E=p^2/2m. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид E^2=p^2c^2+m^2c^4. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, получим уравнение Клейна — Гордона:

{\hbar^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}={\hbar^2}{c^2} \mathbf{\nabla}^2\psi-{m^2c^4}\psi или \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{\partial^2\psi}{\partial {(ct)^2}}= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы \hbar=c=1:

 (\square\ - m^2) \psi = 0, где \square\  — оператор Д’Аламбера.

Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иное обоснование имеет уравнение Дирака, предложенное им в 1928 году. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса.

H_D=mc^2 \alpha_0 +  c \boldsymbol{\alpha}\cdot \mathbf{\hat{p}}

и с учетом формулы связи энергии и импульса, на квадрат этого оператора налагаются ограничения, а значит и на "коэффициенты"\alpha — их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а "волновая функция" — четырехкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В таком случае уравнение Дирака формально имеет вид, идентичный уравнению Шредингера (с гамильтонианом Дирака).

Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака следует рассматривать как уравнения для полевых операторных функций, действующих на вектор состояния системы квантовых полей, удовлетворяющих уравнению Шрёдингера.

Сущность квантовой теории поля[править | править исходный текст]

Лагранжев формализм в теории поля[править | править исходный текст]

Поле описывается полевой функцией \psi(x) и характеризуется так называемой лагранжевой плотностью \mathcal{L} (плотность лагранжиана) в данной точке пространства. Обычно предполагается, что лагранжева плотность зависит только от полевой функции и ее производной по времени: \mathcal{L}=\mathcal{L}(\psi,\dot{\psi}). Лагранжева плотность не должна содержать производных полевой функции выше первой степени, чтобы уравнения движения получались "правильными" (соответствовали классической механике). Собственно лагранжиан системы (поля) будет равен интегралу от лагранжевой плотности по трехмерному пространству: L=\int \mathcal{L}(\psi,\dot{\psi})d^3x. Действие, как и в классической лагранжевой механике равно интегралу от лагранжиана по времени. Следовательно, действие в теории поля можно рассматривать как интеграл от лагранжевой плотности по четырехмерному пространству-времени: S=\int \mathcal{L}(\psi,\dot{\psi})d^4x. Поэтому иногда лагранжеву плотность и называют собственно лагранжианом. Для релятивистских полей минимальное требование к лагранжиану (лагранжевой плотности) — релятивистская инвариантность. Есть также и иные требования (локальность, унитарность и др.).

Принцип наименьшего действия применяется к этому четырехмерному интегралу, что позволяет получить полевые уравнения — уравнения Эйлера-Лагранжа[1]:

\frac {\partial} {\partial x^{\nu}} \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu}\psi^l)}\right )=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^l}

Пример: скалярное поле c лагранжианом \mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial_\mu}{\psi}{\partial^\mu}{\psi}-\frac{m^2}{2}{\psi^2}. Уравнения движения для данного поля приводят к уравнению Клейна-Гордона: \partial_{\mu}\partial^{\mu}\psi=m^2\psi.

Теорема Нётер[править | править исходный текст]

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно k-параметрических преобразований приводит к k динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. В частности, инвариантность действия относительно трансляций (пространственно-временных сдвигов) приводит к сохранению тензора энергии-импульса, в том числе 4-импульса p^{\mu}.

Гамильтониан поля[править | править исходный текст]

На основании лагранжевой плотности с помощью преобразования Лежандра можно определить гамильтониан поля:

H=\sum_l \int \Pi_l \dot{\psi}^l d^3x - \mathcal{L}

где \Pi_l - вариационная производная лагранжиана по \dot{\psi}^l.

Поле и гармонические осцилляторы[править | править исходный текст]

Можно показать, что, например, скалярное поле Клейна-Гордона может быть представлено как совокупность осцилляторов. Разлагая полевую функцию в бесконечный ряд Фурье по трехмерному вектору импульса можно показать, что из уравнения Клейна-Гордона следует, что амплитуды разложения удовлетворяют классическому дифференциальному уравнению второго порядка для осциллятора с параметром (частотой) \omega_k =\sqrt {\overrightarrow k^2+m^2}. Рассмотрим ограниченный куб V=L^3 и наложим условие периодичности по каждой координате с периодом L.Условие периодичности приводит к квантованию допустимых импульсов и энергии осциллятора:

\overrightarrow k (n)= \frac {2 \pi}{L}(n_1, n_2, n_3)~~~,~~~\omega_n^2=m^2+\frac {4\pi^2} {L^2} n^2

Квантование поля. Операторы рождения и уничтожения квантов[править | править исходный текст]

Квантование означает переход от полей к операторам, действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, что и для классических полей (с учетом порядка перемножения)

Для квантового гармонического осциллятора получена известная формула квантования энергии E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2). Собственные функции, соответствующие указанным собственным значениям гамильтониана, оказываются связанными друг с другом некоторыми операторами {\hat{a}}^+{\psi}_n={\sqrt{n+1}}{\psi}_{n+1} — повышающий оператор, {\hat{a}}{\psi}_n={\sqrt{n}}{\psi}_{n-1} — понижающий оператор. Следует отметить, что эти операторы некоммутативны (их коммутатор равен единице). Применение повышающего или понижающего оператора увеличивает квантовое число n на единицу и приводит к одинаковому увеличению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией {\hbar} {\omega}. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения квантов данного поля. Гамильтониан гармонического осциллятора выражается через указанные операторы следующим образом H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}, где {\hat{n}}={\hat{a}}^+{\hat{a}}оператор числа квантов поля. Как нетрудно показать {\hat{n}}{\psi}_n=n{\psi}_n — то есть, собственные значения этого оператора — число квантов. Любое n-частичное состояние поля может быть получено действием операторов рождения на вакуум

{\psi}_n=\frac{(\hat{a}^+)^n}{\sqrt{n!}}\psi_0

Для вакуумного состояния результат применения оператора уничтожения равен нулю (это можно принять за формальное определение вакуумного состояния).

В случае N осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов индивидуальных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения \hat{a}^+_k, k=1,...,N. Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения n_k — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

\psi(n_1,...,n_N)=\prod_{(k)}{\frac{(\hat{a_k}^+)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}}\psi_0

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания функции \psi функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Квантование по Бозе-Эйнштейну и Ферми-Дираку. Связь со спином[править | править исходный текст]

Коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна основаны на обычном коммутаторе (разность "прямого" и "обратного" произведения операторов), а коммутационные соотношения Ферми-Дирака — на антикоммутаторе (сумма "прямого" и "обратного" произведения операторов). Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.


S-матричный формализм и диаграммы Фейнмана[править | править исходный текст]

Аксиоматическая квантовая теория поля[править | править исходный текст]

Функциональный интеграл[править | править исходный текст]

Расходимости и теория перенормировок[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. В дальнейшем используется принятая в квантовой теории поля тензорная (общековариантная) запись всех уравнений с использованием правила Эйнштейна. Оператор производной (обычной) по координатам обозначается либо \partial_{\mu} либо \partial/\partial x^{\mu}. Оператор Даламбера в такой записи будет иметь вид: \partial_{\mu}\partial^{\mu}=g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\partial_{\nu}, где предполагается суммирование по повторяющимся индексам \mu, то есть по четырем координатам (в плоском пространстве Минковского - просто с учетом различных знаков у координат и времени)

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]