Квантовая теория поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 ⛭  Квантовая механика

Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов[стиль].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

Содержание

История зарождения[править | править вики-текст]

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. Нерелятивистское уравнение Шредингера соответствует классической связи кинетической энергии и импульса частицы . Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид . Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, в 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Однако, проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году Дираком. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса. С учетом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определенному ограничению, а именно их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а «волновая функция» — четырёхкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В результате было получено уравнение Дирака, в котором участвуют т. н. 4-матрицы Дирака и четырёхкомпонентная «волновая функция». Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шредингера с гамильтонианом Дирака. Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Таким образом, переход к релятивистски инвариантным уравнениям приводит к нестандартным волновым функциям и многочастичным интерпретациям. Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Релятивистские уравнения Клейна-Гордона и Дирака рассматриваются в квантовой теории поля как уравнения для операторных полевых функций. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» гильбертово пространство состояний системы квантовых полей, на которые действуют указанные полевые операторы. Поэтому иногда процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием».

Классический формализм теории поля[править | править вики-текст]

Лагранжев формализм[править | править вики-текст]

В лагранжевой механике функция Лагранжа является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы. В случае непрерывной системы, каковым является поле, сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа — лагранжевой плотности

.

где жирным выделены пространственные компоненты 4-вектора координат, а нулевая компонента — время.

Действие по определению есть интеграл по времени от лагранжиана

то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному пространству-времени. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность.

Поле описывается полевой функцией , которое может быть вещественной или комплексной скалярной (псевдоскалярной), векторной, спинорной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных — от полевой функции и её производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат (явная зависимость от координат нарушает релятивистскую инвариантность). Локальность теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, интегральных зависимостей. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике) предполагается, что лагранжиан зависит только от полевой функции и её первых производных

.

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера-Лагранжа,[1]:

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единственное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-дивергенцией некоторого 4-вектора физически эквивалентны.

Лагранжиан системы полей[править | править вики-текст]

Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей.

Взаимодействие полей учитывается в лагранжиане добавлением дополнительных нелинейных слагаемых. Таким образом, полный лагранжиан системы взаимодействующих полей является суммой свободных лагранжианов и лагранжиана взаимодействия :

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженные на некоторую числовую константу — так называему константу связи. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой полевой функции, произведению различных полевых функций (общая степень должна быть не ниже третьей).

Гамильтонов формализм[править | править вики-текст]

От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Полевая функция здесь выступает в качестве обобщенной (канонической) координаты. Соответственно необходимо определить также и обобщенный (канонический) импульс, сопряженный этой координате согласно стандартной формуле:

Тогда гамильтониан поля (плотность гамильтониана) равен по определению

Уравнения движения в гамильтоновом подходе имеют вид:

Динамика любых величин в рамках гамильтонова формализма подчиняются следующему уравнению:

где фигурными скобками обозначена скобка Пуассона. При этом для самих функций и выполнено следующее:

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда полевые функции заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов.

Симметрии в квантовой теории поля[править | править вики-текст]

Определение и виды симметрий[править | править вики-текст]

Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) полевых функций, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют группу. Симметрии называются глобальными, если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат. В противном случае говорят о локальных симметриях. Симметрии могут быть дискретными или непрерывными. В последнем случае группа преобразований является непрерывной (топологической), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — группы Ли, в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые (голоморфные или аналитические) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором представлении — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров.

Дискретные симметрии. CPT-теорема[править | править вики-текст]

Наиболее важное значение имеют следующие виды преобразования:

 — Зарядовое сопряжение — замена полевых функций на сопряженные.

 — Четность — изменение знаков пространственных компонент на противоположный.

 — Обращение времени — изменение знака временной компоненты.

Доказано, что в локальной квантовой теории поля имеет место -симметрия, то есть инвариантность относительно одновременного применения этих трех преобразований.

Непрерывные симметрии. Теорема Нётер[править | править вики-текст]

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно -параметрической группы преобразований приводит к динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций , а полевой функции — с помощью функции , где  — совокупность параметров. Обозначим значение производной функции по -му параметру при нулевом значении параметров, а через  — значения производных функций по -му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований.

Тогда нётеровские токи, определенные как обладают свойством . Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы по нулевой компоненте токов

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям является релятивистская инвариантность — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы  — группы умножений на . Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряженных функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель не приводит к каким-либо изменениям.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Симметрия
Нётеровские токи
Нётеровские заряды и законы сохранения
Пространственно-временные трансляции
Тензор энергии-импульса: . В частности  — гамильтониан (плотность) поля.
Закон сохранения 4-импульса: , в частности энергии (гамильтониана)
Лоренцевы вращения
Тензор (полного) момента , где  — тензор орбитального момента,  — тензор спинового момента (спина), где  — параметры преобразования полевых функций при лоренцевых вращениях. Для скалярных полей
Закон сохранения полного момента  — пространственного интеграла от
Глобальная калибровочная симметрия  — умножение комплексной полевой функции на
4-вектор заряженного тока: . Для вещественных полей равны нулю.
Закон сохранения заряда (электрический заряд, барионный заряд, странность, очарование и т. д.): . Для вещественных полей равен нулю.

Основные характеристики базовых полей[править | править вики-текст]

Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

Характеристика
Скалярное поле
Векторное поле
Спинорное поле
Полевая функция
 — в общем случае комплексная функция.  — комплексно-сопряженная функция. Если (то есть ), то имеем вещественное скалярное поле (переобозначив её просто как )
 — векторная функция (4-вектор), в общем случае с комплексными компонентами (заряженное векторное поле). Вещественное (нейтральное) векторное поле получается из условия равенства (комплексное поле приравнивается тогда к вещественному, деленному на )
-четырехкомпонентная функция (биспинор)-столбец,  — дираковски сопряженная четырёхкомпонентная функция-строка,  — матрицы Дирака
Характер описываемых частиц
Частица со спином 0. Для вещественного поля — нейтральная, для комплексного — заряженная.
Частицы со спином 1 (проекции ), заряженные или нейтральные
Заряженные частицы со спином 1/2 ()
Лагранжиан
, где  — лагранжиан для вещественного поля
, где
Для вещественного поля
Уравнения движения Эйлера-Лагранжа
(уравнение Клейна-Гордона — верно и для сопряженной функции)
(Уравнение Прока)
Дифференцирование по приводит (если ) к .
С этим условием (Лоренца)
 — уравнение Дирака
Тензор энергии-импульса , гамильтониан , 4-импульс
, , где , для вещественного поля —
,
4-вектор тока и зяряд
, для вещественного поля равны нулю
,
Спин-тензор
0
, где

Локальные симметрии и калибровочные поля[править | править вики-текст]

Локальные преобразования можно определить как умножение полевой функции на некоторую функцию, зависящую от 4-координат. Например, локальные преобразования группы  — фазовое преобразование, зависящее от конкретной пространственно-временной точки, то есть умножение на . Как отмечалось выше все комплексные поля симметричны относительно аналогичных глобальных преобразований. Однако, они часто неинвариантны относительно локальных преобразований. В частности, описанные выше скалярные и спинорные поля неинвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Причина этого — неинвариантность относительно такого преобразования обычной производной. Если ввести дополнительное поле и заменить производную в лагранжиане на т. н. калибровочно-ковариантную производную

то полученный лагранжиан будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований. Однако, полученный таким образом лагранжиан будет по сути содержать взаимодействие двух полей — исходного и калибровочного . По общему правилу в таком случае необходимо ввести в общий лагранжиан также слагаемое, отвечающее за лагранжиан свободного калибровочного поля. Этот лагранжиан тоже должен быть калибровочно инвариантен и выбирается как лагранжиан свободного безмассового векторного поля . В итоге, например, для спинорного поля получаем лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД):

То есть данный лагранжиан включает лагранжиан свободного спинорного поля Дирака, калибровочного (электромагнитного) поля и лагранжиан взаимодействия этих полей. Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан скалярной КЭД.

Таким образом, требование локальной калибровочной инвариантности лагранжиана относительно фазового преобразования (группа ) приводит к появлению калибровочного поля, в данном случае — электромагнитного поля, с которым взаимодействует «основное» поле.

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии. В общем случае это приводит к появлению так называемых калибровочных полей Янга-Миллса. Ковариантная производная в этом случае имеет вид:

,

где  — генераторы преобразований соответствующей группы (в случае с U(1) был один генератор, равный единице).

С помощью такой ковариантной производной построен, например, лагранжиан квантовой хромодинамики (КХД), соответствующий группе :

, где ,

где  — структурные константы группы, участвующие в коммутаторе генераторов (матриц Гелл-Манна):

Импульсное представление[править | править вики-текст]

Для решения уравнений движения можно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью преобразования Фурье:

,

с учетом свойств Фурье-образа , в частности Фурье-образ производных равен .

Нахождение решения уравнений движения можно показать на примере уравнения Клейна-Гордона.

Используя импульсное представление полевых функций можно получить и остальные характеристики поля в импульсном представлении. Покажем это на примере 4-импульса для того же вещественного скалярного поля Клейна-Гордона.



Характеристика
Скалярное поле
Векторное поле
Спинорное поле
Импульсное представление полевой функции:
в выражении .
отвечает за частицу,  — за античастицу.
, для вещественного поля .
Плотность частиц с импульсом . Общее число частиц . 4-импульс поля
Заряд
, для вещественного поля равен нулю
Проекция спина на направление импульса
0
, индексы 1 и 2 отвечают частицам с проекциями спина , а третий индекс — частицам с нулевой проекцией спина

Квантование полей[править | править вики-текст]

Квантование означает переход от полей (полевых функций) к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через полевые функции (с учетом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). Скобка Пуассона (см. гамильтонов формализм) заменяется на коммутатор соответствующих операторов. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

,

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

Коммутационные соотношения Ферми-Дирака основаны на антикоммутаторе — сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Из коммутационных соотношений для полевой функции (обобщенной координаты) и соответствующего обобщенного импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов

Поле как набор гармонических осцилляторов[править | править вики-текст]

Поле можно представить в виде бесконечного множества полевых гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна-Гордона. Трехмерный (по трем пространственным координатам) Фурье-образ полевой функции удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна-Гордона)

что является дифференциальным уравнением для гармонического осциллятора с частотой каждой фиксированной моды Фурье-разложения. Для каждого такого квантового гармонического осциллятора, как известно из квантовой механики, стационарные состояния можно связать между собой повышающим и понижающим операторами следующим образом

,

а гамильтониан равен , где . Соответственно энергия осциллятора квантуется , где - квантовое число-собственные значения оператора .

Таким образом, применение повышающего или понижающего оператора изменяет квантовое число на единицу и приводит к одинаковому изменению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией . Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения. Любое состояние с индексом может быть представлено как действие операторов рождения на «нулевое» состояние:

В случае осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов отдельных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения . Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения  — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания вектора состояния как функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Фоковское пространство. Вакуум. Фоковское представление[править | править вики-текст]

В квантовой теории поля гамильтониан, первоначально выраженный как функция и в конечном итоге также выражается через соответствующие операторы рождения и уничтожения квантов полей. Главный принцип сохраняется — любые операторы (в том числе и гамильтониан) выражаются через эти операторы рождения и уничтожения также как соответствующие функции до квантования. Единственное различие — порядок записи операторов имеет значение, так как операторы, в отличие от обычных функций, в общем случае некоммутативны.

Все операторы рождения и уничтожения и их комбинации, операторы самих полей и их производных — все они действую в бесконечномерном пространстве Фока. В пространстве Фока в первую очередь определяется вакуум (вакуумное состояние) или , по аналогии с нулевым состоянием квантового осциллятора. Вакуум определяется как


Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида:

,

Это и есть фоковское представление для k-частичного состояния. Функции f являются обычными квантово-механическими волновыми функциями. Обычно они предполагаются квадратично-интегрируемыми, чтобы нормы векторов состояний были конечными величинами. Однако, состояния с бесконечной нормой тоже имеют смысл. Например, состояние имеет бесконечную норму , однако это состояние соответствует одночастичному состоянию с определенным импульсом и если рассматривать пространственную плотность таких частиц, то она оказывается конечной

Нормальное и хронологическое произведение. Теорема Вика[править | править вики-текст]

Из определения вакуума следует, что вакуумное среднее произведения любого количества операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения, равно нулю. Соответствующий порядок написания операторов рождения и уничтожения называется нормальной формой или нормальным упорядочением. Чтобы подчеркнуть, что операторы нормально упорядочены соответствующие произведения заключаются в скобки из двоеточий, например, или можно указать под знаком некоторого условного оператора

Нормальная форма, очевидно, связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например,

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

Тем самым, вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определятся только последним коммутатором.

Хронологическое произведение определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение:

, где

где  — число перестановок фермионных полей между собой в ходе T-упорядочения (перестановка бозонных полей не влияет на знак).

Рассмотрим простейший случай произведения пары полевых функций в разных пространственно-временных точках . Как было указано выше данное произведение операторов можно выразить через нормальную форму плюс коммутатор. Под знаком хронологического упорядочения здесь нужно сделать модификацию — вместо коммутатора нужно использовать так называемую свертку , равную коммутатору , если и коммутатору если . Таким образом, хронологическое произведение двух полевых функций равно их произведению в нормальной форме плюс свертка:

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

.

где сумма берется по всем возможным попарным сверткам функций ( — четные числа от 0 до ).

Основные коммутационные соотношения[править | править вики-текст]

Определим явное выражение для вакуумного среднего от произведения полевых операторов скалярного поля Клейна-Гордона с учетом сказанного выше


Обозначим эту функцию как . Это амплитуда распространения частицы из точки в точку . Можно показать, что эта функция лоренц-инвариантна. Очевидно коммутатор полевых функций выражается через эту функцию следующим образом:

Для любого пространственноподобного интервала можно выбрать систему отчета так, чтобы сменил знак, а в силу лоренц-инвариантности это значает, что соответствующий коммутатор равен нулю. Это означает, что в точках, разделенных пространственноподобным интервалом возможны измерения и они не влияют друг на друга. То есть никакое измерение не может повлиять на другое измерение вне светового конуса. Это означает соблюдение принципа причинности в квантовой теории поля. Для комплексных полей принцип причинности требует наличия пары частица-античастица с одинаковыми массами и противоположными «зарядами».

Коммутаторы полевых операторов с операторами рождения и уничтожения вывести легче. Приведем без вывода эти коммутационные соотношения.

Для скалярного поля

Для спинорного поля

Для электромагнитного поля

Пропагаторы[править | править вики-текст]

Рассмотрим вакуумное среднее от хронологического произведения двух полевых операторов скалярного поля:

Очевидно, функция является четной. Непосредственно можно убедиться, что данная функция является функцией Грина для оператора Клейна-Гордона, то есть

Следовательно 4-мерный фурье-образ этой функции должен быть пропорционален . Однако, в силу неопределенности в точках на массовой поверхности импульсное представление данной функции записывают следующим образом:

где  — бесконечно малая величина, которая задает обходы полюсов при интегрировании по .

Пропагаторы базовых полей (ненулевыми являются только свертки одинаковых полей противоположных зарядов)

Поле
Величина
Формула
Вещественное или комплексное скалярное поле
Спинорное поле
Массивное векторное поле
Вещественное безмассовое векторное (электромагнитное) поле

S-матрица[править | править вики-текст]

Пусть задано начальное состояние полей в «далеком» прошлом и конечное состояние в «далеком» будущем . Предполагается, что в «далеком» прошлом и будущем взаимодействие отсутствует, а «включается» оно в некоторой конечной пространственно-временной области. Оператор , переводящий начальное состояние в конечное называется оператором рассеяния:

Соответственно, амплитуда перехода из начального состояния в конечное состояние равна:

Оператор рассеяния можно выразить через матричные элементы в некотором базисе. Соответствующая бесконечномерная матрица называется матрицей рассеяния или -матрицей. Квадраты модулей матричных элементов определяют вероятности переходов между базисными векторами начального и конечного состояний.

Исходя из общих требований релятивистской ковариантности, причинности, унитарности, а также принципа соответствия можно показать, что -матрица (оператор) выражается через лагранжиан взаимодействия следующим образом (эту формулу иногда также получают с помощью теории возмущений):

 — хронологическая экспонента, -экспонента, понимаемая как разложение в указанный выше бесконечный ряд по -произведениям (хронологическим произведениям) .

Пусть начальное состояние имеет вид , а конечное состояние . Тогда вклад -го порядка теории возмущений будет равен вакуумному среднему следующего вида (константа связи выведена из лагранжиана взаимодействия):

С учетом теоремы Вика такого рода вакуумные средение будут разложены на слагаемые, в которых за знак вакуумного среденего будут выведены все свертки в этих слагаемых, а оставшиеся полевые операторы в нормальной форме будут участвовать только в (анти)коммутаторах с операторами начального и конечного состояния, порождая стандартные вклады от таких коммутаторов. Ненулевой вклад могут дать только те слагаемые, в которых количество и тип полей под знаком нормального произведения будет соответствовать типу и общему числу частиц в начальном и конечном состояниях. Эти ненулевые вклады также выводятся за знак вакуумного среднего (ибо они не являются операторами тоже) и в этих слагаемых остаются множители с вакуумными обкладками без операторов , что равно единице по определению. В конечных выражениях, таким образом не остается операторов и вакуумных обкладок, остаются свертки и выражения для коммутаторов полевых операторов с операторами начальных и конечных состояний. Свертки заменяются их импульсными представлениями — пропагаторами, а интегрирование по пространственно-временным координатам устраняет все экспоненты, заменяя их на дельта-функции от сумм 4-импульсов. Интегралы по импульсам также уничтожают большую чать этих дельта-функций. Какие именно конечные выражения получаются можно формализовать с помощью правил и соответствующих диаграмм Фейнмана.

Пример[править | править вики-текст]

Правила и диаграммы Фейнмана[править | править вики-текст]

Функциональный интеграл[править | править вики-текст]

Спонтанное нарушение симметрии. Хиггсовский механизм[править | править вики-текст]

Расходимости. Регуляризация, перенормировка, ренормгруппа[править | править вики-текст]

Аксиоматическая квантовая теория поля[править | править вики-текст]

Подход Боголюбова

Подход Уайтмана

Подход Хаага-Рюэля

Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени[править | править вики-текст]

Квантовая теория поля может быть обобщена на случай слабоискривлённого пространства-времени[2]. Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с планковскими масштабами.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В дальнейшем используется принятая в квантовой теории поля тензорная (общековариантная) запись всех уравнений с использованием правила Эйнштейна. Используется сигнатура пространства-времени (1,-1,-1,-1), соответственно интервал определяется как , где в последних двух записях предполагается суммирование по повторяющимся индексам , то есть по четырём координатам (в плоском пространстве Минковского — просто с учетом различных знаков у координат и времени). Оператор производной (обычной) по координатам обозначается либо либо . Оператор Даламбера в такой записи будет иметь вид: . Производную по времени обозначают либо точкой в верху функции или как
  2. Stefan Hollands, Robert M. Wald Quantum fields in curved spacetime (англ.) // Physics Reports. — 2015. — DOI:10.1016/j.physrep.2015.02.001.

Литература[править | править вики-текст]

Видео лекции по КТП[править | править вики-текст]