В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:
![{\displaystyle \mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC\leqslant \mathrm {rank} \,ABC+\mathrm {rank} \,B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31512879beb0258c078981f70910143dc4030d11)
В этом неравенстве размерности матриц
,
и
должны позволять существование матрицы
(т. е. эти матрицы имеют размерности
,
и
соответственно).
Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.
Если
и
, то
.
Запишем это неравенство для
:
![{\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd65f44758f0db8bc59dd60bea984398237aef6b)
Ясно также, что
[1].
Рассмотрим блочную матрицу
,
применим к матрице
цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.
![{\displaystyle M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC\\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82390e4cb7289f2f3e7c4ca7393e745179b7a4ae)
Тогда
- Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.