Принцип Фрагмена — Линделёфа

Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем случае для неограниченных областей такое предположение неверно. Однако при наложении на функцию некоторых дополнительных ограничений можно показать, что функция будет ограничена по модулю и в неограниченной области.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для неограниченного сектора

Пусть функция $f$ аналитична в секторе $S=\{z:-{\frac {\pi }{4}}<\arg z<{\frac {\pi }{4}}\}$ и непрерывна на его границе. Тогда, если на границе этого сектора справедливо неравенство $|f(z)|\leq 1$ и существуют постоянные $c,C\in \mathbb {R}$ такие, что во всем секторе выполняется неравенство $|f(z)|\leq Ce^{c|z|}$, тогда неравенство $|f(z)|\leq 1$ справедливо во всем секторе.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для вертикальной полуполосы

Пусть $\Omega =\{z:\mathop {\mathrm {Im} } \,z>y_{0},x_{1}<\mathop {\mathrm {Re} } \,z<x_{2}\}$ — бесконечная вертикальная полуполоса, далее, пускай существуют постоянные $M,A,B$ такие, что на границе полосы выполнено неравенство $|f(z)|\leq M$, а в самой полосе выполняется неравенство $|f(z)|\leq B{(\mathop {\mathrm {Im} } \,f(z))}^{A}$. Тогда $|f(z)|\leq M$ выполнено во всей полосе.