Приподнятый косинус (фильтр)

Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения (МСИ). Его название происходит из факта, что ненулевая часть частотного спектра его простейшей формы ($\beta =1$) представляет собой косинусоиду, приподнятую таким образом, чтобы она «сидела» на горизонтальной оси $f$.

Математическое описание

ФПК является реализацией ФНЧ Найквиста, то есть обладает свойством частичной симметрии. Это значит, что его спектр обладает нечётной симметрией относительно ${\frac {1}{2T}}$, где $T$ длительность символа в системе связи.

Для его описания в частотной области используется кусочная функция, заданная формулой:

$H(f)={\begin{cases}1.0,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

$0\leq \beta \leq 1$

и характеризуется двумя величинами; $\beta$ — коэффициент сглаживания, и $T$ — величина обратная символьной скорости.

Импульсный отклик фильтра описывается формулой:

$h(t)=\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-{\frac {4\beta ^{2}t^{2}}{T^{2}}}}}$, в выражении через нормализованные sinc функции.

АЧХ ФПК при различных коэффициентах сглаживания

Импульсный отклик ФПК при различных коэффициентах сглаживания

Коэффициент сглаживания

Коэффициент сглаживания $\beta$ — мера избыточности полосы пропускания фильтра, то есть полоса частот вне полосы Найквиста ${\frac {1}{2T}}$. Если обозначить избыточность полосы через $\Delta f$, то:

$\beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\Delta f$

где $R_{S}={\frac {1}{T}}$ — символьная скорость.

На графике показана АЧХ при изменении $\beta$ от 0 до 1, и соответствующее воздействие на импульсный отклик. Как видно, во временной области величина пульсаций увеличивается по мере уменьшения $\beta$. Это свидетельствует о том, что избыточность полосы фильтра может быть уменьшена, но только за счет удлинения импульсного отклика.

$\beta =0$

Как только $\beta$ достигает 0, зона сглаживания становится максимально узкой, следовательно:

$\lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\mathrm {rect} (fT)$

где $\mathrm {rect} (.)$ — прямоугольная функция, импульсный отклик преобразуется к $\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)$.

Следовательно, он стремится к идеальному или прямоугольному фильтру в этом случае.

$\beta =1$

Когда $\beta =1$, ненулевая часть спектра представляет собой чистую приподнятую косинусоиду, что ведет к упрощению:

$H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.$

Полоса пропускания

Ширина полосы пропускания ФПК обычно определяется как ширина ненулевой части спектра, то есть:

$BW=R_{S}(1+\beta )$

Применения

Когда используется для фильтрации символьного потока, фильтр Найквиста имеет свойство устранения МСИ, так как его импульсный отклик равен 0 во всех $nT$ (где $n$ — целое), кроме $n=0$.

Таким образом, если переданный сигнал корректно дискретизирован в приёмнике, исходные значения символов могут быть восстановлены полностью.

Однако, в большинстве практических систем связи, в приёмнике должен быть использован согласованный фильтр, это обусловлено воздействием белого шума. Это вводит следующие ограничения:

$H_{R}(f)=H_{T}^{*}(f)$

то есть:

$|H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}$

Для удовлетворения этого условия и сохраняя условие отсутствия МСИ, обычно применяется корень из ФПК на каждом из концов системы связи. В таком случае, общий отклик системы представляет собой приподнятый косинус.

Литература

• Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
• Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.

Ссылки

• Передача цифрового сигнала по узкополосным каналам. Межсимвольная интерференция и формирующие фильтры Найквиста