Пространство Браунера

В функциональном анализе и связанных областях математики пространством Браунера называется полное локально выпуклое k-пространство $X$ обладающее последовательностью компактных множеств $K_{n}$ таких что любое компактное множество $T\subseteq X$ содержится в некотором $K_{n}$.

Пространства Браунера названы в честь Калмана Браунера, первым начавшего их изучение. Все пространства Браунера стереотипны и находятся в отношении стереотипной двойственности с пространствами Фреше:

• для всякого пространства Фреше $X$ его стереотипно сопряженное пространство $X^{\star }$ является пространством Браунера,

• и наоборот, для любого пространства Браунера $X$ его стереотипно сопряженное пространство $X^{\star }$ является пространством Фреше.

Примеры

• Пусть $M$ — $\sigma$-компактное локально компактное топологическое пространство, а ${\mathcal {C}}(M)$ — пространство непрерывных функций на $M$ (со значениями в ${\mathbb {R} }$ или ${\mathbb {C} }$), наделенное обычной топологией равномерной сходимости на компактах в $M$. Сопряженное пространство ${\mathcal {C}}^{\star }(M)$ мер с компактным носителем на $M$ с топологией равномерной сходимости на компактах в пространстве ${\mathcal {C}}(M)$ является пространством Браунера.

• Пусть $M$ — гладкое многообразие и ${\mathcal {E}}(M)$ — пространство гладких функций на $M$ (со значениями в ${\mathbb {R} }$ или ${\mathbb {C} }$), наделенное обычной топологией равномерной сходимости по каждой производной на компактах в $M$. Сопряженное пространство ${\mathcal {E}}^{\star }(M)$ распределений с компактным носителем на $M$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в пространстве ${\mathcal {E}}(M)$ является пространством Браунера.

• Пусть $M$ — многообразие Штейна и ${\mathcal {O}}(M)$ — пространство голоморфных функций на $M$, наделенное обычной топологией равномерной сходимости на компактах в $M$. Сопряженное пространство ${\mathcal {O}}^{\star }(M)$ аналитических функционалов на $M$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в пространстве ${\mathcal {O}}(M)$ является пространством Браунера.

• Пусть $G$ — компактно порожденная группа Штейна. Пространство ${\mathcal {O}}_{\exp }(G)$ голоморфных функций экспоненциального типа на $G$, является пространством Браунера относительно естественной топологии.

Литература

• Schaefer, Helmuth H. Topological vector spaces. — New York: The MacMillan Company, 1966. — ISBN 0-387-98726-6.

• Robertson A.P., Robertson, W.J. Topological vector spaces. — Cambridge University Press, 1964. — Т. 53. — (Cambridge Tracts in Mathematics).

• Brauner, K. Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem (англ.) // Duke Math. Jour. : journal. — 1973. — Vol. 40, no. 4. — P. 845—855. — doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7.

• Akbarov, S.S. Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra (англ.) // Journal of Mathematical Sciences : journal. — 2003. — Vol. 113, no. 2. — P. 179—349. — doi:10.1023/A:1020929201133.

• Akbarov, S.S. Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity (англ.) // Journal of Mathematical Sciences : journal. — 2009. — Vol. 162, no. 4. — P. 459—586. — doi:10.1007/s10958-009-9646-1.