Просмотр отдельных изменений

'{{значения|Дробь}} {| cellpadding=6 align=right style="margin-left: 20px" | colspan=2 align=center|<math>8~/~13</math> | rowspan=2 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{8}{13}</math> |<small>числитель</small> |- |<small>числитель</small> |<small>знаменатель</small> |<small>знаменатель</small> |- | colspan=4 align=center bgcolor=#FFFF99 |Две записи одной дроби |} '''Дробь''' в [[математика|математике]] — [[число]], состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы<ref>{{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. Дроби являются частью [[Поле (алгебра)|поля]] [[Рациональное число|рациональных чисел]]. По способу записи дроби делятся на два формата: ''[[Обыкновенная дробь|обыкновенные]]'' вида <math>\pm \frac{m}{n}</math> и ''[[Десятичная дробь|десятичные]]''. == Виды дробей == === Обыкновенные дроби === [[Файл:Cake quarters.svg|thumb|<center>Наглядное представление дроби <math>3 \over 4</math></center>]] ''Обыкновенная'' (или ''простая'') дробь — запись [[Рациональное число|рационального числа]] в виде <math>\pm \frac{m}{n}</math> или <math>\pm m/n,</math> где <math>n \ne 0.</math> Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. [[Делимое]] называется ''числителем'' дроби, а [[делитель]] — ''знаменателем''. ==== Обозначения обыкновенных дробей ==== Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде: * ½ * 1/2 или <math>{}^1/{}_2</math> ([[наклонная черта]] называется «солидус»<ref>[http://www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460 Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>) * выключная формула: <math>\frac{1}{2}</math> (горизонтальная черта называется {{нп3|Винкулум|Винкулум|en|Vinculum (symbol)}}) * строчная формула: <math>\tfrac{1}{2}</math> ==== Правильные и неправильные дроби ==== ''Правильной'' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется ''неправильной'', и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице. Например, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>\frac{7}{8}</math> и <math>\frac{1}{2}</math> — правильные дроби, в то время как <math>\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math>, <math>\frac{2}{1}</math> и <math>\frac{1}{1}</math> — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1. ==== Смешанные дроби ==== Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется ''смешанной дробью'' и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется ''простой''. Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений. ==== Составные дроби ==== Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт: : <math>\frac{1}{2}/\frac{1}{3}</math> или <math>\frac{1/2}{1/3}</math> или <math>\frac{12\frac{3}{4}}{26}</math> === Десятичные дроби === {{main|Десятичная дробь}} Десятичной дробью называют [[Позиционная система счисления|позиционную]] запись дроби. Она выглядит следующим образом: : <math>\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots</math> Пример: <math>3{,}1415926</math>. Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является [[Целая часть|целой частью]] числа (дроби), а стоящая после запятой — [[Дробная часть|дробной частью]]. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является [[Десятичная дробь|периодической дробью]]. Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как [[Фибоначчиева система счисления|фибоначчиева]]). == Значение дроби и основное свойство дроби == Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные. Если [[умножение|умножить]] числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину: : <math>\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}</math> то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например: : <math>\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}</math> И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют [[общий делитель]], то обе части можно разделить на него; такая операция называется ''сокращением'' дроби. Пример: : <math>\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}</math> — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4. ''Несократимой'' называется дробь, числитель и знаменатель которой [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то есть не имеют общих делителей, кроме <math>\pm 1.</math> Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. [[0,999…|Пример]]: : <math>0,999...=1</math> — две разные дроби соответствуют одному числу. == Действия с дробями == В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. [[Десятичная дробь]]. === Приведение к общему знаменателю === Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (''привести'') к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>. Порядок действий: * Находим [[наименьшее общее кратное]] знаменателей: <math>M=[b,d]</math>. * Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>M/b</math>. * Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>M/d</math>. После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ''M''). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ''M'' любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение. === Сравнение === Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше. Пример. Сравниваем <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{4}{5}</math>. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20. : <math>\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}</math> Следовательно, <math>\frac{3}{4} < \frac{4}{5}</math> === Сложение и вычитание === Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:<br> : <math>\frac{1}{2}</math> + <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> + <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{5}{6}</math> [[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. <br> Получилось <math>\frac{3}{6}</math>. Приводим дробь <math>\frac{1}{3}</math> к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось <math>\frac{2}{6}</math>.<br> Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:<br> : <math>\frac{1}{2}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{2}{4}</math> — <math>\frac{1}{4}</math> = <math>\frac{1}{4}</math> [[Наименьшее общее кратное|НОК]] знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь <math>\frac{1}{2}</math> к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем <math>\frac{2}{4}</math>. === Умножение и деление === Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: : <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math> В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же: : <math>\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2</math> В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например: : <math>\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.</math> Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй: : <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad c \ne 0.</math> Например, : <math>\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.</math> === Преобразование между разными форматами записи === Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной [[Периодическая дробь|периодической дробью]]. Примеры: : <math>\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5</math> : <math>\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)</math> — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках. Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример: : <math>71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}</math> == История и этимология термина == Русский термин ''дробь'', как и его аналоги в других языках, происходит от {{lang-lat|fractura}}, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ''ломать, раздроблять''. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили [[Математика в Древней Греции|греческие]] и [[История математики в Индии|индийские]] математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у [[Фибоначчи]] (1202 год). Слова ''числитель'' и ''знаменатель'' ввел в оборот греческий математик [[Максим Плануд]]. Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричными]]. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из [[История Индии#Древняя Индия|Древней Индии]] — вначале его [[Арабская культура|позаимствовали арабы]], а затем, в [[XII век|XII]]-[[XVI век]]ах, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа <math>\tfrac{1}{4}, 2\tfrac{1}{5}</math> записывались таким способом: <math>\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}, \begin{smallmatrix} 2 \\ \mathrm{I} \\ 5 \end{smallmatrix}.</math> Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — [[Фибоначчи]] (Леонардо Пизанский)<ref name="учебник" />.<!-- данные книги 1997 г. издания -->Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ([[Тарталья, Никколо|Тарталья]], [[Клавиус, Христофор|Клавиус]]). На Руси дроби называли ''долями''. В первых российских учебниках математики — в [[XVII век]]е — дроби назывались ''ломаными числами''<ref name="учебник" />. Термин ''дробь'', как аналог латинского ''fractura'', используется в «Арифметике» [[Магницкий, Леонтий Филиппович|Магницкого]] (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей. [[Десятичная дробь|Десятичные дроби]] впервые встречаются в Китае примерно с [[III век]]а н. э. при вычислениях на счётной доске ([[суаньпань]]). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную<ref>''Jean-Claude Martzloff''. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.</ref>. Персидский математик и астроном [[Ал-Каши|Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши]] (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах [[Ал-Уклидиси]], жившего на пять веков раньше<ref>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=518 }}</ref>. В Европе первые десятичные дроби ввёл [[Иммануил Бонфис]] около [[1350 год]]а, но широкое распространение они получили только после появления сочинения [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как ^{<big><math>\overset{\underset{{0}}{}}{4}2~\overset{\underset{{1}}{}}{5}~\overset{\underset{{2}}{}}{3}</math></big>} или <big style="font-size: 150%;">42 </big><big style="font-size: 140%;">⓪ </big><big style="font-size: 150%;">5 ① 3 ②</big>, где ''0'' в круге или над строкой означал целую часть, ''1'' — десятые, ''2'' — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с [[XVII век]]а<ref name="учебник">Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары : Чув. кн. изд-во, 1997. — 320 с.: ил. — С. 202—203, 230.</ref>. == Обобщения == * [[Кольцо частных]] * [[Рациональная функция]] — дробь, составленная из [[многочлен]]ов. == См. также == {{wiktionary|дробь}} * [[Дроби в Юникоде]] * [[Цепная дробь]] == Литература == * {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=2 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }} == Примечания == {{примечания}} {{Доли}} [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Арифметика]] [[Категория:Дроби]]'