Теорема Ковалевской

Теорема Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской играет важную роль в теории уравнений в частных производных.

Система Ковалевской

Система уравнений в частных производных с неизвестными функциями $u_{1},u_{2},...,u_{N}$ вида

{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},...\right),

где $x=(x_{1},...,x_{n})$ , $a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}$ , $a\leqslant n_{j}$ , $a_{0}\leqslant n_{j}-1$ , $i,j=1,...,N$ , то есть число уравнений равно числу неизвестных, называется системой Ковалевской. Независимая переменная $t$ выделяется тем, что среди производных наивысшего порядка $n_{i}$ каждой функции системы содержится производная по $t$ порядка $n_{i}$ и система разрешена относительно этих производных.

Используется следующее обозначение:

D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\partial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},

где $a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}$ , $a_{i}\geqslant 0$ , $i=1,...,N$ .

Формулировка

Если все функции $\phi _{i}^{k}(x)$ аналитичны в окрестности точки $x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})$ , а функции $F_{i}$ определены и аналитичны в окрестности точки $(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\dots ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\dots )$ , то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки $(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$ , единственное в классе аналитических функций.