Теорема унитарности

Теорема унитарности — утверждение о свойствах представлений конечных групп. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике.

Формулировка

Для всякого представления $T$ конечной группы $G$, определённого в конечномерном пространстве $L$, можно определить скалярное произведение для любых векторов $x,y\in L$ в этом пространстве $(x,y)$ таким образом, чтобы все операторы $T(g),g\in G$ были унитарными, то есть чтобы для всех $x,y\in L,g\in G$ выполнялось равенство: $(T(g)x,T(g)y)=(x,y)$.

Доказательство

Определим в пространстве $L$ новое скалярное произведение: $(x,y)_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(h)x,T(h)y)$. Здесь $N$ - число элементов конечной группы $G$. Покажем, что все операторы $T(g),g\in G$ унитарны относительно этого скалярного произведения: $(T(g)x,T(g)y)_{0}=(x,y)_{0}$. Имеем: $(T(g)x,T(g)y)_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(h)T(g)x,T(h)T(g)y)={\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(hg)x,T(hg)y)$. Когда элемент $h$ по одному разу пробегает все элементы группы $G$, то произведение $hg$ при фиксированном $g$ тоже пробегает по одному разу все элементы этой группы. Поэтому суммы ${\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(h)x,T(h)y)$ и ${\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(hg)x,T(hg)y)$ отличаются только порядком слагаемых, и, таким образом, равны друг другу. Тождество $(T(g)x,T(g)y)_{0}=(x,y)_{0}$ доказано, следовательно, доказана теорема унитарности.

Следствия

• Если $L_{1}$ - инвариантное относительно представления $T$ подпростанство, то ортогональное к нему подпространство $L_{2}\subset L$ тоже инвариантно относительно представления $T$.
• Если $\tau$ - неприводимое представление конечной группы, то пространство $L$ не содержит ни одного нетривиального подпространства, инвариантного относительно представления $\tau$.

Литература

• Любарский Г.Я. Теория групп и физика. — М.: Наука, 1986. — 224 с.