Представление группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Представления групп позволяют свести многие теоретико-групповые задачи к задачам линейной алгебры, что для некоторых людей может оказаться более понятным из-за специфики их подготовки. Представления групп также имеют приложения в теоретической физике, так как позволяют понять, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Определение[править | править код]

Пусть  — заданная группа и  — векторное пространство. Тогда представление группы  — это отображение , ставящее в соответствие каждому элементу невырожденное линейное преобразование , причём выполняются свойства

Векторное пространство называется в этом случае пространством представления . Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным (с точки зрения некоторых исследователей) задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы и знакопеременной группы играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь группы Лоренца).

Связанные определения[править | править код]

  • Пусть есть представление группы , здесь  — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства . Размерностью представления называется размерность векторного пространства
  • Представления и одной и той же группы называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм векторных пространств, что Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.
  • Представление называется прямой суммой представлений если (здесь знак означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого подпространство инвариантно относительно преобразования и индуцированное ограничением на представление эквивалентно
  • Для данного представления отображение называется характером ; здесь обозначает след.

Типы представлений[править | править код]

  • Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
  • Представление группы называется приводимым, если в векторном пространстве есть подпространство, отличное от нулевого и самого , инвариантное для всех преобразований . В противном случае представление называется неприводимым, или простым (при этом представление на пространстве не считается неприводимым). Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
  • Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
  • Представление называется регулярным, если  — пространство функций на группе и линейное преобразование ставит в соответствие каждой функции функцию . Иными словами, регулярным называется естественное представление на групповом кольце группы.
  • Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве над полем , если все преобразования являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве (над полем ) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве произвольное эрмитово скалярное произведение и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой
  • Если ― топологическая группа, то под представлением группы обычно понимается непрерывное линейное представление группы в топологическом векторном пространстве . Это значит, что непрерывно отображение из в , заданное как [1].

Примеры[править | править код]

  • Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
  • Представление симметрической группы может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве размерности базис . Для каждой перестановки определим линейное преобразование переводящее базисный вектор в базисный вектор где Таким образом получается -мерное представление группы
  • Неприводимое двумерное представление группы можно получить, выбрав в плоскости базис положив вектор и определив для каждой перестановки линейное преобразование , переводящее в и в
  • Присоединённое представление — представление группы Ли, действующее на соответствующей алгебре Ли.
  • Коприсоединённое представление — представление, сопряжённое[en] к присоединённому.

Вариации и обобщения[править | править код]

В более широком смысле под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества . Например:

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. А. И. Штерн. Непрерывное представление // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]