Представление группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Представле́ние гру́ппы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть — заданная группа и — векторное пространство. Тогда представление группы — это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу невырожденное линейное преобразование причем выполняются свойства

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы и знакопеременной группы играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Пусть есть представление группы , здесь — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства . Размерностью представления называется размерность векторного пространства
  • Представления и одной и той же группы называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм векторных пространств, что Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.
  • Представление называется прямой суммой представлений если (здесь знак означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого подпространство инвариантно относительно преобразования и индуцированное ограничением на представление эквивалентно

Типы представлений[править | править вики-текст]

  • Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
  • Представление группы называется приводимым, если в векторном пространстве есть подпространство, отличное от нулевого и самого инвариантное для всех преобразований В противном случае представление называется неприводимым или простым. Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
  • Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
  • Представление называется регулярным, если — пространство функций на группе и линейное преобразование ставит в соответствие каждой функции функцию
  • Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве над полем , если все преобразования являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве (над полем ) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве произвольное эрмитово скалярное произведение и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой
  • Если ― топологическая группа, то под представлением обычно понимается непрерывное линейное представление группы в топологическом векторном пространстве.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
  • Представление симметрической группы может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве размерности базис . Для каждой перестановки определим линейное преобразование переводящее базисный вектор в базисный вектор где Таким образом получается -мерное представление группы
  • Неприводимое двумерное представление группы можно получить, выбрав в плоскости базис положив вектор и определив для каждой перестановки линейное преобразование , переводящее в и в

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

В более широком смысле, под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества . Например:

Литература[править | править вики-текст]

  • Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп, — Любое издание.
  • Винберг Э. Б. Линейные представления групп, — Любое издание.
  • Наймарк М. А. Теория представлений групп, — Любое издание.
  • Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп
  • Шейнман О. К. Основы теории представлений, — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.