Просмотр кода страницы Уравнение Пуассона

{{другие значения|Уравнение Пуассона (термодинамика)}}
  
'''Уравне́ние Пуассо́на''' — [[Эллиптические уравнения|эллиптическое]] [[дифференциальное уравнение в частных производных]], которое описывает
* [[электростатическое поле]],
* [[гравитационное поле]],
* стационарное поле температуры,
* поле давления,
* поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь [[Франция|французского]] [[физик]]а и [[математик]]а [[Пуассон, Симеон Дени|Симеона Дени Пуассона]].

Это уравнение имеет вид:
: <math>\Delta \varphi = f,</math>

где <math>\varphi</math> — искомая функция, <math>\Delta</math> — [[оператор Лапласа]], или [[лапласиан]], а <math>f</math> — заданная [[Вещественное число|вещественная]] или [[Комплексное число|комплексная]] [[Функция (математика)|функция]] на некотором [[многообразие|многообразии]]. 

В трёхмерной [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]] уравнение принимает форму:

: <math>
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).
</math>

В [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]] оператор Лапласа записывается в форме <math>\nabla^2</math> (<math>\nabla</math> — [[оператор набла]]) и уравнение Пуассона принимает вид:

: <math>{\nabla}^2 \varphi = f.</math>

Уравнение Пуассона с <math>f \equiv 0</math> называется [[уравнение Лапласа|уравнением Лапласа]]:

: <math>\Delta \varphi = 0.</math>

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием [[Функция Грина|функции Грина]]; см., например, статью [[экранированное уравнение Пуассона]]. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

== Уравнение Пуассона в электростатике ==
Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений [[Электростатика|электростатики]]. Оно широко используется для нахождения [[Электростатический потенциал|электростатического потенциала]] <math>\phi(\mathbf{r})</math> (<math>\mathbf{r} = x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}</math> — [[радиус-вектор]]) для известного распределения [[электрический заряд|заряда]]. 

В единицах системы [[СИ]]:

: <math>{\nabla}^2 \phi = - {\rho \over \varepsilon_0},</math>

где <math> \phi</math> — электростатический потенциал (в [[вольт]]ах), <math> \rho</math> — объёмная [[плотность заряда]] (в [[кулон]]ах на кубический метр), а <math> \varepsilon_0</math> — [[диэлектрическая проницаемость вакуума]] (в [[фарад]]ах на метр). То есть в данном случае роль искомой функции <math>\varphi</math> играет <math>\phi</math>, а роль функции <math>f</math> перенимает <math>-\rho(\mathbf{r})/\varepsilon_0</math>.

В единицах системы [[СГС]] то же электростатическое уравнение Пуассона записывается как <math>{\nabla}^2 \phi = - {4 \pi \rho}</math>. Ниже используется только СИ.

=== Вывод уравнения для потенциала ===
Уравнение выводится из [[Теорема Гаусса|закона Гаусса]] (<math>\mathrm{div}\,\mathbf{E} \equiv \nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho \over \varepsilon_0})</math> и определения [[Электромагнитный потенциал|статического потенциала]] (<math>\mathbf{E} = -\nabla \phi</math>)<ref>{{публикация|1=книга|автор=А. М. Макаров, Л. А. Лунева|заглавие=Основы электромагнетизма|ссылка=http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom3/ch1/texthtml/ch1_5.htm|издательство=МГТУ им. Н. Э. Баумана|год=2002|подзаголовок=Том 3 курса системы открытого образования "Физика в техническом университете"|архив дата=2020-07-30|архив=https://web.archive.org/web/20200730213936/http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom3/ch1/texthtml/ch1_5.htm}}</ref>:

: <math> {\rho \over \varepsilon_0} = \nabla \cdot \mathbf{E} = \nabla \cdot ( - \nabla \phi ) = - \nabla \cdot \nabla \phi  = - \nabla^2 \phi.</math>

В области пространства, где нет «непарной» плотности заряда, а именно локальные положительные заряды скомпенсированы локальными отрицательными (допустим, ионный заряд локально скомпенсирован электронным):

: <math>\rho = 0,</math>

и уравнение для потенциала превращается в [[уравнение Лапласа]]:

: <math>{\nabla}^2 \phi = 0.</math>

=== Случай точечного заряда и обобщение ===

Известно, что потенциал, источником которого служит [[точечный электрический заряд]] <math>q</math>, имеет вид

:<math>\phi_q = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r } </math>.

Такой потенциал, называемый кулоновским, есть по сути (а строго говоря при <math>q=1</math>) [[функция Грина]]

:<math>\Phi_1 (x,y,z) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r } </math> 

для уравнения Пуассона, то есть решение уравнения

:<math>\Delta \varphi = - { 1 \over \varepsilon_0 }\delta(x)\delta(y)\delta(z)\ , </math>

где <math>\delta(x)</math> — обозначение [[дельта-функция|дельта-функции Дирака]]. Произведение трёх дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а <math>r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>.

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как
:<math>\phi (x,y,z) = \int \rho(\xi,\eta,\zeta) \Phi_1(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta = </math>
:<math>= \int { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ \rho(\xi,\eta,\zeta)\over\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta.</math>

Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье [[Функция Грина#Функция Грина для лапласиана|Функция Грина]].

Физический смысл последней формулы — применение [[Принцип суперпозиции|принципа суперпозиции]] (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов <math>\rho dV</math>.

=== Случай гауссовой плотности заряда ===
Для практически важного случая сферически симметричного [[Нормальное распределение|гауссова распределения]] заряда <math>\rho(r)</math>:

: <math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3(2\pi)^{3/2}}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},</math>

где <math>Q</math> — общий заряд, решение <math>\phi(r)</math> уравнения Пуассона:

: <math>{\nabla}^2 \phi = - { \rho \over \varepsilon_0 } </math>

даётся выражением:

: <math> \phi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right),
</math>

где <math>\mathrm{erf}(x)</math> — [[функция ошибок]]. Это решение можно проверить напрямую вычислением <math>{\nabla}^2 \phi</math>. Для <math>r</math>, много больших, чем <math>\sigma</math>, <math>\mathrm{erf}(x)</math> приближается к единице, и потенциал <math>\phi(r)</math> приближается к [[электростатический потенциал|потенциалу точечного заряда]] <math> { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over  r} </math>, как и следовало ожидать.

== Уравнение Пуассона в других областях ==

Сфера электростатики — не единственная область применения уравнения Пуассона. В числе других областей — расчёт [[Гравитационный потенциал|гравитационного потенциала]] <math>\varphi</math>; его градиент определяет напряжённость гравитационного поля.

Потенциал <math>\varphi</math>, создаваемый точечной массой <math>m</math>, расположенной в начале координат, равен
: <math>\varphi_m = -\frac{Gm}{r},</math>
где <math>G</math> — [[гравитационная постоянная]], <math>r</math> — расстояние от начала координат. На бесконечности потенциал такого вида обращается в ноль. В общем случае произвольного распределения массы, описываемого координатно-зависимой [[плотность]]ю <math>\rho </math> (кг/м<sup>3</sup>), уравнение Пуассона записывается:

:<math>\nabla^2\varphi = 4 \pi G \rho.</math>

С точностью до замены <math>-1/\varepsilon_0 \to 4\pi G</math> и изменения смысла величины <math>\rho</math> («плотность заряда» <math>\to</math> «плотность массы»), уравнение подобно соответствующему электростатическому уравнению. Правда, в случае гравитационных сил не бывает ситуации отталкивания, но на решении этот факт никак не сказывается.

Решение такой же вид, как и в электростатике:
:<math>\varphi(x,y,z) = -\int G{ \rho(\xi,\eta,\zeta)\over\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta.</math>

Рассмотрение уравнения Пуассона в остальных упоминавшихся в преамбуле областях физики может быть выполнено аналогично, только со специфическим для конкретной области смыслом входящих в него величин.

== См. также ==
* {{не переведено 5|Дискретное уравнение Пуассона|||Discrete Poisson equation}}
* [[Экранированное уравнение Пуассона]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde302.pdf Poisson Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* L.C. Evans, ''Partial Differential Equations'', American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

{{Математическая физика}}

[[Категория:Теория потенциала]]
[[Категория:Электростатика]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных|Пуассона уравнение]]
[[Категория:Физические законы и уравнения|Пуассона уравнение]]
[[Категория:Именные законы и правила|Пуассона]]