Просмотр кода страницы Уравнение состояния Ми — Грюнайзена

'''[[Уравнение состояния]] Ми — Грюнайзена''' — это уравнение, описывающее связь между [[давление]]м и [[объём]]ом тела при заданной температуре. Это уравнение в том числе используется для определения давления в процессе [[удар]]ного сжатия [[твёрдое тело|твёрдого тела]]. Названо в честь немецкого физика [[Грюнайзен, Эдвард|Эдуарда Грюнайзена]]. Уравнение состояния Ми — Грюнайзена представляется в следующей<ref name="Кривцов" /> форме:

: <math>   p - p_0 = \frac{\Gamma}{V} (e - e_0), </math>
где ''p''<sub>0</sub> и ''e''<sub>0</sub> — давление и [[внутренняя энергия]] в начальном состоянии, ''V'' — объём, ''p'' — давление, ''e'' — внутренняя энергия, и ''Γ'' — коэффициент Грюнайзена, который характеризует термическое давление со стороны колеблющихся атомов. ''p'' — полное давление, ''p''<sub>0</sub> — «холодное» давление. Коэффициент Грюнайзена безразмерен. В правой части уравнения Ми — Грюнайзена находится тепловое давление.

Функция Грюнайзена<ref name="Vocadlo" /> — мера изменения давления при изменении энергии системы при постоянном объёме. Она определяется по соотношению:

: <math>\Gamma = V \left(\frac{dp}{de}\right)_V.</math>

[[Производная функции|Производная]] берётся при постоянном объёме.

Уравнение Ми — Грюнайзена предполагает линейную зависимость давления от внутренней энергии. Для определения функции Грюнайзена используются методы [[Статистическая физика|статистической физики]] и предположение о линейности межатомных взаимодействий.

Оно используется для решения определённых термо-механических задач: определении эффектов ударной волны, термическом расширении твёрдых тел, быстром нагревании материалов из-за поглощения ядерного излучения<ref name="Harris" />.

Для вывода уравнения Ми — Грюнайзена используется [[Ударная адиабата|уравнение Ранкина-Гюгонио]] для [[Закон сохранения массы|сохранения массы]], момента и энергии:

: <math>   \rho_0 U_s = \rho (U_s - U_p) ~~, \quad p_H - p_{H0} = \rho_0 U_s U_p ~~, \quad
   p_H U_p = \rho_0 U_s \left(\frac{U_p^2}{2} + E_H - E_{H0}\right), </math>

где ''ρ''<sub>0</sub> — [[относительная плотность]], ''ρ'' — плотность после ударного сжатия, ''p''<sub>H</sub> — давление Гюгонио, ''E''<sub>H</sub> — удельная внутренняя энергия (на единицу массы) Гюгонио, ''U''<sub>s</sub> — скорость удара, и ''U''<sub>p</sub> — скорость частиц.

== Параметры для различных материалов ==
Типичные различные для разных материалов величины для моделей в форме Ми — Грюнайзена.<ref name="Shyue" />
{| class="wikitable sortable" cellpadding="4" cellspacing="0" border="1" style="border-collapse: collapse"
|- bgcolor="#cccccc"
 !Материал!!<math>\rho_0</math> (kg/m<sup>3</sup>) !! <math>c_0</math> (m/s) !! <math>s</math> !! <math>\Gamma_0</math> !! <math>\alpha</math> !! <math>p_0</math> !! <math>e_0</math> (K)
|-
| [[Медь]]
| 8924
| 3910
| 1.51
| 1.96
| 1
| 0
| 0
|-
| [[Вода]]
| 1000
| 1483
| 2.0
| 2.0
| 10<sup>−4</sup>
| 0
| 0
|}

== Параметр Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями ==

Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности <math>d</math> имеет вид<ref name="Кривцов" />:

: <math>
    \Gamma_0 = -\frac{1}{2d}\frac{\Pi'''(a)a^2 + (d-1)\left[\Pi''(a)a - \Pi'(a)\right]}{\Pi''(a)a + (d-1)\Pi'(a)},
</math>

где <math>\Pi</math> — потенциал [[Межатомное взаимодействие|межатомного взаимодействия]], <math>a</math> — равновесное расстояние, <math>d</math> — [[размерность пространства]]. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.

{|class="wikitable"
|-
!Решетка
!Размерность
![[Потенциал Леннард-Джонса]]
![[Потенциал Ми]]
![[Потенциал Морзе]]
|-
| Цепочка
! <math> d=1 </math>
! <math>10\frac{1}{2} </math>
! <math>\frac{m+n+3}{2}</math>
! <math>\frac{3\alpha a}{2}</math>
|-
| Треугольная решётка
!<math>d=2 </math>
! <math>5</math>
! <math> \frac{m+n+2}{4}</math>
! <math> \frac{3\alpha a - 1}{4}</math>
|-
| ГЦК, ОЦК
! <math>d=3 </math>
! <math>\frac{19}{6} </math>
! <math>\frac{n+m+1}{6}</math>
! <math>\frac{3\alpha a-2}{6}</math>
|-
| «Гиперрешётка»
! <math>d=\infty</math>
! <math>-\frac{1}{2}</math>
! <math>-\frac{1}{2}</math>
! <math>-\frac{1}{2}</math>
|-
| Общая формула
! <math>d</math>
! <math>\frac{11}{d}-\frac{1}{2}</math>
! <math>\frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}</math>
! <math>\frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}</math>
|-
|}

Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепочки с взаимодействиями посредством потенциала Ми, приведенное в таблице, в точности совпадает с результатом статьи<ref name=McDonald_Roy>{{Citation
 | title = Vibrational Anharmonicity and Lattice Thermal Properties. II
 | doi = 10.1103/PhysRev.97.673
 | year = 1955
 | journal = Phys. Rev. 
 | pages = 673–676
 | volume = 97
 | last1 =  MacDonald | first1 =  D. K. C.
 | last2 =  Roy	      | first2 =  S.K.	}}</ref>.

== См. также ==
* [[Термодинамическое равновесие]]

== Литература ==
<references>
<ref name="Кривцов">Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. — С. 67—72.</ref>
<ref name="Vocadlo">Vocadlo L., Poirer J.P., Price G.D. Grüneisen parameters and isothermal equations of state. American Mineralogist. — 2000. V. 85. — P. 390—395.</ref>
<ref name="Harris">Harris P., Avrami L. Some Physics of the Gruneisen Parameter. Technical report. — 1972.</ref>
<ref name="Shyue">Shyue K.-M., A Fluid-Mixture Type Algorithm for Compressible Multicomponent Flow with Mie-Gruneisen Equation of State // Journal of Computational Physics. — 2001. Vol. 52. 3363 p.</ref>
</references>

{{Уравнения состояния}}

[[Категория:Уравнения состояния|Ми — Грюнайзена]]
[[Категория:Механика сплошных сред]]
[[Категория:Механика твёрдого деформируемого тела]]
[[Категория:Именные законы и правила|Ми — Грюнайзена]]