Просмотр кода страницы Формула Карно

{{Другие значения|Теорема Карно}}
[[Изображение:Carnot theorem2.svg|thumb|300px|<math>DG+DH-DF = R + r</math>]]
'''Фо́рмула Карно́''' — теорема геометрии треугольника, которая связывает сумму расстояний от центра описанной окружности труегольника до 3 его сторон и радиусы его вписанной и описанной окружностей.  Названа в честь [[Карно, Лазар|Лазара Карно]] ([[1753]]—[[1823]]).

== Формулировка ==

Пусть ''D'' — центр [[описанная окружность|описанной окружности]] [[треугольник]]а ''ABC''.  

Тогда сумма расстояний от  ''D'' до сторон треугольника ''ABC'', взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна  <math>R + r</math>, где ''r'' — радиус вписанной окружности, а ''R'' — описанной.  

В частности

:<math>\pm DF \pm DG \pm  DH = R + r,</math> 
при правильном выборе знаков<ref name=Altshiller-Court>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover, 2007.</ref>{{rp|p.83}}.

== Другие формулировки ==
Формула Карно<ref>Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.</ref>:

: <math>R + r=k_a+k_b+k_c = \frac{1}{2}(d_A+d_B+d_C),</math>
где <math>k_a,k_b,k_c</math> — расстояния от центра [[описанная окружность|описанной окружности]] соответственно до сторон <math>a,b,c</math> треугольника
(они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), а
<math>d_A,d_B,d_C</math> — расстояния от [[ортоцентр]]а соответственно до вершин <math>A,B,C</math> треугольника.

Расстояние от центра [[описанная окружность|описанной окружности]] например до стороны <math>a</math> треугольника равно:
:<math>k_a=a/(2 \mathop{\rm tg} A);</math>
расстояние  от [[ортоцентр]]а например до вершины <math>A</math> треугольника равно:
:<math>d_A=a/(\mathop{\rm tg} A).</math>
Если известны стороны треугольника <math>a,b,c</math>, то формула Карно принимает вид:
:<math>R+r=\frac{abc+\frac 12(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}</math>

=== Замечания ===
* В доказательстве теоремы используется [[теорема Птолемея]].
* Формулу Карно часто называют теоремой Карно{{sfn|Хонсбергер|1990}}.

== Следствия ==

* '''Японская теорема о вписанном многоугольнике''':{{sfn|Хонсбергер|1990}} Если вписанный <math>n</math>-угольник разрезать на <math>n-2</math> треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания. 
**Более того, выпуклый <math>n</math>-угольник является вписанным, если это условие соблюдается.
{| class="wikitable"
|-
|style="width:210px" valign="top" | 
[[Image:Japanese theorem green.svg|210px]]
|style="width:210px" valign="top" | 
[[Image:Japanese theorem red.svg|210px]]
|-
| colspan="2" align="center" |
{|
Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.
|}
|}

== Примечания ==
{{Примечания}}
==См. также==

*[[Критерий Карно]]

== Литература ==
* {{статья
 | заглавие = Старая японская теорема
 | автор = [[Хонсбергер, Росс|Хонсбергер Р.]]
 | ссылка = http://kvant.mccme.ru/1990/07/staraya_yaponskaya_teorema.htm
 | издание = [[Квант (журнал)|Квант]]
 | год = 1990
 | номер = 7
 | страницы = 54-57
 | ref = Хонсбергер
}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|title=Carnot's theorem|urlname=CarnotsTheorem}}

{{rq|refless|topic=math}}
{{geometry-stub}}

[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Карно]]
[[Категория:Именные законы и правила|Карно формула]]