Формула Карно

$DG+DH-DF=R+r$

Фо́рмула Карно́ — теорема геометрии треугольника, которая связывает сумму расстояний от центра описанной окружности труегольника до 3 его сторон и радиусы его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь Лазара Карно (1753—1823).

Формулировка

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC.

Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна $R+r$, где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.

В частности

$\pm DF\pm DG\pm DH=R+r,$

при правильном выборе знаков.

Другие формулировки

Формула Карно:

$R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),$

где $k_{a},k_{b},k_{c}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон $a,b,c$ треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), а $d_{A},d_{B},d_{C}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин $A,B,C$ треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны $a$ треугольника равно:

$k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg}} A);$

расстояние от ортоцентра например до вершины $A$ треугольника равно:

$d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg}} A).$

Если известны стороны треугольника $a,b,c$, то формула Карно принимает вид:

$R+r={\frac {abc+{\frac {1}{2}}(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}}$

Замечания

• В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея.
• Формулу Карно часто называют теоремой Карно.

Следствия

• Японская теорема о вписанном многоугольнике: Если вписанный $n$-угольник разрезать на $n-2$ треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
  • Более того, выпуклый $n$-угольник является вписанным, если это условие соблюдается.

Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.

См. также

• Критерий Карно

Литература

• Хонсбергер Р. Старая японская теорема // Квант. — 1990. — № 7. — С. 54-57.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Carnot's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.