Просмотр кода страницы Функция (математика)

{{другие значения|функция}}
{{redirect|Отображение}}
[[Файл:Graph of example function-comma decimals.svg|thumb|250px|График функции<br> <math>\begin{align}&\scriptstyle  \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math>.]]

'''Фу́нкция''' — соответствие между двумя [[Множество|множествами]], при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого<ref>{{Книга|ссылка=https://catalog.prosv.ru/item/39228|автор=Макарычев Ю. Н. , Миндюк Н. Г. , Нешков К. И. , Феоктистов И. Е.|заглавие=Алгебра. 7 класс. Углублённый уровень|год=2021|издание=3-е изд|место=Москва|издательство=Просвещение|страницы=185|страниц=304|isbn=978-5-09-077916-6|archive-date=2023-06-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20230601130516/https://catalog.prosv.ru/item/39228}}</ref>.

Понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна [[Величина (математика)|величина]] полностью определяет значение другой величины.
Так, значение [[Переменная величина|переменной]] <math>x</math> однозначно определяет значение выражения <math>x^2</math>,
также значение [[месяц]]а однозначно определяет значение следующего за ним месяца.

Аналогично, заранее заданный [[алгоритм]] по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается [[числовая функция]], то есть функция, в которых значения аргумента и значения функций представляют собой числа. Эти функции удобно представлять в виде [[График функции|графиков]].

== История ==

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован в рукописях [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Готфридом Вильгельмом Лейбницем]] (1673 год)<ref>{{Книга|ссылка=http://kvant.mccme.ru/1977/07/kak_vozniklo_i_razvivalos_pony.htm|автор=[[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н.]]|заглавие=Как возникло и развивалось понятие функции|год=1977|язык=ru|заглавие2=// «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн.|место=М.|издательство=«Наука»|страницы=43|страниц=41—45|серия=№ 7|isbn=0130-2221.|archive-date=2022-03-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20220323081956/http://kvant.mccme.ru/1977/07/kak_vozniklo_i_razvivalos_pony.htm}}</ref>. В свою очередь, [[Бернулли, Иоганн|Иоганн Бернулли]] в письме к Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному<ref name="zorich">{{книга
|автор = [[Зорич, Владимир Антонович|{{nobr|В. А. Зорич}}]]|часть = Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция|заглавие = Математический анализ. Часть I|ссылка = |ответственный = |издание = четвертое, исправленное|место = М.|издательство = МЦНМО|год = 2002|том = |страницы = 13, 22, 25, 31|страниц = 664|isbn = 5-94057-056-9}}</ref><ref name="Kol">''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Абрамов, Александр Михайлович (математик)|Абрамов А. М.]], Дудницын Ю. П.'' Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87</ref>.

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] (1751 год), затем — у [[Лакруа, Сильвестр Франсуа|Лакруа]] (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевским]] (1834 год) и [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]] (1837 год)<ref name="shylov">{{книга
|автор        = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|{{nobr|Г. Е. Шилов}}]]
|часть = Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График
|заглавие = Математический анализ (функции одного переменного)
|ссылка =
|ответственный=
|издание =
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1969
|том =
|страницы = 69
|страниц = 528
|isbn =
}}</ref>.

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на [[вектор-функция|векторные функции]], вскоре [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Фреге]] ввёл логические функции ([[1879]]), а после появления [[Теория множеств|теории множеств]] [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] ([[1887]]) и [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] ([[1911]]) сформулировали современное универсальное определение<ref name="Kol"/>.

== Неформальное определение ==

[[Файл:Function_color_example_3.svg|справа|мини|172x172пкс|Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.]]

Функцией <math>f</math>, определённой на множестве <math>X</math> со значениями в множестве <math>Y</math>, называют «правило» такое, что каждому элементу <math>x</math> из <math>X</math> соответствует элемент <math>f(x)</math>, лежащий в <math>Y</math> и притом только один<ref name="zorich2">{{книга|ссылка=|автор=[[Зорич, Владимир Антонович|{{nobr|В. А. Зорич}}]]|заглавие=Математический анализ. Часть I|ответственный=|год=2002|часть=Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция|издание=четвертое, исправленное|место=М.|издательство=МЦНМО|том=|страницы=13, 22, 25, 31|страниц=664|isbn=5-94057-056-9}}</ref>.

Принятые обозначения: <math>f\colon X\to Y</math>, <math>X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y</math>, сокращённо пишут <math>f\colon x\mapsto y</math> или же просто <math>y=f(x)</math>.

Буква <math>f</math> (или <math>F</math>, <math>\varphi</math> и т. д.), употребляемая в этих записях, называется '''характеристикой функции'''. Характеристика не обозначает какой-либо величины. Запись <math>y= f(x)</math> представляет любую функциональную зависимость. Иногда характеристика может обозначаться несколькими буквами типа <math>tg</math>, <math>log</math>, <math>sgn</math>, являясь сокращением латинского слова. Необходимость введения этих обозначений объясняется тем, что такая характеристика представляет вполне определённые (важные для математики) функциональные зависимости.

[[График функции|Графиком]] <math>f\colon X\to Y</math> называют <math>\Gamma_f=\{\,(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\,\}</math>, где <math>X\times Y</math> — [[прямое произведение]].

Вообще говоря, понятия функции и её графика эквивалентны, а поскольку последнее определено математически более строго, формальным (с точки зрения теории множеств) определением функции является её график<ref name="zorich2" />.

Для функции <math>f\colon X\to Y</math>:

* множество <math>X</math> называется '''[[Область задания функции|о́бластью задания]]''' или '''[[Область определения функции|областью определения]]''' функции, обозначается <math>D(f)</math> или <math>\mathrm{dom}\,f</math>;
* каждый элемент <math>x</math> множества <math>X</math> называется '''''независимой''''' '''''[[Переменная величина|переменной]]''''' или '''''аргументом''''' функции;
* элемент <math>y=f(x)</math>, соответствующий фиксированному элементу <math>x</math>, называется '''''частным значением''''' функции в точке <math>x</math>.
* множество всех частных значений <math>\{\,f(x)\in Y\mid x\in X\,\}</math>,  называется '''[[Область значений функции|о́бластью значе́ний]]''' функции, обозначается <math>E(f)</math> или <math>\mathrm{ran}\,f</math>;
* множество <math>Y</math>, содержащее все значения (но не обязательно ограничивающееся ими), называется областью прибытия функции, обозначается <math>\mathrm{cod}\,f</math>

'''Замечания:'''

* Функцию <math>f</math>, для которой  <math>D(f)\equiv E(f)</math>, называют отображением заданного множества '''в себя''' или '''преобразованием''', в частности, если <math>\forall x\in D(f):f(x)=x</math>, то говорят о [[Тождественное отображение|тождественном преобразовании]], часто обозначаемом <math>\operatorname{id}_X</math>.
* Если используется термин ''[[Оператор (математика)|оператор]]'', то говорят, что оператор <math>f</math> ''действует'' из множества <math>X</math> в множество <math>Y</math> и добавляют запись <math>y=fx</math>.
* Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия считается известным, то говорят, что на множестве <math>X</math> ''задана'' функция <math>f</math>, принимающая значения из <math>Y</math>. Если функция <math>f</math> должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что <math>f</math> — неизвестная или неявно заданная функция. При этом функция всё равно считается заданной, хотя и косвенно.
* Поскольку равенство функций (в любом её определении) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции <math>f_1(x) = x \colon \R \to \R</math> и <math>f_2(x) = x \colon \R^{+} \to \R</math>, где <math>\R</math> — множество вещественных чисел, а <math>\R^{+}</math> — множество положительных вещественных чисел, являются разными функциями.
* Также существует и операторное обозначение функции <math>y=x^f</math>, которое можно встретить в [[Общая алгебра|общей алгебре]].
* В [[Лямбда-исчисление|лямбда-исчислении]] Чёрча для функции используется обозначение <math>\lambda x.y</math>.

'''Функции нескольких аргументов:'''
[[Файл:Sinx-Sin2y.png|мини|График функции двух переменных <math>f(x, y) = \sin(x - \sin(2 y))</math>]]
Вообще говоря, функция может быть задана на [[Векторное пространство|линейном пространстве]], в таком случае имеют дело с функцией нескольких аргументов.

Если множество <math>X</math> представляет собой [[Прямое произведение|декартово произведение]] множеств <math>X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n</math>, тогда отображение <math>f\colon X\to Y</math> (где <math>Y</math> — множество вещественных чисел), оказывается <math>n</math>-местным отображением; при этом элементы упорядоченного набора <math>x=(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math> называются аргументами (данной <math>n</math>-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

: <math>x_i\in X_i</math> где <math>\forall i:1\leqslant i \leqslant n</math>.

В этом случае запись <math>y=f(x)</math> означает, что <math>y=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math>.

== Способы задания функции ==
<!--[[Файл:Example.jpg]]-->

=== Аналитический способ ===
Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства.

'''Примеры:'''

Функция, заданная одной формулой:

<math>f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R} );</math>

Кусочно-заданная функция:

<math>f(x)=|x|={\begin{cases}x,\;\forall x\geqslant 0,\\-x,\;\forall x<0;\end{cases}}</math>

Неявно заданная функция:

<math>f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R},\;R\geqslant0);</math>

=== Графический способ ===
[[Файл:Xto3minus3x.svg|мини|График <math>f(x)=x^3-3x</math>]]
{{main|График функции}}
Функцию можно также задать с помощью графика. Пусть <math>y = f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \;</math> — вещественная функция <math>n</math> переменных. Тогда её графиком является множество точек в <math>(n+1)</math>-мерном пространстве: <math>\{(x_1, x_2, \ldots , x_n, f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \}</math>. Это множество точек часто является [[гиперповерхность]]ю. В частности, при <math>n=1</math> график функции в некоторых случаях может быть изображён [[Кривая|кривой]] в двумерном пространстве.

Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например, каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике, как бывает на графиках [[Комплексная функция|комплексных функций]]).

=== Перечисление значений ===
Функцию на конечном множестве можно задать таблицей значений — непосредственным указанием её значений для каждого из элементов области определения. Такой способ применяется, например, для задания [[Булева функция|булевых функций]]. Фактически этот способ также является заданием [[график функции|графика функции]], если график функции <math>f \colon A \to B</math> рассматривать как множество упорядоченных пар вида <math>(x,f(x))</math>.

== Общие свойства ==

=== Композиция отображений ===
{{main|Композиция функций}}
Пусть заданы два отображения таких, что множество значений первого является подмножеством области задания второго. Тогда последовательное действие первого и второго отображений на всякий аргумент первого отображения однозначно сопоставляет элемент из области значений второго отображения:

<math>f\colon X\to Y,\;\;g\colon K\to Z\;\;(Y\subset K)\;\Rightarrow\exists\;h\colon X\to Z,\;\;h(x)=g(f(x))\;\;(\forall x\in X)</math>

В таком случае, <math>h</math> называется '''композицией''' отображений <math>f</math> и <math>g</math>, оно обозначается выражением <math>g\circ f</math>, которое читается «<math>g</math> ''после'' <math>f</math>». Вообще говоря, композиция [[Коммутативность|некоммутативна]]: <math>g(f(x))\ne f(g(x)),</math> или <math>g\circ f\ne f\circ g.</math>

=== Инъекция ===
{{main|Инъекция (математика)}}Функция <math>f\colon X\to Y</math> называется '''инъективной''' (или просто '''инъекцией'''), если любым двум различным элементам <math>x_1,\,x_2</math> из множества <math>X</math> сопоставляются так же различные (неравные) элементы из множества <math>Y</math>. Более формально, функция <math>f</math> '''инъективна''', если из <math>f(x_1)=f(x_2)\;\Rightarrow x_1=x_2</math>. Иначе говоря, <math>f</math> инъективна, если <math>\forall x_1,x_2\in X: x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)</math>.

=== Сюръекция ===
{{main|Сюръекция}}Функция <math>f\colon X\to Y</math> называется '''сюръективной''' (или просто '''сюръекцией'''), если каждому элементу множества <math>Y</math> может быть сопоставлен хотя бы один элемент множества <math>X</math>. То есть функция <math>f</math> '''сюръективна''', если <math>\forall y\in Y\;\exists x\in X:f(x)=y</math>.

Такое отображение называется ещё '''отображением''' множества <math>X</math> '''''на''''' множество <math>Y</math>. Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют '''отображением''' множества <math>X</math> '''''в''''' множество <math>Y</math>.

=== Биекция ===
{{main|Биекция}}Функция, одновременно сюръективная и инъективная, называется '''биективной''' или '''взаимно однозначной''' (коротко '''биекцией''').

=== Обратная функция ===
{{main|Обратная функция}}
Если функция <math>f\colon X\to Y</math> является [[Биекция|биекцией]], то существует <math>f^{-1}\colon Y\to X</math>, для которой <math>x=f^{-1}(y)\;\Leftrightarrow y=f(x)</math>.

Функция <math>f^{-1}</math> в таком случае называется '''обратной''' по отношению к <math>f</math>; кроме того, <math>f^{-1}</math> также биективна.

'''Пояснение:'''

Так как <math>f</math> инъекция, то <math>f^{-1}</math> вообще говоря функция, из сюръекции <math>f</math> следует в свою очередь, что <math>f^{-1}</math> задана на <math>Y</math>. Функция <math>f^{-1}</math> инъективна, поскольку <math>f</math> функция, сюръективность же её следует из её определения.

В общем случае, отображение, у которого существует обратное, называется '''[[Обратимая функция|обратимым]]'''. Свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: <math>f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_X</math> и <math>f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_Y</math>.

=== Сужение и продолжение функции ===
{{main|Сужение и продолжение функции}}
Пусть дано отображение <math>f\colon X\to Y</math> и множество <math>M\subsetneq X,</math> являющееся [[Подмножество#Определение|строгим подмножеством]] множества <math>X.</math>

Отображение <math>g\colon M\to Y</math>, которое принимает на <math>M</math> те же значения, что и функция <math>f</math>, называется '''суже́нием''' (или иначе '''ограничением''') функции <math>f</math> на множество <math>M</math>.

Сужение функции <math>f</math> на множество <math>M</math> обозначается как <math>f\big|_M</math>.

При этом исходная функция <math>f,</math> напротив, называется '''продолжением''' функции <math>g</math> на множество <math>X</math>.

== Образ и прообраз ==

=== Образ и прообраз (при отображении), значение в точке ===
{{См. также|Область значений функции}}
{{Якорь|Образ|Прообраз}}Элемент <math>y=f(x)</math>, который сопоставлен элементу <math>x</math>, называется '''образом''' элемента (точки) <math>x</math> (при отображении <math>f</math>) или '''значением''' отображения <math>f</math> в точке <math>x</math>.

Если взять целиком ''подмножество'' <math>A</math> области задания функции <math>f</math>, то совокупность образов всех элементов этого множества, то есть подмножество области значений (функции <math>f</math>) вида

: <math>f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}</math>,

называется '''образом множества''' <math>A</math> при отображении <math>f</math>. Это множество иногда обозначается как <math>f[A]</math> или <math>A^f</math>.

Образ всей области определения функции называется '''образом функции''' или, если функция является [[Функция (математика)#Поведение функций|сюръекцией]], вообще называется '''[[Область значений функции|областью значений функции]]'''.

И, наоборот, взяв некоторое подмножество <math>B</math> в области значений функции <math>f</math>, можно рассмотреть совокупность всех элементов области задания функции <math>f</math>, чьи образы попадают в множество <math>B</math>, то есть множество вида

: <math>f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}</math>,

которое называется ('''полным''') '''прообразом множества''' <math>B</math> (при отображении <math>f</math>).

В частности, когда множество <math>B</math> состоит из одного элемента — допустим, <math>B=\{y\}</math>, — то множество <math>f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}</math> имеет более простое обозначение <math>f^{-1}(y)</math><!--Но нет ли риска перепутать прообраз f^(-1)(y) множества {y} с прообразом f^(-1)(y) самого элемента y, который сам-то не является множеством (речь идёт о случае, если функция f -- инъекция)?-->{{Нет АИ|22|5|2021}}.

=== Свойства образов и прообразов ===

==== Свойства образов ====
Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества области задания функции <math>f\colon X\to Y</math>. Тогда образы множеств <math>A</math> и <math>B</math> при отображении <math>f</math> обладают следующими свойствами:
* <math>f[\varnothing]=\varnothing</math>;
* <math>A\ne\varnothing\Rightarrow f[A]\ne\varnothing</math>;
* <math>A\subseteq B\Rightarrow f[A]\subseteq f[B]</math>.
* образ объединения множеств равен объединению образов: <math>f[A\cup B]=f[A]\cup f[B];</math>
* образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов: <math>f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]</math>.
Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение ''обратимо'' (см. [[Функция (математика)#Обратное отображение|выше]]), то прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:
* образ пересечения равен пересечению образов: <math>f[A\cap B]=f[A]\cap f[B]</math>.

==== Свойства прообразов ====
Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества множества <math>Y</math>. Тогда прообразы множеств <math>A</math> и <math>B</math> при отображении <math>f\colon X\to Y</math> обладает следующими двумя очевидными свойствами:
* прообраз объединения равен объединению прообразов: <math>f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]</math>;
* прообраз пересечения равен пересечению прообразов: <math>f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]</math>.
Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

== Поведение ==

=== Возрастание и убывание ===
{{main|Монотонная функция}}
Пусть дана функция <math>f\colon M \subseteq \R \to \R.</math> Тогда

* функция <math>f</math> называется '''неубывающей''' на <math>M</math>, если
:: <math>(\forall x,y\in M)\ x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y);</math>
*функция <math>f</math> называется '''невозраста́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>(\forall x,y\in M)\ x > y \Rightarrow f(x) \le f(y);</math>
* функция <math>f</math> называется '''возраста́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>(\forall x,y\in M)\ x > y \Rightarrow f(x) > f(y);</math>
*функция <math>f</math> называется '''убыва́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>(\forall x,y\in M)\ x > y \Rightarrow f(x) < f(y);</math>

Невозрастающие и неубывающие функции называются ('''нестрого''') '''монотонными''', а возрастающие и убывающие функции — '''строго монотонными'''. Для произвольной функции можно найти '''промежутки монотонности''' — подмножества области определения, на которых функция так или иначе (строгость выбирается в большинстве случаев договорно) монотонна.

=== Периодичность ===
{{main|Периодическая функция}}
Функция <math>f\colon M \to N</math> называется периодической с '''пери́одом''' <math>T \not= 0</math>, если выполняется равенство
: <math>f(x+T) = f(x), \quad \forall x,x+T \in M</math>.

Поскольку периодическая с периодом <math>T</math> функция также периодична с периодами вида <math>nT\;(n\in\mathbb N)</math>, то <math>T</math> вообще говоря, наименьший период функции.

Если это [[Равенство (математика)|равенство]] не выполнено ни для какого <math>T \in M,\, T \not=0</math>, то функция <math>f</math> называется '''апериоди́ческой'''.

=== Чётность ===
{{main|Нечётные и чётные функции}}
* Функция <math>f\colon X \to \mathbb{R}</math> называется нечётной, если справедливо [[равенство (математика)|равенство]]
: <math>f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.</math>
:График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
* Функция <math>f</math> называется чётной, если справедливо равенство
: <math>f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.</math>
:График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

=== Экстремумы функции ===
{{main|Экстремум}}
Пусть задана функция <math>f\colon X \to \R</math> и точка <math>x_0 \in X</math> — ''внутренняя'' точка области задания <math>f.</math> Тогда
* <math>x_0</math> называется точкой локального максимума, если существует [[окрестность]] <math>M</math> точки <math>x_0</math> такая, что
*: <math>\forall x\in M, x\ne x_0\colon\quad f(x) < f(x_0);</math>
* <math>x_0</math> называется точкой локального минимума, если существует окрестность <math>M</math> точки <math>x_0</math> такая, что
*: <math>\forall x\in M, x\ne x_0\colon\quad f(x) > f(x_0).</math>

== Функции в теории множеств ==
В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:
# абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
# множества, которые наделены некоторой структурой.
В случае '''1''' рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы — например, о сравнении множеств по [[Мощность множества|мощности]]: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то эти множества называют ''эквивалентными'' или ''[[Мощность множества|равномощными]]''.
Это позволяет провести классификацию множеств по их мощностям, причём наименьшие из них в порядке увеличения таковы:
* [[Конечное множество|конечные множества]] — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
* [[Счётное множество|счётные множества]] — множества, эквивалентные [[Натуральное число|множеству натуральных чисел]];
* [[Континуум (теория множеств)|множества мощности континуума]] (например, отрезок вещественной прямой или сама [[Числовая ось|вещественная прямая]]).
Таким образом получаются следующие виды отображений — по мощности области определения:
* конечные функции — отображения конечных множеств;
* [[Последовательность|последовательности]] — отображение счётного множества в произвольное множество;
* континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

В [[Функция (математика)#Свойства множеств и функций|случае '''2''']] основным объектом рассмотрения является заданная на множестве структура (где элементы множества наделены каким-то дополнительными свойствами, которые связывают эти элементы, — например, в [[Группа (математика)|группах]], [[Кольцо (алгебра)|кольцах]], [[Линейное пространство|линейных пространствах]]) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен [[изоморфизм]]. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, вообще говоря, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до [[изоморфизм]]а».

Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:
* структура [[Отношение порядка|порядка]] — [[Частично упорядоченное множество|частичный]] или [[Линейно упорядоченное множество|линейный порядок]] элементов множества;
* [[Алгебраическая система|алгебраическая структура]] — [[Магма (алгебра)|группоид]], [[полугруппа]], [[Группа (математика)|группа]], [[Кольцо (математика)|кольцо]], [[Тело (алгебра)|тело]], область целостности или [[Поле (алгебра)|поле]], заданные на элементах множества;
* структура [[Метрическое пространство|метрического пространства]] — на элементах множества задаётся [[Метрика (метрическая геометрия)|функция расстояния]];
* структура [[Евклидово пространство|евклидового пространства]] — на элементах множества задаётся [[скалярное произведение]];
* структура [[Топологическое пространство|топологического пространства]] — на множестве задаётся совокупность «[[Открытое множество|открытых множеств]]» (которые не содержат свою [[Граница (топология)|границу]]);
* структура [[Измеримое пространство|измеримого пространства]] — на множестве задаётся [[сигма-алгебра]] подмножеств исходного множества (например, посредством задания [[Мера множества|меры]] с данной сигма-алгеброй в качестве области задания функции)

Функции с каким-либо конкретным свойством могут не существовать на тех множествах, которые не обладают соответствующей структурой. Например, чтобы сформулировать такое свойство, как ''[[Непрерывная функция|непрерывность]]'' функции, заданной на множестве, на этом множестве нужно задать ''топологическую структуру''. <!-- Будем рассматривать всевозможные функции вида <math>f\colon X\to Y</math>. <math>X</math> и <math>Y</math> .-->

== Вариации и обобщения ==

=== Частично определённые функции ===
''Частично определённой функцией'' <math>f</math> из множества <math> X</math> в множество <math>Y</math> называется функция <math>f\colon X'\to Y</math> с областью задания <math>X'={\rm Dom}f\subsetneq X</math>.<!-- Тут можно сослаться на такое понятие, как сужение функции, о котором написано в разделах выше? -->

Некоторые авторы могут под само́й функцией подразумевать лишь её сужение — такое, чтобы на «суженной» области определения функция была определена целиком. Это имеет свои преимущества: например, возможна запись <math>f\colon \R\to\R</math>, где <math>f(x)=1/x,</math> — в этом случае имеется в виду <math>\mathop{\rm Dom}f=\R\backslash\{0\}</math>.

=== Многозначные функции ===
{{main|Многозначная функция}}
Заданному значению аргумента должно соответствовать ровно ''одно'' значение функции, что связано с самим определением функции. Но, несмотря на это, нередко можно встретить так называемые [[многозначная функция|многозначные функции]]. В действительности это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть <math>f\colon X\to \mathbb{B}</math>, где <math>\mathbb{B}</math> — семейство подмножеств множества <math>Y</math>. Тогда <math>f(x)</math> будет множеством для всякого <math>x\in X</math>.

Функция '''однозначна''', если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция '''многозначна''', если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции<ref>{{Cite web |url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu |title=Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. '''Функции со специальными свойствами'''. ('''а'''), стр.99. |access-date=2012-01-26 |archive-date=2015-01-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150119094643/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu |deadlink=no }}</ref>.

== См. также ==
* [[Арность]]
* [[Функциональное уравнение]]
* [[Алгоритм]]
* [[Уравнение]]
* [[Булева функция]]

== Примечания ==
{{примечания|40em}}

== Литература ==
[[Файл:Функции.webm|right|300px]]
* Функция. Математический энциклопедический словарь/Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
* ''Клейн Ф.'' [[s:Элементарная математика с точки зрения высшей/Общее понятие функции|Общее понятие функции]]. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
* {{книга |автор = [[Лавров, Игорь Андреевич|{{nobr|И. А. Лавров}}]], [[Максимова, Лариса Львовна|{{nobr|Л. Л. Максимова}}]]. |часть = Часть I. Теория множеств
 |заглавие = Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов |ссылка =https://archive.org/details/isbn_502014844X|ответственный= |издание ={{nobr|3-е изд}} |место = М. |издательство = Физматлит
 |год = 1995 |том = |страницы = [https://archive.org/details/isbn_502014844X/page/n11 13]—21 |страниц = 256 |isbn = 5-02-014844-X}}
* {{книга |автор= [[Келли, Дж Л|{{nobr|Дж. Л. Келли}}]]|часть = Глава 0. Предварительные сведения |заглавие = Общая топология |ссылка = |ответственный=
 |издание = {{nobr|2-е изд}} |место = М. |издательство = Наука |год = 1981 |том = |страницы = 19—27 |страниц = 423 |isbn =}}
* {{Статья в Кванте |автор = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]] |название = Что такое функция |номер = 1 |год = 1970 |страницы = 27—36 |url = 1970/01/chto_takoe_funkciya.htm}}
* {{Статья в Кванте |автор = [[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н.]] |название = Как возникло и развивалось понятие функции |год  =1977|номер= 7 |страницы = 41—45
 |url= 1977/07/kak_vozniklo_i_razvivalos_pony.htm}}
* {{cite web |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Functions.html |title = The function concept |work = MacTutor History of Mathematics archive |author = J. J. O'Connor, E. F. Robertson |publisher = School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland |date = 2005-10}}
{{ВС}}

[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Функции]]