Функция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции
\begin{align}&\scriptstyle  \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}.

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) — математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами другого множества.

Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества, называемого областью задания функции, ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, называемого областью значений функции.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной x однозначно определяет значение выражения x^2, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца.

Аналогично, задуманный заранее алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

История[править | править вики-текст]

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному[1].

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год)[2].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Определения[править | править вики-текст]

Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.

Наиболее строгим определением функции является теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся понятие функции, то есть описание математического объекта с помощью понятий обычного языка, таких как «закон», «правило» или «соответствие».

Понятие функции[править | править вики-текст]

Функцией f (отображением, операцией, оператором) на множестве X, принимающей значения из Y, называется правило f, по которому каждому[3] элементу x из множества X ставится в соответствие элемент из множества Y[4]. При этом соответствие обозначают записью y=f(x) и говорят, что функция f отображает X в Y.

Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия f известно, то говорят, что на множестве X задана функция f, принимающая значения из Y. Если функция f должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что f — неизвестная или неявно заданная функция. Но в любом случае, функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно.

Если элементу x\in X сопоставлен элемент y\in Y, то тем самым на элементе x задано правило соответствия — функция f. Следовательно, задание соответствия на каждом элементе множества X эквивалентно заданию функции f на этом множестве. Поэтому понятие функции можно сформулировать в следующем виде:

Говорят, что на множестве X задана функция f, принимающая значения из Y, если каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие некоторый элемент y из множества Y[5]. При этом соответствие обозначают записью y=f(x).

Для числовых функций, которые часто задаются формулой, используется другое, эквивалентное понятие функции — как соответствие между элементами множеств:

Если каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие элемент y из множества Y, то соответствие y=f(x) называется функцией, заданной на множестве X со значениями из Y[2]. Буква f в этом обозначении называется знаком функции.

Множество X называется областью задания, а множество Yобластью значений функции.

Обозначенный буквой x каждый элемент множества X называется независимой переменной или аргументом функции. Множество X является областью изменения переменной x.

Элемент y, соответствующий фиксированному элементу x называется частным значением функции в точке x.

Совокупность всех частных значений \{y\} называется множеством значений функции и является подмножеством области значений Y.

Обозначенный буквой y каждый элемент множества \{y\} есть переменная y с областью изменения \{y\}.

Фиксированный элемент из области изменения какой-либо переменной называется значением этой переменной.

Теоретико-множественное определение[править | править вики-текст]

Функция f\colon X\to Y есть множество f упорядоченных пар (x,y)\in X\times Y, таких, что для любого элемента x\in X существует единственный элемент y\in Y такой, что (x,y)\in f.

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f,X,Y), где

  • множество X называется о́бластью задания функции;
  • множество Y называется о́бластью значе́ний функции;
  • множество упорядоченных пар f\subset X\times Y называется графиком функции;
  • множество \{y\}, таких, что (x,y)\in f для любого элемента x\in X, называется множеством значений функции.

Функции f\colon X\to Y и g\colon X'\to Y' называются равными, если у них совпадают графики[6].

Поскольку равенство функций включает в себя не только одинаковые правила соответствия между элементами множеств, но и равенство областей задания, то в следующих парах задаются суть разные функции, что существенно, в частности, в теории категорий[7]:

f_1(x) = x^2 : \R \to \R и f_2(x) = x^2 : \R^{+} \to \R ,
f_3(x) = x^2 : \R \to \R^{+} и f_4(x) = x^2 : \R^{+} \to \R^{+}

где \R — множество вещественных чисел, а \R^{+} — множество неотрицательных вещественных чисел.

Обозначения функции[править | править вики-текст]

Если на множестве X задана функция f, которая принимает значения из множества Y (то есть функция f отображает множество X в Y), то

  • этот факт коротко записывают в виде f \colon X \to Y или X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y.
  • множество X — область задания функции f — обозначается символом D(f) или \mathrm{dom}\,f;
  • множество Y — область значений[2] функции f;
  • множество значений \{y\} функции f обозначается символом E(f) или \mathrm{cod}\,f (\mathrm{ran}\,f).
  • Если область значений Y и множество значений E(f) совпадают, то говорят, что f отображает множество X на Y.
  • Функция, заданная на множестве X, наиболее часто обозначается как соответствие между элементами x\in X и y\in Y:
    y=f(x) или f(x),
    {\textstyle x\mapsto y} или x\mapsto f(x) ;
  • для сокращения числа обозначений знак функции может обозначаться той же буквой, что и каждое значение функции:
    y=y(x), z=z(x);
  • функция обозначается и как функция f с обозначением соответствия, которое осуществляется посредством функции:
    f\colon x\mapsto y или f\colon y=f(x);
  • реже используется обозначение функции как соответствие между элементами x\in X и y\in Y без скобок: y=fx, y=f\circ x или y=xf,
  • а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: y=(f,x) или y=(x,f);
  • также существует и операторное обозначение y=x^f, которое можно встретить в общей алгебре.
  • В лямбда-исчислении Чёрча используется обозначение \lambda x.y .

Функции нескольких аргументов[править | править вики-текст]

График функции двух переменных f(x, y) = \sin(x - \sin(2 y))

Понятие функции легко обобщается на случай функции многих аргументов.

Если множество X представляет собой декартово произведение множеств X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n, тогда отображение f\colon X\to Y, где Y — множество вещественных чисел, оказывается n-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора x=(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n) называются аргументами (данной n-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

x_i\in X_i где i=\overline{1,n}.

В этом случае запись y=f(x) означает, что y=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n).

Способы задания функции[править | править вики-текст]

Аналитический способ[править | править вики-текст]

Функция, как математический объект, представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно, как множество упорядоченных пар, например: f=\{(a,d),(b,e),(c,g)\} \; есть функция f\colon \{a,b,c\} \to \{d,e,g\} \;. Множество упорядоченных пар для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции — степенная, линейная, показательная, логарифмическая и другие) задаётся с помощью аналитического выражения f(x): f=\{x,y\}, где y = f(x).

Функцию, заданную аналитически (например, формулой), обозначают, как соответствие между элементами множеств, записью y=f(x), где x есть переменная, пробегающая область задания функции, а соответствующие значения переменной y (или, что то же самое, значения выражения f(x) ) принадлежат области значений функции.

Например, равенство y = x^2 \;, где x пробегает множество вещественных чисел, задает числовую функцию y=f(x) \;. Важно понимать, что само по себе равенство y = x^2 \; не является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество упорядоченных пар. А данное равенство есть равенство двух выражений, содержащих переменные. Равенство задает функцию, но не является ею.

Если слева равенства f(x) = x^2 \; стоит обозначение какого-нибудь выражения, содержащего переменную x, то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную. Если же f(x) это другое обозначение переменной y, то f(x) = x^2 \; есть равенство выражений, содержащих разные переменные.

Однако фразы функция y = x^2 \; или функция f(x) = x^2 \; обозначают именно функцию. Более того, во многих разделах математики функцию  x\mapsto f(x) (или y=f(x) \; ) можно обозначать как функцию f(x), то есть также, как и аналитическое выражение, содержащее переменную x. Это синтаксическое соглашение является удобным и оправданным.

Переменные x и y могут пробегать множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество X = \{ \;яблоко, самолет, груша, стул\}\; и множество Y = \{ \;человек, паровоз, квадрат\}\;. Зададим функцию f, как множество упорядоченных пар: f = \{ \;(яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек)\}\;.

Если ввести переменную x, пробегающую множество X, и переменную y, пробегающую множество Y \;, то указанную функцию можно задать и аналитически в виде y=f(x) \; с помощью условных выражений.

Графический способ[править | править вики-текст]

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть z = f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \; — вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (\vec e_z, \vec e_1, \vec e_2, \ldots , \vec e_n \;). Каждой точке функции сопоставим вектор: z \vec e_z + x_1 \vec e_1 + x_2 \vec e_2 + \ldots + x_n \vec e_n \;. Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.

Для функций трёх и более аргументов такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Связанные определения[править | править вики-текст]

Сужение и продолжение функции[править | править вики-текст]

Пусть дано отображение f\colon X\to Y и M\subset X.

Отображение g\colon M\to Y, которое принимает на M те же значения, что и функция f, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции f на множество M.

Сужение функции f на множество M обозначается как f\big|_M.

Если функция g\colon M\to Y такова, что она является сужением для некоторой функции f\colon X\to Y, то функция f, в свою очередь, называется продолжением функции g на множество X.

Образ и прообраз (при отображении)[править | править вики-текст]

Элемент y=f(x), который сопоставлен элементу x, называется образом элемента (точки) x (при отображении f).

Если взять целиком подмножество A области задания функции f, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества A, а именно подмножество области значений (функции f) вида

f(A):=\{f(x)\colon x\in A\},

которое, называется образом множества A при отображении f. Это множество иногда обозначается как f[A] или A^f.

Наоборот, взяв некоторое подмножество B области значений функции f, можно рассмотреть совокупность тех элементов области задания функции f, чьи образы попадают в множество B, а именно — множество вида

f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\},

которое называется (полным) прообразом множества B (при отображении f).

В том частном случае, когда множество B состоит из одного элемента, скажем, B=\{y\}, множество f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\} имеет более простое обозначение f^{-1}(y).

Тождественное отображение[править | править вики-текст]

Отображения, у которых совпадают область задания и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование f\colon X\to X, которое сопоставляет каждой точке x множества X её саму или, что то же самое,

f(x)=x для каждого x\in X, называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: id_X или, проще, id (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — 1_X. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве X. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений[править | править вики-текст]

Пусть f\colon X\to Y и g\colon Y\to Z — два отображения, таких, что область значений первого отображения является подмножеством области задания второго отображения. Тогда для всякого x\in X однозначно определяется элемент y\in Y такой, что y=f(x), но для этого самого y однозначно определяется элемент z\in Z такой, что z=g(y). То есть, для всякого x\in X однозначно определяется элемент z\in Z такой, что z=g(f(x)). Другими словами, задано отображение h такое, что

h(x)=g(f(x)) для всякого x\in X.

Это отображение называется композицией отображений f и g и обозначается символом g\circ f (именно в таком порядке!).

Обратное отображение[править | править вики-текст]

Если отображение f\colon X\to Y является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то существует отображение f^{-1}\colon Y\to X, у которого

  • область задания (множество Y) совпадает с областью значений отображения f ;
  • область значений (множество X) совпадает с областью задания отображения f;
  • x=f^{-1}(y) тогда и только тогда, когда y=f(x).

Отображение f^{-1} называется обратным по отношению к отображению f.

Отображение, у которого существует обратное, называется обратимым.

В терминах композиции отображений, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: f^{-1}\circ f=id_X и f\circ f^{-1}=id_Y.

Свойства[править | править вики-текст]

Свойства образов и прообразов[править | править вики-текст]

Свойства образов[править | править вики-текст]

Пусть A и B — подмножества области задания функции f\colon X\to Y. Тогда образы множеств A и B, при отображении f, обладают следующими свойствами:

  • f(\varnothing)=\varnothing;
  • A\ne\varnothing\Rightarrow f(A)\ne\varnothing;
  • A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B).
  • образ объединения множеств равен объединению образов: f(A\cup B)=f(A)\cup f(B);
  • образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B).

Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Свойства прообразов[править | править вики-текст]

Положим, A и B — подмножества множества Y.

Прообразы множеств A и B, при отображении f, обладает следующими двумя очевидными свойствами:

  • прообраз объединения равен объединению прообразов: f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B);
  • прообраз пересечения равен пересечению прообразов f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).

Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

  • образ пересечения равен пересечению образов: f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).

Поведение функций[править | править вики-текст]

Сюръективность[править | править вики-текст]

Функция f называется сюръективной (или, коротко, fсюръекция), если каждому элементу множества Y может быть сопоставлен хотя бы один элемент множества X. То есть, функция f сюръективна, если образ множества X при отображении совпадает с множеством Y: f(X)=Y.

Такое отображение называется ещё отображением множества X на множество Y.

Другими словами, при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент Y не имел прообраза.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением множества X в множество Y.

Инъективность[править | править вики-текст]

Функция f называется инъективной (или, коротко, fинъекция), если любым двум разным элементам из множества X сопоставляются разные элементы из множества Y. Более формально, функция f инъективна, если для любых двух элементов x_1, x_2\in X таких, что f(x_1)=f(x_2), следует, что x_1=x_2 .

Другими словами, при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов из множества X отображались в один и тот же элемент из Y.

Биективность[править | править вики-текст]

Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной.

Возрастание и убывание[править | править вики-текст]

Пусть дана функция f\colon M \subset \R \to \R. Тогда

  • функция f называется неубывающей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y);
  • функция f называется возраста́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y);
  • функция f называется невозраста́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y);
  • функция f называется убыва́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).

Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными.

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Периодичность[править | править вики-текст]

Функция f\colon M \to N называется периодической с пери́одом T \not= 0 , если выполняется равенство

f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M.

Если это равенство не выполнено ни для какого T \in M,\, T \not=0 , то функция f называется апериоди́ческой.

Чётность[править | править вики-текст]

  • Функция f\colon X \to \mathbb{R} называется нечётной, если справедливо равенство
f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.
  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.

Экстремумы функции[править | править вики-текст]

Пусть задана функция f\colon X \to \R, и x_0 \in X — внутренняя точка области задания f. Тогда

  • x_0 называется точкой локального максимума, если существует окрестность M точки x_0 такая, что
    \forall x\in M, x\ne x_0:\quad f(x) < f(x_0);
  • x_0 называется точкой локального минимума, если существует окрестность M точки x_0 такая, что
    \forall x\in M, x\ne x_0:\quad f(x) > f(x_0).

Свойства множеств и функций[править | править вики-текст]

В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:

  1. абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
  2. множества, которые наделены некоторой структурой.

В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

  • конечные функции — отображения конечных множеств;
  • последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
  • континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

В случае 2, основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура (дополнительные свойства элементов множества) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах структур, заданных на множествах. Например, свойство непрерывности требует задания топологической структуры.

Обобщения[править | править вики-текст]

Частично определённые функции[править | править вики-текст]

Частично определённая функция f из множества  X в множество Y есть функция f\colon X'\to Y с областью задания X'\subset X.

Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например, возможна запись f\colon \R\to\R, где f(x)=1/x в этом случае \mathop{\rm Dom}f=\R\backslash\{0\}.

Многозначные функции[править | править вики-текст]

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про так называемые многозначные функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть f\colon X\to \mathbb{B}, где \mathbb{B} — семейство подмножеств множества Y. Тогда f(x) будет множеством для всякого x\in X.

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции[8].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1982. — С. 31. — 544 с.
  2. 1 2 3 Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 69. — 528 с.
  3. Иногда функция определяется без этого условия. Например, говорят, что f(x)=1/x есть функция f\colon \R \to \R, хотя значение f(x) не определено при x=0
  4. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 496 с.
  6. В. А. Садовничий. Теория операторов. — М.: Дрофа, 2001. — С. 241. — 381 с. — ISBN 5-71-074297-X.
  7. Barr, Michael; Wells, Charles. Category Theory for Computing Science. — Prentice Hall International, 1998. — P. 3-4. [1]
  8. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.

Литература[править | править вики-текст]

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
  • И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
  • Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.