Просмотр кода страницы Функция Мёбиуса

'''Функция Мёбиуса''' <math>\mu(n)</math> — [[Мультипликативность|мультипликативная]] [[арифметическая функция]], применяемая в [[Теория чисел|теории чисел]] и [[Комбинаторика|комбинаторике]], названа в честь [[Германия|немецкого]] [[математик]]а [[Мёбиус, Август Фердинанд|Мёбиуса]], который впервые рассмотрел её в [[1831 год]]у.

== Определение ==
<math>\mu(n)</math> определена для всех [[Натуральные числа|натуральных чисел]] <math>n</math> и принимает значения <math>{-1,\;0,\;1}</math> в зависимости от характера разложения числа <math>n</math> на простые сомножители:

* <math>\mu(n)=1</math>, если <math>n</math> [[Свободное от квадратов число|свободно от квадратов]] (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение <math>n</math> на [[Простое число|простые]] множители состоит из [[Чётные и нечётные числа|чётного]] числа сомножителей;
* <math>\mu(n)=-1</math>, если <math>n</math> свободно от квадратов и разложение <math>n</math> на простые множители состоит из [[Чётные и нечётные числа|нечётного]] числа сомножителей;
* <math>\mu(n)=0</math>, если <math>n</math> не свободно от квадратов.

По определению также полагают <math>\mu(1)=1</math>.

[[Файл:MoebiusMu.PNG|center|50 первых точек]]

У Ивана Матвеевича [[Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова]] в книге «Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:

{{начало цитаты}}Функция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами: <math>\mu\,(p)=-1,\; \mu\,(p^{\alpha})=0,\;\text{если}\;\alpha>1.</math> {{конец цитаты}}

Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.

== Свойства и приложения ==

* Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых [[Взаимно простые числа|взаимно простых чисел]] <math>a</math> и <math>b</math> выполняется равенство <math>\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)</math>.
* Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа <math>n</math>, не равного единице, равна нулю
: <math>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</math>
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества
количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству
различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве
[[Обращение Мёбиуса|формулы обращения Мёбиуса]].

* <math>\sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1.</math>
* <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k n)}{k}=0,</math> где n — положительное [[целое число]].
* <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1.</math>
* <math>\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\mu(2k+1)\ln (2k+1)}{2k+1}=-2.</math>
* <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln^{2} k}{k}=-2\gamma,</math> где <math>\gamma</math> — это [[постоянная Эйлера]].
* <math>\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\mu(2k+1)\ln^{2} (2k+1)}{2k+1} = -4(\gamma+ln2).</math>
* Функция Мёбиуса тесно связана с [[Дзета-функция Римана|дзета-функцией Римана]]. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

: <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)}</math>.

Ряд [[Абсолютная сходимость|абсолютно сходится]] при <math>{\rm Re}\, s >1</math>, на прямой <math>{\rm Re}\, s = 1</math> [[Условная сходимость|сходится условно]], в области <math>1/2 < {\rm Re}\, s < 1</math> утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно [[гипотеза Римана|гипотезе Римана]], а при <math>{\rm Re}\, s < 1/2</math> ряд заведомо не сходится, даже условно.

При <math>{\rm Re}\, s >1</math> справедлива также формула:

: <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}</math>

* <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(p n)}{n^{s}} = \frac{p^{s}}{(1-p^{s}) \zeta(s)}, </math> где p — простое число.
* Функция Мёбиуса связана с [[Функция Мертенса|функцией Мертенса]], также тесно связанной с задачей о нулях [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]]

: <math>M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).</math>

* Справедливы асимптотические соотношения:

: <math>\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} \mu(n) = o(1)</math> при <math>x\rightarrow \infty</math>
: <math>\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} |\mu(n)| = \frac{1}{\zeta(2)} + O(\frac{1}{\sqrt x}) </math>,

из которых следует, что существует [[асимптотическая плотность]] распределения значений функции Мёбиуса. [[Линейная плотность]] множества её нулей равна <math>1 - 1/\zeta(2) = 0,3920729</math>, а плотность множества единиц (или минус единиц) <math>1/2\zeta(2) = 0,30396355</math>. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

== Обращение Мёбиуса ==

=== Первая формула обращения Мёбиуса ===

Для [[Арифметическая функция|арифметических функций]] <math>f</math> и <math>g</math>,
: <math>g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)</math>
тогда и только тогда, когда
: <math>f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g \left (\frac{n}{d} \right )</math>.

=== Вторая формула обращения Мёбиуса ===

Для вещественнозначных функций <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math>, определённых при <math>x\geqslant 1</math>,
: <math> g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)</math>
тогда и только тогда, когда
: <math>f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right)</math>.

Здесь сумма <math>\sum_{n\leqslant x}</math> интерпретируется как <math>\sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}</math>.

== Обобщённая функция Мёбиуса ==
Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных [[Частичный порядок|частично упорядоченных множествах]].

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения <math>\prec</math>. Будем считать, что <math>a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b</math>.

=== Определение ===
[[Обобщённая функция]] Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.
: <math>{\mu_A^*}(a,b) = \begin{cases}1, & a=b \\ -\sum \limits_{a \preccurlyeq z \prec b} {{\mu_A^*}(a,z)}, & a \prec b \\ 0, & a \not\preccurlyeq b\end{cases}</math>

=== Формула обращения ===
Пусть функции <math>g</math> и <math>f</math> принимают [[Вещественное число|вещественные значения]] на множестве <math>A</math> и выполнено условие <math>g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}</math>.

Тогда <math>f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}</math>

=== Связь с классической функцией Мёбиуса ===
Если взять в качестве <math>A</math> множество натуральных чисел, приняв за отношение <math>a \prec b</math> отношение <math>a \mid b \land a \not = b</math>, то получим <math>{\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right)</math>, где <math>\mu</math> - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что <math>\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)</math>, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества <math>\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0</math>, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на [[полный квадрат]], можно рассматривать как суммирование по [[булеан]]у его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

== См. также ==
* [[Свёртка Дирихле]]

== Литература ==
* {{книга
 | автор         = {{nobr|Виноградов И.М.}}
 | заглавие      = Основы теории чисел
 | ссылка        = 
 | издание       = 9-е изд
 | ответственный = 
 | место         = М.
 | издательство  = 
 | год           = 1981
 | том           = 
 | страницы      = 
 | страниц       = 
 | isbn          = 
}}
* {{книга
|автор        = Холл М.
|заглавие     = Комбинаторика
|оригинал     = Combinatorial Theory
|место        = М.
|издательство = Мир
|год          = 1970
|страниц      = 424
|ссылка       = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Holl1970ru.djvu
}}

== Ссылки ==

* Лекторий [[МФТИ]]. [[Райгородский, Андрей Михайлович|Райгородский А.М.]] - [http://lectoriy.mipt.ru/lecture/Maths-Combinatorics-Lects-L05-131009 Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5], 2013.
* Лекторий [[МФТИ]]. [[Райгородский, Андрей Михайлович|Райгородский А.М.]] - [http://lectoriy.mipt.ru/lecture/Maths-Combinatorics-Lects-L06-131016 Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6], 2013.
* [http://ru.discrete-mathematics.org/fall2014/1/oktch/seminar_8_oktch_2014.pdf Обобщённая формула обращения Мёбиуса]

[[Категория:Арифметические функции]]