Просмотр кода страницы Эпициклоида

'''Эпицикло́ида''' (от {{lang-grc|ὲπί}} — на, над, при и {{lang-grc2|κύκλος}} — круг, окружность) — [[плоская кривая]], образуемая фиксированной точкой [[окружность|окружности]], катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения<ref name="БСЭ1">{{ВТ-БСЭ1|Гипоциклоиды и эпициклоиды}}</ref>.

По свидетельству Лейбница, Оле Рёмер ранее 1676 года сделал важное в практическом отношении открытие, что эпициклоидические зубцы в зубчатом колесе производят наименьшее трение.

== Уравнения ==
[[Файл:EpitrochoidOn3-generation.gif|right|255пкс]]

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен <math>R</math>, радиус катящейся по ней окружности равен <math>r</math>, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно <math>\varphi</math>:
:<math>\begin{cases}
x = (R + r)\cos\varphi - r\cos(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \\
y = (R + r)\sin\varphi - r\sin(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi)
\end{cases}</math>
где <math>\alpha</math> — [[угол поворота]] точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), <math>\varphi</math> — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси <math>OX</math>.

Можно ввести величину <math>\textstyle k=\frac{R}{r}</math>, тогда уравнения предстанут в виде
: <math>\begin{cases}
x = r (k+1) \left( \cos \varphi- \frac{\cos((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \\
y = r (k+1) \left( \sin \varphi- \frac{\sin((k+1)\varphi)}{k+1} \right)
\end{cases}</math>

Величина <math>k</math> определяет форму эпициклоиды. При <math>k=1</math> эпициклоида образует [[Кардиоида|кардиоиду]], а при <math>k=2</math> — [[нефроида|нефроиду]]. Если <math>k</math> — [[рациональное число|несократимая дробь]] вида <math>\frac{m}{n}</math> (<math>m,n \in \mathbb{N}</math>), то <math>m</math> — это количество [[касп|каспов]] данной эпициклоиды, а <math>n</math> — количество полных вращений катящейся окружности. Если <math>k</math> [[иррациональное число]], то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.


<gallery caption="Эпициклоиды при разных значениях параметра k:">
image:EpicycloidK1.gif| <math>k = 1</math> ([[кардиоида]])
image:EpicycloidK2.gif| <math>k = 2</math> ([[нефроида]])
image:EpicycloidK3.gif| <math>k = 3</math>
image:EpicycloidK0,75.gif| <math>k = \frac{3}{4}</math>
Image:Epicycloid 3to1.gif|<math>k = \frac{1}{3}</math>
Image:Epicycloid 2to1.gif|<math>k = 0.5 = \frac{1}{2}</math>

Image:Epicycloid-2-1.svg| <math>k = 2.1 = \frac{21}{10}</math>
Image:Epicycloid-3-8.svg| <math>k = 3.8 = \frac{19}{5}</math>
Image:Epicycloid-5-5.svg| <math>k = 5.5 = \frac{11}{2}</math>
Image:Epicycloid-7-2.svg| <math>k = 7.2 = \frac{36}{5}</math>
</gallery>

== Получение ==
[[Image:Epizykloide herleitung.svg|thumb|255пкс|Эскиз для доказательства]]
:Пусть <math>P</math> - искомая точка, <math>\alpha</math> - угол отклонения точки <math>P</math> от точки касания двух окружностей, <math>\theta</math> - угол отклонения между центрами данных окружностей.
:Так как окружность катится без скольжения, то <math>\ell_R=\ell_r</math>
:По определению длины дуги окружности''':'''
 <math>\ell_R= \theta R \and \ell_r=\alpha r</math>
:Из данных двух утверждений выплывает, что 
 <math>\theta R=\alpha r</math>
:Получаем соотношения для <math>\alpha</math>''':''' 
 <math>\alpha =\frac{R}{r} \theta</math>
:Пусть центр неподвижной окружности <math>A</math>, центр второй окружности <math>B</math>. Очевидно, что <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP}</math> 
:Перепишем в координатах''':'''
 <math>\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{(\left( R+r \right)\cos \theta ; \left( R+r \right)\sin \theta)}+\overrightarrow{(r\cos\left( \pi + \theta+\alpha \right) ; r\sin\left( \pi + \theta+\alpha \right))} = \overrightarrow{(\left( R+r \right)\cos \theta - r\cos\left( \theta+\alpha \right);\left( R+r \right)\sin \theta - r\sin\left( \theta+\alpha \right))}</math>
Следовательно позиция точки <math>p</math>''':'''
:<math>x=\left( R+r \right)\cos \theta - r\cos\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\cos \theta - r\cos\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)</math>
:<math>y=\left( R+r \right)\sin \theta - r\sin\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\sin \theta - r\sin\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)</math>

== См. также ==
{{Навигация|Викисловарь = эпициклоида|Викитека = |}}
* [[Циклоида]]
* [[Гипоциклоида]]
* [[Эпитрохоида]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Библиоинформация}} {{^v}}
{{Кривые}} {{^v}}
{{нет ссылок|дата=5 декабря 2019}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Трансцендентные кривые]]