Эпициклоида

Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен $R$, радиус катящейся по ней окружности равен $r$, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно $\varphi$:

$\begin{cases} x = (R + r)\cos\varphi - r\cos(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \\ y = (R + r)\sin\varphi - r\sin(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \end{cases}$

где $\alpha$ — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра неподвижной окружности, $\varphi$ — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси $OX$.

Можно ввести величину $\textstyle k=\frac{R}{r}$, тогда уравнения предстанут в виде

$\begin{cases} x = r (k+1) \left( \cos \varphi- \frac{\cos((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \\ y = r (k+1) \left( \sin \varphi- \frac{\sin((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \end{cases}$

Величина $k$ определяет форму эпициклоиды. При $k=1$ эпициклоида образует кардиоиду, а при $k=2$ — нефроиду.

• Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
• 

  $k = 1$ (кардиоида)

• 

  $k = 2$ (нефроида)

• 

  $k = 3$

• 

  $k = 2.1 = \frac{21}{10}$

• 

  $k = 3.8 = \frac{19}{5}$

• 

  $k = 5.5 = \frac{11}{2}$

• 

  $k = 7.2 = \frac{36}{5}$

• 

  R = 1, r = 3

• 

  R = 1, r = 2

См. также

• Циклоида
• Гипоциклоида
• Эпитрохоида