Эпициклоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Эпицикло́ида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения. По свидетельству Лейбница, Оле Рёмер ранее 1676 года сделал важное в практическом отношении открытие, что эпициклоидические зубцы в зубчатом колесе производят наименьшее трение.

EpitrochoidOn3-generation.gif

Уравнения[править | править код]

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен , радиус катящейся по ней окружности равен , то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно :

где  — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x),  — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси .

Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в виде

Величина определяет форму эпициклоиды. При эпициклоида образует кардиоиду, а при  — нефроиду. Если несократимая дробь вида (), то — это количество каспов данной эпициклоиды, а — количество полных вращений катящейся окружности. Если иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.


Получение[править | править код]

sketch for proof
Пусть - искомая точка, - угол отклонения точки от точки касания двух окружностей, - угол отклонения между центрами данных окружностей.
Так как окружность катится без скольжения, то
По определению длины дуги окружности:

Из данных двух утверждений выплывает, что

Получаем соотношения для :

Пусть центр неподвижной окружности , центр второй окружности . Очевидно, что
Перепишем в координатах:

Следовательно позиция точки :

См. также[править | править код]