Эпициклоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

EpitrochoidOn3-generation.gif

Уравнения[править | править исходный текст]

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно \varphi:

\begin{cases}
x = (R + r)\cos\varphi - r\cos(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \\
y = (R + r)\sin\varphi - r\sin(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi)
\end{cases}

где \alpha — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра неподвижной окружности, \varphi — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.

Можно ввести величину \textstyle k=\frac{R}{r}, тогда уравнения предстанут в виде

\begin{cases}
x = r (k+1) \left( \cos \varphi- \frac{\cos((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \\
y = r (k+1) \left( \sin \varphi- \frac{\sin((k+1)\varphi)}{k+1} \right)
\end{cases}

Величина k определяет форму эпициклоиды. При k=1 эпициклоида образует кардиоиду, а при k=2 — нефроиду.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]