Эпициклоида

Эпицикло́ида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения[править | править код]

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен $R$ , радиус катящейся по ней окружности равен $r$ , то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно $\varphi$ :

{\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y=(R+r)\sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}

где $\alpha$ — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), $\varphi$ — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси $OX$ .

Можно ввести величину $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ , тогда уравнения предстанут в виде

{\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y=r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}

Величина $k$ определяет форму эпициклоиды. При $k=1$ эпициклоида образует кардиоиду, а при $k=2$ — нефроиду. Если $k$ — несократимая дробь вида ${\frac {m}{n}}$ ( $m,n\in \mathbb {N}$ ), то $m$ — это количество каспов данной эпициклоиды, а $n$ — количество полных вращений катящейся окружности. Если $k$ иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.