Преобразование Гольштейна — Примакова

Преобразование Гольштейна — Примакова — переход от операторов спина к операторам рождения и уничтожения магнонов (являющихся бозонами). Было предложено Теодором Гольштейном (1915—1985, иногда фамилию пишут «Хольштейн») и Генри Примаковым (1914—1983) в оригинальной работе 1940 года.Шаблон:-1

Первое преобразование Гольштейна — Примакова

При изучении спиновых волн обычно переходят к циклическим комбинациям компонент спинов. Это выполняют следующим образом. Динамика магнитных моментов (или спинов) описывается уравнением Ландау — Лифшица. Предполагая, что ферромагнетик помещён в сильное магнитное поле напряжённостью $H_{\mathrm {ext} }$ вдоль оси z и находится вблизи состояния насыщения (то есть для компонент спина длиной S выполняются соотношения $S_{z}\approx S$, $S_{x,y}\ll S$) уравнение Ландау — Лифшица в приближении магнитной анизотропии для j-го спина принимает вид

${\frac {\mathrm {d} S_{j}^{x}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{i}^{y}-S_{j}^{y})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{y},$

${\frac {\mathrm {d} S_{j}^{y}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{x}-S_{i}^{x})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{x},$

где магнитная анизотропия включена в обменный интеграл $J_{ji}$, g — фактор Ланде, $\mu _{B}$ — магнетон Бора. Для изучения спиновых волн эти два уравнения записывают для операторов

$S_{j}^{\pm }=S_{j}^{x}\pm iS_{j}^{y},$

в форме

${\frac {\mathrm {d} S_{j}^{\pm }}{\mathrm {d} t}}=\mp i\left(S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{\pm }-S_{i}^{\pm })+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{\pm }\right),$

где i — мнимая единица.

Преобразованием Гольштейна — Примакова (первым) называют замену

$S_{j}^{+}=a_{j}{\sqrt {2S}}{\sqrt {1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}}},\quad S_{j}^{-}=a_{j}^{\dagger }{\sqrt {2S}}{\sqrt {1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}}},$

где $a_{j}^{\dagger }$ — оператор рождения спиновых отклонений, $a_{j}$ — их оператор уничтожения.

См. также

• Вторичное квантование

Литература

• Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны.. — М.: Физматлит, 1994. — 464 с. — 2000 экз. — ISBN 5-02-014366-9.
• T. Holstein, H. Primakoff. Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet // Phys. Rev. — 1940. — Т. 58, № 12. — С. 1098–1113. — doi:10.1103/PhysRev.58.1098.
• Kei Yosida. Theory of magnetism. — Springer, 1998. — Vol. 122. — P. 120—125. — 320 p. — (Springer series in solid-state sciences). — ISBN 9783540606512.
• Ulrich Rössler. Solid state theory: an introduction. — 2nd ed. — Springer, 2009. — 398 p. — ISBN 9783540927617.