Интеграл Борвейна

Интеграл Борвейна - интеграл, рассмотренный Йонатаном и Питером Борвейнами, в котором задействована функция sinc.

В этих интегралах появляется интересная закономерность, которая в конце концов исчезает:

These integrals are remarkable for exhibiting apparent patterns which, however, eventually break down. An example is as follows,

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}$

Эта закономерность продолжается до

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2~.$

Но на следующем шаге она нарушается:

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}~.\end{aligned}}$

В общем случае, такие интегралы сходятся к /2 если числа 3, 5, 7… заменить на положительные числа таки образом, что сумма обратных им чисек меньше одного.

В нашем примере 1/3 + 1/5 + … + 1/13 < 1, но 1/3 + 1/5 + … + 1/15 > 1.

Пример более длинного ряда:

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2$,

но

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2,$

как показано в статье Шмида Ханспетера. В этом случае 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2х, но 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2.