sinc

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графики нормированной и ненормированной функций sinc(x) в диапазоне −7πx ≤ 7π.

sinc (от лат. sinus cardinalis — «кардина́льный си́нус») — математическая функция. Обозначается sinc(x), читается: «синкус x»[источник не указан 48 дней]. Имеет два определения — соответственно, для нормированной и ненормированной функции sinc:

  1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
    \operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0  \\
   1 & ; & x=0  \\
\end{array} \right.
  2. В математике ненормированная функция sinc определяется как
    \operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0  \\
   1 & ; & x=0  \\
\end{array} \right.

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства[править | править вики-текст]

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

  • Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc совпадают со значениями косинуса, то есть там, где производная \frac{\sin x}{x} равна нулю (локальный экстремум в точке x = a), выполняется условие \frac{\sin a}{a} = \cos a.
  • Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π, а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.
\int\limits_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi i f t}dt = \operatorname{rect}\left(f\right),
где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.
  • Разложение по степеням х:
 \operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2} \right)
 \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\right)}
где \Gamma\left(x\right) — гамма-функция.

Использование и приложения[править | править вики-текст]

  • Как преобразование Фурье прямоугольной функции, sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д.
  • Э. Т. Уиттекер[en] показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек.
  • В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова).
  • Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов.
  • Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности.
  • Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией.
  • Так как значения быстро уменьшаются с ростом агрумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе.

Обработка сигналов[править | править вики-текст]

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также[править | править вики-текст]