sinc

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графики нормированной и ненормированной функций sinc(x) в диапазоне −10π ≤ x ≤ 10π.

sinc (от лат. sinus cardinalis — «кардина́льный си́нус») — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — соответственно, для нормированной и ненормированной функции sinc:

  1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
    \mathrm{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0  \\
   1 & ; & x=0  \\
\end{array} \right.
  2. В математике ненормированная функция sinc определяется как
    \mathrm{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
   \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0  \\
   1 & ; & x=0  \\
\end{array} \right.

В обоих случаях значение функции в особой точке x=0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства[править | править вики-текст]

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

  • Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc совпадают со значениями косинуса, то есть там, где производная \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\, равна нулю (локальный экстремум в точке x = a\,), выполняется условие \begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,.
  • Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных \pi\,; нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.
\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f),
где прямоугольная функция — функция, принимающая значения, равные 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.
  • Разложение по степеням х:
 \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)
 \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}
где \Gamma(x) — гамма-функция.

См. также[править | править вики-текст]