Ядерная регрессия

Ядерная регрессия (англ. kernel regression) — непараметрический метод статистики, позволяющий оценить условное математическое ожидание случайно величины. Его смысл заключается в поиске нелинейного отношения между парой случайных величин X и Y.

В любой непараметрической регрессии условное матожидание величины $Y$ относительно величины $X$ можно записать так:

$\operatorname {E} (Y|X)=m(X)$

где $m$ — некая неизвестная функция.

Ядерная регрессия Надарая — Уотсона

Надарая и Уотсон одновременно (в 1964 году) предложили оценивать $m$ как локально взвешенное среднее, где веса определялись бы ядром.Оценка Надарая — Уотсона:

${\widehat {m}}_{h}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})}}$

где $K$ — ядро с шириной окна $h$. Знаменатель представляет собой весовой член с единичной суммой.

Получение

$\operatorname {E} (Y|X=x)=\int yf(y|x)dy=\int y{\frac {f(x,y)}{f(x)}}dy$

Применяя ядерную оценку плотности для совместного распределения f(x,y) и распределения f(x) с ядром K,

${\hat {f}}(x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)$,
${\hat {f}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)$,

получаем

$\operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)=\int {\frac {y\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}}dy,$

$\operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)\int y\,K_{h}\left(y-y_{i}\right)dy}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}},$

$\operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}},$

это и есть оценка Надарая — Уотсона.

Ядерная оценка Пристли — Чжао

${\widehat {m}}_{PC}(x)=h^{-1}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})K\left({\frac {x-x_{i}}{h}}\right)y_{i}$

Ядерная оценка Гассера — Мюллера

${\widehat {m}}_{GM}(x)=h^{-1}\sum _{i=1}^{n}\left[\int _{s_{i-1}}^{s_{i}}K\left({\frac {x-u}{h}}\right)du\right]y_{i}$

где $s_{i}={\frac {x_{i-1}+x_{i}}{2}}$

В статистических пакетах

• MATLAB: свободно распространяемый инструментарий для ядерных регрессий, оценок плотности и проч. доступны по ссылке (является приложением к книге).
• Stata: kernreg2
• R: функция npreg в пакете np способна построить ядерную регрессию.
• Python: пакет kernel_regression (расширение sklearn).
• GNU Octave: математический программный пакет.

Литература

• Henderson, Daniel J. Applied Nonparametric Econometrics / Daniel J. Henderson, Christopher F. Parmeter. — Cambridge University Press, 2015. — ISBN 978-1-107-01025-3.
• Li, Qi. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice / Qi Li, Jeffrey S. Racine. — Princeton University Press, 2007. — ISBN 0-691-12161-3.
• Pagan, A. Nonparametric Econometrics / A. Pagan, A. Ullah. — Cambridge University Press, 1999. — ISBN 0-521-35564-8.
• Simonoff, Jeffrey S. Smoothing Methods in Statistics. — Springer, 1996. — ISBN 0-387-94716-7.

Ссылки

• Scale-adaptive kernel regression (with Matlab software).
• Tutorial of Kernel regression using spreadsheet (with Microsoft Excel).
• An online kernel regression demonstration Requires .NET 3.0 or later.
• Kernel regression with automatic bandwidth selection (with Python)