Мультипликативная функция

В теории чисел, мультипликативная функция ― арифметическая функция $f(m)$, такая что

$f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})$ для любых взаимно простых чисел $m_{1}$ и $m_{2}$

$f(1)=1$

При выполнении первого условия, требование $f(1)=1$ равносильно тому, что функция $f(m)$ не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию $f$, определенную на некотором множестве $X$, такую что

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ для любых $x_{1},x_{2}\in X$.

В теории чисел такие функции, то есть функции $f(m)$, для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных $m_{1},m_{2}$, называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

$f(p^{\alpha })=f(p)$

для всех простых $p$ и всех натуральных $\alpha$.

Примеры

• Функция $\tau (m)$ ― число натуральных делителей натурального $m$.
• Функция $\sigma (m)$ ― сумма натуральных делителей натурального $m$.
• Функция Эйлера $\varphi (m)$.
• Функция Мёбиуса $\mu (m)$.
• Функция ${\frac {\varphi (m)}{m}}$ является сильно мультипликативной.
• Степенная функция $f(m)=m^{\alpha }$ является вполне мультипликативной.

Факты

Если $f(m)$ — мультипликативная функция, то функция

$g(m)=\sum _{d|m}f(d)$

также будет мультипликативной. Обратно, если функция $g(m)$, определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция $f(m)$ также мультипликативна.

Более того, если $f(m)$ и $g(m)$ — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их

$h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)$

Литература

• Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.

См. также

• Арифметическая функция