Мультипликативная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории чисел мультипликативная функцияарифметическая функция , такая что

для любых взаимно простых чисел и

При выполнении первого условия, требование равносильно тому, что функция не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию , определенную на некотором множестве , такую что

  для любых .

В теории чисел такие функции, то есть функции , для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных , называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

для всех простых и всех натуральных .

Функция называется вполне мультипликативной тогда и только тогда, когда для любых натуральных выполняется соотношение .

Примеры[править | править код]

Построение[править | править код]

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции на простых числах и их степенях, а также определить все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Если — мультипликативная функция, то функция

также будет мультипликативной. Обратно, если функция , определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция также мультипликативна.

Более того, если и — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле:

Литература[править | править код]

  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.