Мультипликативная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории чисел, мультипликативная функцияарифметическая функция f(m), такая что

f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2) для любых взаимно простых чисел m_1 и m_2
f(1)=1

При выполнении первого условия, требование f(1)=1 равносильно тому, что функция f(m) не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию f, определенную на некотором множестве X, такую что

f(x_1 x_2) = f(x_1) f(x_2) для любых x_1, x_2 \in X.

В теории чисел такие функции, то есть функции f(m), для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных m_1, m_2, называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

f(p^\alpha) = f(p)

для всех простых p и всех натуральных \alpha.

Функция f называется вполне мультипликативной тогда и только тогда, когда для любых натуральных x,y выполняется соотношение f(xy)=f(x)f(y).

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Если f(m) — мультипликативная функция, то функция

g(m) = \sum_{d|m} f(d)

также будет мультипликативной. Обратно, если функция g(m), определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция f(m) также мультипликативна.

Более того, если f(m) и g(m) — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле

h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)

Литература[править | править вики-текст]

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3

См. также[править | править вики-текст]